Математические модели в экономике

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет экономики и управлению

Кафедра математических методов и информационных технологий в экономике

Математические
модели в экономике

Методические указания по изучению дисциплины

и выполнению контрольной работы
для студентов заочного отделения

Рекомендованы на заседании кафедры «__________», протокол № ___ от __.___.20__ г.

Одобрены ____________________ ____________, протокол № ___ от __.__.20__г.

Математические модели в экономике. Методические указания предназначены для изучения дисциплины «Математические модели в экономике» студентами заочного отделения специальностей: _________________.

I. Требования к оформлению контрольных работ

1. Контрольные работы следует выполнять в ученических тетрадях (желательно в клетку). На обложке необходимо указать: название учебного заведения; название кафедры; номер и название контрольной работы; название специальности; фамилию, имя, отчество и личный шифр студента (номер студенческого билета).

2. На каждой странице надо оставить поля размером 4 см. для оценки задач и методических указаний проверяющего работу.

Формирование исходных данных к задачам

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.

Для того, чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две последние цифры своего шифра ( А - предпоследняя цифра, В - последняя ) и выбрать из таблицы 1 параметр m , а из таблицы 2 параметр n .

Эти два числа m и n и нужно подставить в условия задач контрольной работы.

Таблица 1 (выбор параметра - m)

А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
m	4	2	5	1	4	2	4	2	1	5

Таблица 2 (выбор параметра - n )

B	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n	3	2	1	4	5	3	1	5	2	4

Например, если шифр студента (или номер ст. билета) то А=3, В=7, и из таблиц находим, что m= 1, n=5. Полученные m=1 и n=5 подставляются в условия всех задач контрольной работы этого студента.

II. Тематическое содержание дисциплины

1. Методы оптимизации

1.  Классификация задач математического программирования. Примеры задач, решаемых методами математического программирования.

2.  Постановка и различные формы записи задач линейного программирования. Стандартная и каноническая формы представления задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования.

3.  Симплекс-метод. Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы.

4.  Двойственные задачи и методы. Экономическая интерпретация пары двойственных задач.

5.  Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Правила построения цепей. Потенциалы, их экономический смысл. Метод потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения. Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления.

6.  Примеры целочисленных моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори. Метод ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Решение методом ветвей и границ.

7.  Выпуклые множества и их свойства. Угловые точки. Выпуклые и вогнутые функции. Основная задача выпуклого программирования. Условие регулярности. Функция Лагранжа. Седловая точка функции. Теорема Куна-Таккера. Различные виды условий Куна-Таккера. Задача с линейными ограничениями.

8.  Локальный и глобальный экстремумы. Унимодальные функции. Методы поиска. Пассивный и активный поиск. Оптимальная стратегия Фибоначчи. Методы дихотомии и золотого сечения.

9.  Общая схема градиентных методов. Градиентные методы с регулировкой шага. Сходимость градиентных методов. Эффект “оврагов”. Метод сопряженных направлений.

10.  Методы проекции градиента и возможных направлений. Методы внутренних и внешних штрафных функций.

2. Исследование операций

11.  Исследование операций - совокупность математических методов обоснования и принятия оптимальных решений. Обобщенная схема операции. Математические модели исследования операций.

12.  Оценка эффективности стратегий. Виды неопределенностей в исследовании операций. Принцип гарантированного результата.

13.  Системы массового обслуживания и их классификации. Основные понятия: поток, очередь, канал обслуживания. Показатели эффективности систем массового обслуживания. Простейший поток и его свойства. Система дифференциальных уравнений для потока и ее решение.

14.  Системы массового обслуживания с марковскими потоками событий.

15.  Основные этапы моделирования и оптимизации систем массового обслуживания. Проблема сбора и обработки исходной статистической информации.

16.  Основные понятия теории управления запасами. Классификация моделей управления запасами. Определение стоимости хранения, поставок и штрафа. Детерминированные и вероятные модели спроса.

17.  Динамическое программирование. Принцип оптимальности. Уравнение Беллмана. Простейшая задача управления запасами. Решение задачи методом динамического программирования. Построение оптимальной производственной программы выпуска продукции с постоянным, переменным и случайным спросом.

18.  Скользящее планирование. Модель управления запасами с вогнутой и выпуклой функцией затрат. S - стратегия управления запасами. Модели экономически выгодных размеров заказываемых партий. Формула Уилсона.

19.  Теория игр - теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов и неопределенностей. Игра как математическая модель конфликта. Основные понятия теории игр: стратегия, оптимальная стратегия. Классификация игр.

