Помощь выпускнику по подготовке к ЕНТ по математике (стр. 5 )

Имеется 240г 70%-ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6% - ый раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ый раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Решение:

Изобразим схему:

0 64

6

70 6

240 : 6 = 40г составляет одна часть, т. к. из схемы ясно, что уксусной кислоты следует взять 6 частей, воды 64 части.

40 = 2560г воды.

Ответ: 2560г воды.

Аналогично можно решить задачи, предложенные в тестах при подготовке к ЕНТ.

1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды необходимо добавить к морской, чтобы содержание соли в последней составило 4%?

А) 15кг.

В) 20кг.

С) 17кг.

D) 22кг.

Е) 18кг.

(Вариант-31 №30 2003г.)

2. К 15 литрам 10% раствора соли добавили 5% раствор соли и получили 8% раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили?

А) 10л.

В) 12л.

С) 15л.

D) 8л.

Е) 7л.

(Вариант-31 №14 2003г.)

3. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. К 40 кг морской воды добавили пресной воды и содержание соли в полученной воде составило 2%. Масса добавленной пресной воды равна:

А) 60кг.

В) 16кг.

С) 40кг.

D) 28кг.

Е) 80кг.

(Вариант-35 №2 2004г.)

4. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 5 л морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

А) 40л.

В) 25л.

С) 42л.

D) 30л.

Е) 35л.

(Вариант-17 №2 2004г.)

5. Морская вода содержит по весу 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 80кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?

А) 122кг.

В) 121кг.

С) 120кг.

D) 123кг.

Е) 130кг.

(Вариант-34 №26 2005г.)

(Вариант-4 №25 2006г.)

6. К 15 литрам 10% раствора соли добавили 5% раствор соли и получили 8% раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили?

А) 15л.

В) 10л.

С) 7л.

D) 8л.

Е) 12л.

(Вариант-25 №27 2005г.)

7. Чтобы получить 50% раствор кислоты, надо к 30 г 15%раствора кислоты добавить 75% раствор этой же кислоты. Найти количество 75% раствора кислоты, которое надо добавить.

А) 42г.

В) 6г.

С) 150г.

D) 3г.

Е) 9г.

(Вариант-15 №25 2007г.)

8. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 80кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 4%?

А) 22кг.

В) 15кг.

С) 17кг.

D) 18кг.

Е) 20кг.

(Вариант-14 №25 2007г.)

Коды правильных ответов

1	2	3	4	5	6	7	8
B	A	A	E	C	B	A	E

VIII. Решение логарифмических и иррациональных уравнений.

Ошибки, допускаемые учащимися при решении логарифмических уравнений, бывают связаны с неправильным применением формул для логарифмирования произведения, дроби и степени.

.

.

.

Используя формулы логарифмирования:

1) , x > 0, y > 0,

2) , a , a > 0

3) , p – любое действительное число.

Нужно помнить, что ОДЗ их левых и правых частей не совпадают. Правые части (1) и (2) имеют смысл, когда x > 0, y > 0.

Левые же части имеют смысл, когда знаки х и у совпадают. Следовательно, при переходе от выражения к выражению ОДЗ сужается, а это может привести к потере корней.

Правая часть (3) определена лишь при х > 0, а ОДЗ левой части зависит от показателя степени p. Если р – целое четное число, то левая часть (3) имеет смысл и при отрицательном х. Поэтому переход от выражения к выражению может привести к потере решений уравнения. Поэтому формулы лучше применять в такой форме:

1) ;

2) ;

3) , (р – четное).

Используя формулы в таком виде, невозможно потерять корни, можно лишь приобрести посторонние. Но это не так страшно. Просто необходима проверка полученных решений.

Например:

.

Неправильное решение:

2lg (x + 1) + 2lg (x + 9) = 2lg9,

lg (x + 1) + lg (x + 9) = lg9,

lg (x + 1) (x +9) = lg9,

(x + 1) (x + 9) = 9,

x + 10x = 0,

x.

Правильное решение:

,

ОДЗ: х ,

2lg |x + 1| + 2lg |x + 9| = 2lg9,

lg |(x + 1) (x + 9)| = lg9,

|x + 10x + 9| = 0,

x,

a) x + 10x + 9 = 9 x.

б) x + 10x + 9 = -9, x + 10x + 18 = 0,

x.

Это же уравнение можно решить и другим способом:

,

ОДЗ: х ,

,

((х + 1) (х + 9))= 81,

(x + 10x + 9)= 81,

x + 10x + 9 = 9, x + 10x + 9 = -9,

x; x.

