Контрольные задания по высшей математике для студентов заочной формы обучения инженерных направлений (стр. 5 )

171.		172.
173.		174.
175.		176.
177.		178.
179.		180.

В задачах 181 – 190 даны векторное поле и плоскость , которая с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть – основание пирамиды, принадлежащее плоскости ; – контур, ограничивающий ; – нормаль к , направленная вне пирамиды . Требуется вычислить: 1) поток векторного поля через поверхность в направлении нормали ; 2) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского; 3) вычислить циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью . Сделать чертеж.

181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.

В задачах 191– 200 проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.

Контрольная работа №4

Дифференциальные уравнения. Ряды.

Теория вероятностей и математическая статистика

Основные теоретические сведения и методические указания

1. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет

.

2. Дифференциальное уравнение называется однородным относительно переменных и , если – однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т. е. . данное уравнение с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Уравнение называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле

.

4. Уравнение вида

, (1)

где и – постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением.

Если корни , характеристического уравнения действительны и различны, то общий интеграл уравнения (1) выражается формулой

.

Если , то общий интеграл уравнения (1) находится по формуле

.

Если , то общее решение уравнения (1) находится по формуле

.

5. Уравнение вида

, (2)

называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда:

1) , если не является корнем характеристического уравнения;

2) , если является простым корнем характеристического уравнения;

3) , если является двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

1) , если число не является корнем характеристического уравнения;

2) , если число не является корнем характеристического уравнения.

6. Ряд вида

(3)

называется степенным рядом, – коэффициенты ряда. Число называется радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при и расходится при .

При ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости находится по формуле

.

7. Рядом Фурье периодической функции , , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье вычисляем по формулам ,

, .

Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.

Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде . Требуется определить постоянные К1, К2 и λ так, чтобы функции x(t), y(t) удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на , получим систему уравнений:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

, – корни характеристического уравнения.

Корню соответствует система

или .

Полагаем , тогда . Получаем решение системы:

.

Корню соответствует система

или .

Получаем , тогда . Получим решение системы:

.

Общее решение исходной системы имеет вид

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:

.

Так как

,

то

.

Степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При имеем , данный ряд расходится.

При имеем , ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости

ряда является полуинтервал .

Пример 3. Вычислить с точностью до .

Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:

.

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:

.

Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем

.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале – периоде.

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.

.

Вычисляя коэффициенты Фурье функции f(x):

,

,

так как

,

.

.

Задания для контрольной работы №4.

В задачах 201 – 210 найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

201.		202.
203.		204.
205.		206.
207.		208.
209.		210.

В задачах 211 – 220 найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

211.		212.
213.		214.
215.		216.
217.		218.
219.		220.

В задачах 221 – 230 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

221.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
229.
230.

В задачах 231 – 240 найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям, двумя способами: а) с помощью характеристического уравнения; б) методом операционного исчисления.