20.  Основные определения теории матричных игр. Антагонистические игры. Теорема об оптимальных стратегиях. Критерий оптимальности стратегий. Матричные игры с седловой точкой. Максиминные и минимаксные стратегии игроков.

21.  Смешанная стратегия. Теорема Неймана о существовании седловой точки в смешанном расширении игры. Значение игры, оптимальные и активные стратегии игроков. Распределение капиталовложений на основе игровых критериев.

22.  Основная теорема теории матричных игр. Игры 2 ´ 2, решение в частных и смешанных стратегиях. Игры 2 ´ n и n ´ 2, графический метод решения. Диагональные и симметричные игры, их решение. Применение методов линейного программирования к решению матричных игр. Итерационный метод Брауна-Робинсон.

23.  Критерии принятия решений в условиях неопределенности и риска. Планирование эксперимента в условиях неопределенности. Байесовский подход в принятии решений.

3. Основы дискретной математики и математической логики

24.  Основные понятия теории графов. Матричные и числовые характеристики графов.

25.  Прикладные задачи и алгоритмы анализа графов.

26.  Оптимизационные задачи на графах и алгоритмы их решения.

27.  Сетевое планирование. Критический путь и критическое время сетевого графа.

28.  Языки и грамматики – для ЗАОЧНИКОВ НЕТ

29.  Автоматы – для ЗАОЧНИКОВ НЕТ

III. ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

1. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

1.1. Задача оптимального планирования производства продукции

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья и C. Потребность на каждую единицу j - го вида продукции i - го вида сырья, запас соответствующего вида сырья и прибыль от реализации единицы j - го вида продукции заданы таблицей:

Виды	Виды продукции	Запасы
сырья	I	II	сырья
А
В
С
прибыль
план (ед.)

1.1.1. Для производства двух видов продукции I и II с планом и единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья.

1.1.2. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим методом. Определить соответствующую прибыль .

1.1.3 Задачу линейного программирования (ЗЛП), полученную в пункте 1.1.1 представить в канонической форме. Найти оптимальный план производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль симплекс - методом. Определить остатки каждого вида сырья.

1.2. Транспортная задача

На трех складах и хранится и единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям и заказы которых составляют и единиц груза соответственно. Стоимости перевозок единицы груза от i -го поставщика к j - му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:

Потребности
Запасы
			4		2		m
А1
			n		5		3
А2
			1		m+1		6
А3

1.2.1. Сравнивая суммарный запас и суммарную потребность в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад с запасом в случае <или фиктивного потребителя с потребностью в случае >и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.

1.2.2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости или методы северо-западного угла).

1.2.3. Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это не так, то составить оптимальный план

Хопт=,

обеспечивающий минимальную стоимость перевозок .

Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом потенциалов.)

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

2.1 Система массового обслуживания (СМО)

В парикмахерский салон приходит в среднем (m + 2) клиента в час (т. е. интенсивность l поступления заявок в систему равна (m + 2)/ час), а среднее время обслуживания одного клиента равно 1/ m часов. Содержание одного рабочего места обходится в n у. е. за 1 час, а доход от обслуживания одного клиента составляет (n + 2) у. е. в час.

2.1.1. Найти относительную пропускную способность СМО (т. е. вероятность того, что поступившая заявка будет обслужена) и абсолютную пропускную способность СМО (число заявок, обслуживаемых за 1 час), если салон обслуживают два мастера.

2.1.2. Найти доход , полученный за 1 час работы двух мастеров.

2.1.3. Найти анологичные характеристики СМО и когда салон обслуживают три мастера, и определить, выгодно ли принять на работу третьего мастера с точки зрения общего дохода, полученного за 1 час работы салона.

2.2. Матричные игры

2.2.1 Игра 2 ´ 2 задана матрицей

.

Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом.)

2.2.2 Игра задана матрицами

для n - четного и

для n - нечетного.

Применяя графический метод, найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.

2.3. Задача межотраслевого баланса

Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица A коэффициентов прямых затрат.

,

в которой число , стоящее на пересечении i -ой строки и j - го столбца равно , где - поток средств производства из i -ой отрасли в j -ую, а - валовой объем продукции j -ой отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).

Задан также вектор объемов конечной продукции.

2.3.1. Составить уравнение межотраслевого баланса.

2.3.2. Решить систему уравнений межотраслевого баланса, то есть найти объемы валовой продукции каждой отрасли ,обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y.

(Расчеты рекомендуется производить с точность до двух знаков после запятой).