Пример:

lg x= 6

I способ:

2lgx = 6, lgx = 3, x = 1000;

II способ:

На основании определения логарифма, имеем:

x= 10, х =1000.

Решая первым способом, мы сузили ОДЗ для х, поэтому произошла потеря корня. Правильно применять первый способ нужно так:

lg x= 6, 2lg|x| = 6, lg|x| = 3, |x| = 1000, x = 1000.

Примеры:

1. Решите уравнение:

А) 1.

В) 2.

С) -2; 1.

D) 1; 2.

Е) -1; 32.

(Вариант-21 №16 2007г.)

2. Решите уравнение: .

А) 13.

В) -3,5; 13.

С) -26; 13.

D) -13; 3,5.

Е) 26.

(Вариант-12 №17 2007г.)

3. Решите уравнение:

А) 0; 2; 16\9.

В) 16\9; 2.

С) 0; 16\9.

D) 0; 2.

Е) 16\9.

(Вариант-30 №14 2002г.)

4. Решите уравнение:

Ответ: .

(№г. Тестовые задания, Кокшетау)

5. Решите уравнение:

Ответ: .

(№г. Тестовые задания, Кокшетау)

Коды правильных ответов

1	2	3	4	5
B	A	C	±1; ±1/9	±5

Следует иметь в виду для любых уравнений, что при делении, а также умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять или приобрести посторонние корни. Сокращение на выражение, содержащее неизвестное, - это очень распространенная ошибка, которую допускают учащиеся при решении уравнений и неравенств.

Например:

1. Решите уравнение: (х + 4) (х - 7) = х – 7.

Если обе части уравнения разделить на х – 7, то будет потерян корень х= = 7.

Решение:

(х + 4) (х - 7) – (х – 7) = 0, (х – 7) (х + 4 – 1) = 0, х = 7 или х = -3.

Ответ: х = 7, х = -3.

2. Решите уравнение: sinх = sin x.

sinх - sin x = 0, sin x (sin x – 1) = 0,

sin x = 0 или sin x = 1, тогда

x = или x = .

Eсли же сократить на sin x, то потеряются все корни, для которых sin x = = 0.

Подобных ошибок следует избегать в следующих тестовых заданиях:

1. Решите уравнение:

Решение: 2х3 -7х2+6х=0, х(2х2-7х+6)=0, х=0 или 2х2-7х+6=0,

х1=2, х2=1,5

Ответ:0;2;1,5.

А) -2; 0; 1.5.

В) -1.5; 0; 2.

С) 1.5; 2.

D) 0; 1.5; 2.

Е) -1.5; -1; 0.

(Вариант-8 №16 2006г.)

2. Решите уравнение: 2cos x cos 2x – cos x = 0

А) .

В) .

С) , .

D) .

Е) ,

(Вариант-32 №15 2006г.)

3. Решите уравнение: .

А) {1; 3; -3}.

В) {-1; 3; -3}.

С) {-1; 3; 1\3}.

D) {1; -3; -1\3}.

Е) {1; -3; 1\3}.

(Вариант-21 №9 2005г.)

4. Решите уравнение: .

А) .

В) ; .

С) .

D) ; .

Е) .

(Вариант-14 №16 2007г.)

5. Решите уравнение: .

А) 1\2; 1\3.

В) -3; 1.

С) -9; 0.

D) 0;4.

Е) 2; 6.

(Вариант-25 №7 2005г.)

6. Решите уравнение: sin 2x = sin x.

А) ; .

В) .

С) ; .

D) .

Е) .

(Вариант-32 №13 2005г.)

7. Решите уравнение: 1 - cos 2x = 2sin x.

А) .

В) .

С) ; .

D) .

Е) .

(Вариант-18 №23 2005г.)

8. Решите уравнение: sin x +sin 2x = cos x +2 cos.

А) ; .

В) ; .

С) нет корней.

D) ;.

Е) ; .

(Вариант-14 №28 2005г.)

9. Решите уравнение: 2sin x + 2sin 2x = .

А) ; .

В) нет решений.

С) ; .

D) ;; .

Е) ; .

(Вариант-8 №30 2005г.)

Коды правильных ответов

1	2	3	4	5	6	7	8	9
D	E	B	B	D	A	C	D	E

Решения многих уравнений можно упростить введением новой переменной.

Например:

Решите уравнение: += 14.

Пусть = u, = v.

Получаем систему: .

Решая способом подстановки, находим: , .

, .

Возвращаясь к прежней переменной, получаем:

= , х = 2.

