Математика, 1 тур

МАТЕМАТИКА

1 тур

1. Заданы прямая и две точки, расположенные по одну сторону от прямой. На прямой

найти такую точку, чтобы сумма расстояний от нее до двух данных точек была наи-

меньшей. (2 балла).

2. Решить систему уравнений . (10 баллов).

3. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр. (10 баллов.)

4. Решить уравнение . (10 баллов).

5. Решить уравнение . (3 балла).

6. Найти три числа a, b и c, если они образуют геометрическую прогрессию, а три числа

a + c = 10, a и b + 2 образуют арифметическую прогрессию. (10 баллов).

7. В треугольнике АВС медиана АМ равна 15 см, АС = 16 см, ВС = 8 см. Найти рас-

стояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения медианы АМ с бис-

сектрисой CN. (10 баллов).

8. Решить систему уравнений . (5 баллов)

9. Решить неравенство . (10 баллов).

10. Найти сумму 99 дробей: . (5 баллов).

11. Найти все значения параметра р, при котором уравнение не

имеет корней. (15 баллов).

12. Основание пирамиды МАВСD – ромб АВСD, в котором ÐА = 60°. Все двугранные

углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость , параллельная плоскости

основания, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP : PO = 2 : 3. В

образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте

пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью . Найдите

объем пирамиды, если объем цилиндра равен . (10 баллов).