2.3.3. Составить матрицу Х потоков средств производства .

2.3.4. Определить общие доходы каждой отрасли .

2.3.5. Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса:

Потребляющие отрасли. Производящие отрасли	I	II	III	Конечный продукт	Валовой продукт
I	x11	x12	x13
II	x21	x22	x23
III	x31	x32	x33
Общий доход	P1	P2	P3
Валовой продукт	X1	X2	X3

2.3.6 Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле где Е - единичная матрица размера 3 ´ 3.

III. ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

3.1. Сетевое планирование

Процесс производства сложной продукции разбивается на отдельные этапы, зашифрованные номерами 1, 2, ..., начальный этап производства продукции, 10 - завершаюший. Переход от i -го этапа к j -му этапу назовем операцией. Возможности выполнения операций () и их продолжительности задаются таблицей.

№ п/п	Шифр операции	Продолжитель- ность операции
	i ® j
1	1 ® 2	m
2	1 ® 3	4
3	1 ® 4	n
4	2 ® 3	3
5	2 ® 6	5
6	4 ® 3	2
7	4 ® 6	6
8	3 ® 5	3
9	3 ® 7	n + 1
10	5 ® 9	m + 1
11	6 ® 7	4
12	6 ® 8	3
13	7® 8	7
14	7 ® 9	m
15	7®10	5
16	8®10	4
17	9®10	n

3.1.1. Составьте и упорядочите по слоям сетевой график производства работ.

Номера этапов необходимо обвести кружками, а операции i ® j обозначить стрелками, проставляя над ними продолжительность операции.

3.1.2. Считая, что начало работы происходит во время определите время окончание каждого j -го этапа и проставьте его над соответствующим кружком.

3.1.3. Найдите критическое время завершения процесса работ Ткр и выделите стрелки, лежащие на критическом пути.

3.1.4. Для каждой некритической операции i ® j определите резервы свободного времени и поставьте их над стрелками рядом с в скобках.

3.1.5. Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на критическом пути подчеркните. (В табличном методе кроме резервов свободного времени необходимо также найти полные резервы времени для каждого этапа.)

3.2. Двоичная система счисления – для ЗАОЧНИКОВ НЕТ

3.2.1. Записать число в двойной системе счисления.

Например:

3.2.2. Определить четырехзначное двоичное число своего задания

Для этого необходимо взять последние 4 цифры полученного в задаче 3.1.1 двойного числа. Если в нем меньше четырех цифр, то слева нужно дописать нули.

Так: ~

~

~

3.3 Логика высказываний– для ЗАОЧНИКОВ НЕТ

Пусть принимает значения 0 либо 1 ( i= 1, 2, 3, 4 ). Положим

если

По четырехзначному двоичному числу составьте формулу логики высказываний

V L

для своего задания. Так, например, двоичному числу 0110 (где соответствует формула:

а двоичному числу 1010 - формула:

Для полученной формулы:

3.3.1. Найти таблицу истинности.

3.3.2. Определить, эквивалентны ли она и формула .

3.3.3. Найти совершенную дизъюнктивную нормальную форму и совершенную конъюнктивную нормальную форму:

а) табличным методом, б) непосредственным преобразованием.

3.3.4. Составить минимальную релейно-контактную схему, приведя формулу к минимальной дизъюнктивной форме.

IV. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ЗАДАНИЕ 1.1.

1.1.1. m=3; n=3 Таблица задания в этом случае имеет вид:

Виды	Виды продукции	Запасы
сырья	I	II	сырья
А
В
С
прибыль	c1 = 5	c2 = 4
план (ед.)

Составим математическую модель задачи.

Если x1 и x2 – искомые количества каждого вида продукции, то искомая прибыль

max

при этом:

Полученная модель – задача линейного программирования (ЗЛП), записанная в стандартной форме.

1.1.2. Решим ее геометрическим методом.

Строим прямую 3x1 + 2x2 = 24 по двум точкам, например L(0;12), M(8;0) и показываем решение неравенства 3x1 + 2x2 £ 24 (или что тоже самое x2 £x1) штриховкой. Решением этого неравенства являются все точки прямой 3x1 + 2x2 = 24 и точки полуплоскости лежащей ниже этой прямой.

Аналогично строим прямую x1 + x2 = 9 и показываем решение неравенства x1 + x2 £ 9 (или что тоже самое x2 £ 9 - x1).

Так же изобразим геометрически решение неравенства 2x1 + 4x2 £ 2x (x2 £ 7 - 1/2x2).

Решение неравенства x1 £ 0 – точки оси ординат и точки полуплоскости правее этой оси.