= ,

= ,

=, х = -2.

Ответ: х = 2; х = -2.

Использование вспомогательных неизвестных часто существенно ускоряет решение иррациональных уравнений.

Например:

1. - = 2

Можно ввести две переменные.

Пусть = u, = v.

, .

Получаем систему: .

Преобразуем второе уравнение: (u – v) (u + v) = 16,

, .

Возвращаясь к прежней переменной, получим:

Ответ: х = 4.

(Вариант-27 №7 2002г.)

(№г. Тестовые задания, Кокшетау)

2.

, , , - не является решением.

, , .

Ответ: 0; 1.

При решении уравнений такого вида чаще всего применяют способ уединения корня, с последующим возведением обеих частей уравнения в надлежащую степень. И при этом важно иметь в виду, что среди посторонних корней, получающихся при возведении уравнения в степень, могут быть и такие, которые принадлежат ОДЗ, но решением уравнения не являются. Это можно выяснить проверкой.

Например:

Решите уравнение:

4+ 6 = 5х, ОДЗ: 3 – х , х .

Уединим корень и возведем обе части в квадрат:

4= 5х – 6, 16(3 – х) = 25х- 60х + 36, 25х- 44х – 12 = 0.

Решаем методом «переброски»: .

Оба корня принадлежат ОДЗ, но решением уравнения является только - посторонний корень.

Аналогичные тестовые задания:

1. Решите уравнение: = 8 – х.

А) 1.

В) 2.

С) 4.

D) 6.

Е) 3.

(Вариант-14 №7 2002г.)

2. Решите уравнение:

Ответ: 13.

(№г. Тестовые задания, Кокшетау)

3. Решите уравнение:

Ответ: 5.

(№г. Тестовые задания, Кокшетау)

4. Решите уравнение:

Ответ: 8.

(№г. Тестовые задания, Кокшетау)

5. Решите уравнение:

Ответ: 2.

(№г. Тестовые задания, Кокшетау)

IX. Вычисление производных.

Большое внимание в тестах уделяется вычислению производных. Вычисление производных осуществляется согласно правилам и формулам. Обратим внимание на функции вида:

у = , .

у = , .

у = , .

Сравнивая данную функцию и ее производную, приходим к выводу: чтобы найти производную данной функции, нужно числитель умножить на показатель степени знаменателя с противоположным знаком, а показатель степени увеличить на единицу. Принятие во внимание этого факта поможет сэкономить время при вычислении производных такого вида на ЕНТ:

1. Для функции у = , определите:

а) нули;

б) промежутки возрастания;

в) промежутки убывания.

Указание: =+

А) а) -4, 4; б) (); в) нет.

В) а) -4, 4; б) (); в) нет.

С) а) -4, 0; б) (); в) нет.

D) а) -4, 4; б) (); в) [-4, 4].

Е) а) -4, 0, 4; б) ); в) (].

(Вариант-1 №24 2002г.)

2. Дана функция f(x) = . Найдите .

А) 0.

В) -3.

С) 5.

D) 1.

Е) 6.

(Вариант-31 №11 2007г.)

3. Для функции у = , определите:

а) нули;

б) промежутки возрастания;

в) промежутки убывания.

А) а) -3, 3; б)нет; в) ().

В) а) -3, 3; б) (; в) [0,).

С) а) -3, 3; б)нет; в) ().

D) а) -3, 0, 3; б)[-3, 0], [3, ); в) ().

Е) а) 3, -3; б) [3, 1], [-3, 0]; в) (0, -3], [0, 3].

(Вариант-11 №29 2003г.)

4. Для функции у = , найдите:

а) все критические точки;

б) точки минимума и точки максимума;

А) а) ; б) , , .

В) а) ; б) , .

С) а) ; б) ,

D) а) ; б) , .

Е) а) ; б) ,

(Вариант-13 №18 2003г.)

Коды правильных ответов

1	2	3	4
B	C	C	B

Очень часто при вычислении производных сложных функций учащиеся допускают ошибки. Находя производную функции y = lg(3x + 5), забывают умножить результат на 3. Почему? Просто многие из них не владеют понятием сложной функции. Поэтому при вычислении производных необходима последовательность рассуждений:

1. Определить вид функции (линейная, квадратичная, логарифмическая, степенная и т. д.)

2. Если – да, то ее производная берется согласно известным формулам.

3. Если – нет, то можно ли данную функцию представить в виде суммы (разности), произведения или частного указанных функций.

4. Если – да, то работаем с соответствующими формулами.

