Математика 8 класс

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. E-mail:*****@***ru

КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 8 класс ответы и решения к работе № 3, уч. год

1. При каких значениях квадратные многочлены и имеют общий действительный корень?

Ответ: .

Решение. Пусть - общий корень данных многочленов, тогда и , т. е. . Тогда, или . Если , то многочлены имеют вид и не имеют действительных корней. Если , то и , т. е. в обоих случаях .

2. По замкнутому маршруту курсируют с одинаковой скоростью и равными интервалами движения 10 трамваев. Сколько трамваев нужно добавить, чтобы при той же скорости трамваев интервалы между трамваями уменьшились на ?

Ответ: 2 трамвая.

Решение. Пусть - длина маршрута, - расстояние между трамваями по траектории движения, - необходимое число трамваев, чтобы удовлетворить требованию задачи. Тогда и , то есть . Надо добавить 2 трамвая.

3. Бумажный треугольник с углами , и разрезают по одной из биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезают по какой-либо биссектрисе и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

Ответ: не может.

Решение. Предположим, что на каком-то шаге мы получили треугольник, подобный исходному. Тогда все его углы кратны . Покажем, что у предыдущего треугольника и вообще у всех предыдущих углы кратны . Пусть к треугольнику с углами приклеили ранее отрезанный угол , тогда получится треугольник с углами , которые кратны любому общему делителю углов . Однако делимость на 20 теряется после первого разрезания исходного треугольника. Противоречие.

4. Найдите, при каких значениях x и y выражение является целым числом.

Ответ: при и ; при и ; при и ; при .

Решение. Ясно, что в первых двух указанных в ответе случаях принимает значения ; в третьем случае – значение 1, а в четвертом – 0. При выражение неопределенно, а при и , где , имеем , т. е. и .

5. На плоскости даны две точки A и B. Одним циркулем (без линейки) постройте середину отрезка AB.

Решение. Построим точку C на прямой AB, такую, что AB = BC. Для этого построим окружность с центром B и радиусом BA. Отметим на окружности точки D, E и C, так что AD = DE = EC = AB. Треугольники ABD, DBE и EBC — равносторонние, поэтому угол ABC равен 180°, следовательно точка C лежит на прямой AB и AB = BC.

Строим две окружности: первую — с центром в точке C и радиусом CA, вторую — с центром в точке A и радиусом AB. Обозначим точки пересечения этих окружностей через E и F и построим две окружности с центрами в этих точках и радиусом равным AB. Эти окружности пересекутся в точке A и еще в одной точке — G. Докажем, что точка G и будет серединой отрезка AB.

Точки E и F симметричны относительно прямой AC, а точка G равноудалена от точек E и F и следовательно лежит на прямой AC. Равнобедренные треугольники AEG и CAE, поэтому AG : AE = AE : AC, а так как AE = AB, AC = 2×AB, то AG : AB = AB : 2×AB, отсюда получаем, что AB = 2×AD.

6. Докажите, что из 10 различных четных двузначных чисел можно выбрать две пары так, чтобы разности парных чисел были равны.

Решение. Расположим эти числа в порядке возрастания и применим метод рассуждения от противного. Допустим, что все разности различны, тогда разности между соседними числами также различны. Сумма разностей
(n2 – n1) + (n3 – n2) + …+(n10 – n9) = n10 – n1 не менее 2 + 4 + … + 18 = 90. То есть n10 – n1 ³ 90, n10 ³ n1 +90. Так, как n1 ³ 10, то n10 ³ 100, а по условию все числа двузначные.