Решение неравенства x2 £ 0 – точки оси абсцисс и точки полуплоскости выше этой оси.

Общее решение удовлетворяющее всем пяти неравенствам – выпуклый многоугольник ОАВСD, где О (0;0), А (0;7), В (4;5), С (6;3) и D (8;0). Это и есть многоугольник допустимых решений. Координаты х1 и х2 всех точек этого многоугольника удовлетворяют системе ограничений.

Найдем такую из них с координатами х1 орt и х2 орt, в которой целевая функция Z достигает максимума Zmax. Для этого построим одну из линий уровня целевой функции, например Z = 0 (ее уравнение 5х1 +4х2 = 0) и вектор возрастания целевой функции

3

х1+х2=9

2

1

5х1+4х1=0

3х1+4х2=24

2x1+4х2=28

Будем перемещать прямую Z = 0 в направлении вектора N. Значение целевой функции при этом будет возрастать и линия уровня будет пробегать через все точки многоугольника допустимых решений. Придельная положение линии уровня, при котором она имеет одну общую точку С с многоугольником ОАВСD соответствует максимальному значению целевой функции.

Zmax = Z (C)= 5 ´ 6 + 4 ´ 3 =42.

х1 орt = х1(С) = 6. х2 орt = х2(С) = 3.

1.1.3. Решение задачи Симплекс – методом

Приведем задачу 1.1.1 к каноническому виду, для чего введем новые переменные ( в 1 неравенство); ( во 2 неравенство); ( в 3 неравенство) с такими знаками перед ними, чтобы неравенства обратились в уравнения, и вместо Z max введем L = - Z min.

Получим:

(1)

min

1) Найдем какой-либо опорный план C0, принимаемый за исходный план перебора. Для этого преобразуем систему уравнений (1) в базисную, в которой три переменные (базисные) выражены через оставшиеся две (свободные) переменные.

(2)

Система (2) равносильна системе (1) и имеет бесчисленное множество решений.

В частности, при x1 = x2 = 0, то x3 = 24, x4 = 9, x5 =28.

Это решение записывается обычно в виде X0 = (0;0;24;9;28) и называется исходным опорным планом ЗЛП.

L (X0) = - 5 × 0 - 4 × 0 = 0

Если записать целевую функцию как функцию свободных переменных L = -5x1, - 4x2, то видно, что план X0 не оптимальный, т. к. целевую функцию Z можно уменьшить, увеличивая x1 и x2. Причем более эффективное уменьшение целевой функции происходит с ростом x1.

2) Чтобы получить более оптимальный план X1, в котором x1 было бы больше нуля, из системы (2) получим новую базисную систему, в которой x1, была бы переведена из свободных переменных в базисные.

Определим какую из переменных x3, x4, x5 следует перевести вместо x1 в свободные. Для этого составим и решим систему неравенств из условия, что

Видим, что в новом базисе х1 можно увеличить до 8. Причем ограничение на рост х1 связано с переменной х3. Поэтому в новом базисе х3 переведем в свободные переменные.

Таким образом:

(3)

если х2 = х3 = 0, то х1 = 8, х4 = 1, х5 = 12

Проанализируем план X1 на оптимальность.

План X1 не оптимальный, т. к. значение целевой функции можно уменьшить, увеличивая х2.

3) Получим новый план X2, более оптимальный чем X1. Для этого в новой базисной системе (4) х2 переведем из свободных переменных в базисные. Для выяснения, какую из переменных (х1, х4, х5) следует перевести в свободные, составим и решим систему неравенств из условия, что х1 ³ 0, х4 ³ 0, х5 ³ 0.

Ограничение на рост х2 в новом базисе связано с переменной х4; ее и следует перевести в свободные переменные

Таким образом:

(4)

при х1 = х4 = 0

Получим X2 = (6; 3; 0; 0; 4)

L(X2) = -5 × 6 – 4 × 3 = - 42

Проверим X2 на оптимальность

L(X2) = -5(6 – х3 + 2х4) – 4(3 + х – 3х4) = – 42+ х3 + 2х4

С ростом свободных переменных функция L не убывает, значит

X2 = Xopt (6; 3; 0; 0; 4)

L min = [L (Xopt)] = - 42

Z max = - L min = 42, при

Возвращаясь к системе (1), обратим внимание на экономический смысл переменных: х3, х4, х5. – это разности между запасами сырья А, В, С и их расходом на производство продукции I и II вида.

