Учебно-методический комплекс (стр. 19 )

Множество ее планов изображено на рисунке 2.9.

Рис. 2.9. Допустимое множество в примере 1

Легко видеть, что каждому базисному плану канонической задачи (2.15)-(2.18) соответствует угловая точка множества планов эквивалентной стандартной задачи.

Расположение оптимальных планов канонической задачи

линейного программирования

Следующая теорема доказывает, что оптимальное решение, если оно существует, обязательно совпадает хотя бы с одной вершиной множества X.

Теорема 2. Если множество X допустимых планов канонической задачи ЛП ограничено, то существует хотя бы одна его угловая точка, в которой целевая функция достигает своего максимума на этом множестве.

Слова "хотя бы одна угловая точка" говорят о том, что решение может достигаться не в одной вершине, а на целой грани множества планов, но среди этого бесконечного множества планов обязательно будут и угловые точки.

Так как число угловых точек конечно, можно в теории найти все угловые точки, подсчитать в них значение целевой функции и выбрать ту, в которой значение самое большое. Так, подставляя в примере 1 координаты точек T1 , T2, T5 , T6 в целевую функцию, найдем оптимальный план x* = T6 = (2, 3, 0, 0), f(x*) = 8. Однако в реальных задачах ЛП число угловых точек может быть очень велико. Например, при m = 10, n = 20, число угловых точек может быть больше что делает процедуру полного перебора вершин совершенно неэффективной.

Задание. Найдите все базисные планы в следующих задачах ЛП. Установите их связь с угловыми точками множества планов соответствующей двумерной задачи ЛП.

а)

б)

6.2. Методические указания студентам

6.2.1. Общие рекомендации

При изучении дисциплины «Математика» предусмотрены лекционные, семинарские занятия, контрольная работа и самостоятельная работа студента. Методические указания по выполнению контрольной работы даны в разделе 6.2.2. Для организации самостоятельной работы по изучению курса студентам предлагаются конспект лекций (раздел 6.1), учебники (6.3).

В конспекте лекций приведены теоретические вопросы по данному курсу. На семинарских занятиях отрабатываются практические вопросы применения методов математики при решении экономических задач.

6.2.2. Методические указания и задания для выполнения

контрольных работ

Задача №1

Даны векторы , , , в некотором базисе. Показать, что образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение :

Равенство называется разложением вектора по векторам . Нас интересует такие системы векторов, по которым разложение любого вектора пространства возможно и притом единственным образом. Такой системой векторов в пространстве служит любая тройка некомпланарных векторов , которые называются базисом пространства, а коэффициенты разложения вектора x, y,z – координатами вектора в этом базисе.

Покажем, что векторы образуют базис. Смешанное произведение некомпланарных векторов отлично от нуля

Итак, векторы образуют базис. Найдем координаты вектора в этом базисе. Равенство равносильно системе линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z.

Решим эту систему по правилу Крамера:

Вычислим определитель системы линейных уравнений, который составлен из коэффициентов при неизвестных:

Вычислим вспомогательные определители, которые получаются из определителя системы, путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной, столбцом свободных членов.

Решение системы имеет вид:

Итак, вектор в базисе представим в виде , т. е. имеем координаты ( 2;-3;0 ) .

Задача №2

Даны координаты вершин пирамиды , , , , . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ;

3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ;

5) объем пирамиды ; 6) уравнение прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

Решение:

1)  Длину ребра найдем как длину вектора по формуле:

2) Угол между ребрами и найдем как угол между векторами и

, пользуясь определением скалярного произведения :

Откуда = ≈ 143˚

3)  Угол между ребром и гранью найдем по формуле

,

где нормальный вектор плоскости

Откуда, ≈ 71˚

4)  Площадь грани вычислим с помощью векторного произведения

Из предыдущего решения видно, что , значит

, отсюда находим

5)  Объем пирамиды вычислим с помощью смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида

6)  Уравнение прямой найдем по формуле уравнения прямой проходящей через две точки:

, отсюда уравнение имеет вид:

7)  Для того чтобы составить уравнение плоскости , возьмем текущую точку плоскости. Векторы , , лежат в этой плоскости, т. е. они являются компланарными. Воспользуемся условием компланарности трех векторов:

В силу условия компланарности уравнение плоскости имеет вид:

8)  Чтобы составить уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ,

воспользуемся каноническими уравнениями прямой:

, где - координаты точки, через которую проходит прямая (в нашем случае это точка ), а - координаты направляющего вектора . Т. к. прямая и плоскость перпендикулярны, то нормальный вектор плоскости параллелен прямой. Поэтому за направляющий вектор прямой берем вектор , найденный прежде в предыдущем(3) задании. Уравнение прямой, опущенной из вершины , имеет вид:

Задача №3

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая φ значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Решение:

Для построения линии в полярной системе координат составим таблицу значений полярного радиуса r при определенных значениях полярного угла φ

	φ	cosφ	6+3cosφ
1	0	1	9	0,556
2		0,924	8,772	0,570
3		0,707	8,121	0,616
4		0,383	7,148	0,699
5		0,000	6,000	0,833
6		-0,383	4,852	1,031
7		-0,707	3,879	1,289
8		-0,924	3,228	1,549
9		-1	3	1,667
10		-0,924	3,228	1,549
11		-0,707	3,879	1,289
12		-0,383	4,852	1,031
13		0,000	6,000	0,833
14		0,383	7,148	0,699
15		0,707	8,121	0,616
16		0,924	8,772	0,570
17		1	9	0,556

Используя данные таблицы, строим линию:

Для получения уравнения в декартовой системе координат используем формулы перехода от полярной системы координат к декартовой:

, , ,

выделим полный квадрат трехчлена

Полученная линия – эллипс.

Задача №4

Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместимость и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средством матричного исчисления.

Решение:

Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы этой системы (теорема Кронекера-Капелли). Матрица А системы состоит из коэффициентов при неизвестных

Если к матрице системы добавить столбец из свободных членов, то получим расширенную матрицу системы

Под рангом понимается наибольший порядок минора, отличного от нуля. Для матрицы А минором наивысшего порядка, равного трем, является ее определитель:

Следовательно,

В расширенной матрице В нет минора больше 3, det A является одним из ее миноров третьего порядка, поэтому .

Система совместна, т. к.

1)  Решение методом Гаусса состоит в преобразовании системы к треугольному виду, что достигается исключением неизвестных из 2-го и 3-го уравнений и - из 3-го уравнения. Последовательное исключение неизвестных осуществляется с помощью элементарных преобразований системы, приводящих к равносильной системе, к которым относятся:

а) перестановка любых двух уравнений,

б) умножение обеих частей одного уравнения на любое отличное от нуля число;

в) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Все преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, удобнее применять не к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Получающиеся при этом матрицы называются эквивалентными и соединяются знаком ~