5. Если – нет, то надо рассматривать данную функцию как сложную.

Например:

Найти производную функции у = (2х – 4).

Последовательно рассуждая, приходим к выводу, что данная функция сложная: степенная от линейной. Значит, ее производная равна произведению производной степенной и линейной функций 10(2х – 4).

Аналогичные примеры можно найти в следующих тестовых заданиях:

1. Дана функция f(x) = . Найдите .

Решение:

А) -42(4х + 7).

В) -6(4х + 7).

С) -4(4х + 7).

D) -24(4х + 7).

Е) -4(4х + 7).

(Вариант-11 №10 2006г.)

2. Найдите производную функции у = (1/3 х – 6).

А) 8(1/3х – 6).

В) 6(1/3х – 6).

С) 24(1/3х – 6).

D) 1/3(1/3х – 6).

Е) 72(1/3х – 6).

(Вариант-12 №9 2006г.)

3. Дано f(x) = . Найдите .

А) -10.

В) 10.

С) -60.

D) 6.

Е) 60.

(Вариант-13 №10 2006г.)

4. Найдите производную функции: f(x) = .

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

(Вариант-16 №9 2006г.)

5. Найдите производную функции: f(x) = (2x – 6).

А) -7(2x – 6).

В) 16(2x – 6).

С) -7(2x + 6).

D) 4(2x – 6).

Е) 8(2x – 6).

(Вариант-16 №10 2006г.)

6. Дана функция , найдите

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

(Вариант-3 №23 2002г.)

7. Найдите производную функции: f(x) =.

А) 102x(.

В) 204.

С) 102.

D) 2x.

Е) 204.

(Вариант-7 №24 2002г.)

8. Найдите производную функции: f(x) =.

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

(Вариант-6 №21 2003г.)

9. Найдите производную функции: y = .

А) .

В) .

С) .

D) .

Е) .

(Вариант-8 №19 2003г.)

Коды правильных ответов

1	2	3	4	5	6	7	8	9
D	A	C	D	B	B	E	A	A

X. Вычисление площадей с помощью интеграла.

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций y = =f(x) и y = g(x) таких, что f(x)g(x) для любого х, принадлежащего х , где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций можно находить сразу, применяя формулу: .

Например:

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

у = - 5х + 3, у = 3 – х

Решение:

Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций.

, , , .

Искомая площадь равна: .

А) .

В)12.

С) 10.

D) 10.

Е) 8.

(Вариант-24 №23 2006г.)

(Вариант-24 №23 2007г.)

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = 6 – х, у = 0.

А) .

В) 7.

С) 3.

D) 14.

Е) 7.

(Вариант-14 №27 2007г.)

3. Площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = - х – 2, х = -2, равна:

А) 1,5.

В) 2.

С) 1.

D) 0,5.

Е) 2,5.

(Вариант - № 000г.)

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = 2.

А) .

В) .

С) 0.

D) 1.

Е) .

(Вариант-22 №23 200г.)

Коды правильных ответов

1	2	3
C	B	A

Литература.

1.  Сборники тестов по математике (гг.)

2.  Тестовые задания по математике для поступающих в ВУЗы, - Кокшетау, 2006.

3.  , «Математика» справочные материалы, 1988.

4.  , , «Математика» наглядный справочник с примерами, 2003.

5.  «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа», 1990.

6.  «Вычисления и их роль в практической подготовке учащихся», 1990.

7.  , «Дидактические материалы к урокам алгебры в 8-9 классах», 2003.

8.  Учебно-методическая газета «Математика», №3, 6, 12, 2004, №3, 2005.

9.  Журнал «Математика в школе» №1, 1992, №6, 1991, №1, 1997, №6, 1981.

10.  Н. Я Виленкин, и др. «Алгебра 10-11 класс», 2001.

11.  «Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике», 1983.

Оглавление.

1.  Некоторые способы быстрых вычислений……………………………….3

2.  Свойства квадратного уравнения. Метод переброски. Применение теоремы Виета и обратной ей теоремы…………………...10

3.  Метод Крамера……………………………………………………………29

4.  Решение простейших уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, геометрическим способом……………………………………...33

5.  Тригонометрия в ладони. Решение тригонометрических уравнений…38

6.  Арифметическая и геометрическая прогрессии………………………...52

7.  Задачи на смеси и сплавы………………………………………………...58

8.  Решение логарифмических и иррациональных уравнений…………….64

9.  Вычисление производных………………………………………………..74

10.  Вычисление площадей с помощью интеграла……………………...….80