Из решения следует, что при оптимальном плане производства х1opt = 6, х2opt = 3 запасы сырья А и В будут исчерпаны полностью, (х3 = х4 = 0), а сырье С будет израсходовано частично. Остаток сырья С - х5 = 4.

ЗАДАНИЕ 2.3. Задача межотраслевого баланса

Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в тоже время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязь определяет матрица А коэффициентов прямых затрат:

Известен вектор Y объемов конечной продукции:

,

то есть конечный продукт, полученный первой производящей отраслью y1 = 1000 ед., второй – y2 = 800 ед., третьей – y3 = 700 ед.

2.3.1. Составим уравнение межотраслевого баланса. Для этого введем вектор валового продукта:

где х1 – объем валовой продукции I отрасли

х2 – объем валовой продукции II отрасли

х3 – объем валовой продукции III отрасли

Уравнение межотраслевого баланса в матричном виде имеет вид:

Х = АХ + Y (*)

Записав его с учетом исходных условий задачи, в виде системы алгебраических уравнений получим:

(1)

2.3.2. Для удобства решения системы (1) вначале запишем ее в общем виде:

Решение проведем методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) с точностью до двух знаков после запятой.

Из последней системы получим:

х3 » 2311,11

х2 » 4800 + 3× 2311,11 = 2133,33

х1 » - 1750 + 2× 2311,11 – 0,25 × 2133,33 = 2338,89

Таким образом объем валовой продукции каждой из трех производящих отраслей в стоимостном выражении:

х1 » 2338,89 ед.

х2 » 2133,33 ед.

х3 » 2311,11 ед.

2.3.3. Составим матрицу Х потоков средств производства, зная что хij=аij×хj,(i, j=1,2,3)

x11 = 0,2×2338,89 = 467,78

x12 = 0,3×2133,33 = 640

x13 = 0,1×2311,11 = 231,11

x21 = 0 × 2338,89 = 0

x22 = 0,3×2133,33 = 640

x23 = 0,3×2311,11 = 693,33

x31 = 0,4×2338,89 = 935,56

x32 = 0,1×2133,33 = 213,33

x33 = 0,2×2311,11 = 462,22

Матрица

2.3.4. Вычислим общие доходы каждой потребляющей отрасли:

P1 = 2338,8,78 + 935,56) = 935,55

P2 = 2133,3+ 640 + 213,33) = 640

P3 = 2311,1,11 + 693,33 + 462,22) = 924,45

2.3.5. Составим таблицу межотраслевого баланса:

Потребляющие отрасли Производящ. отрасли	I	II	III	Конечный продукт	Валовой продукт
I	467,78	640	231,11	1000	2338,89
II	0	640	693,33	800	2133,33
III	935,56	213,33	462,22	700	2311,11
Общий доход	935,55	640	924,45
Валовой продукт	2338,89	2133,33	2311,11

2.3.6. Матричное уравнение (*) легко приводится к виду (E - A)X = Y, откуда следует уравнение X = (E - A)-1×Y, дающее иную возможность вычислить вектор валового продукта. Матрица Аn = (E - A)-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат.

Для вычисления матрицы Аn вначале находится матрица:

Определитель этой матрицы:

det (E-A) = 0,8×0,7×0,8-0,3×0,3×0,4-0,4×0,7×0.1-0,1×0,3×0,8 = 0,36 ¹ 0

Затем вычисляются алгебраические дополнения Аij матрицы (E-A)

= 0,25

По правилу вычисления обратной матрицы находим:

Вопросы к экзамену

1. Понятие модели и экономического моделирования.

2. Этапы процесса моделирования.

3. Виды моделирования. Понятие математической модели.

4. Особенности применения метода математического моделирования в экономике.

5. Классификация экономико-математических моделей.

6. Место и роль математического моделирования в экономической науке.

7. Общая постановка задачи межотраслевого баланса. Таблица межотраслевого баланса.

8. Уравнения распределения продукции отраслей народного хозяйства. Два способа вычисления конечного общественного продукта.

9. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Три вида задач межотраслевого баланса.

10. Допущения модели межотраслевого баланса.

11. Матричная запись и решение уравнений модели межотраслевого баланса.

12. Свойства матриц, входящий в модель межотраслевого баланса.

13. Коэффициенты полных материальных затрат. Модель объемов выпуска.

14. Косвенные затраты и способы их вычисления. Связь полных материальных затрат с косвенными и прямыми.

15. Натуральный межотраслевой баланс и сводный материальный.

16. Модель равновесных цен.

17. Методы решения системы уравнений межотраслевого баланса.

18. Вычисление коэффициентов полных материальных затрат.

19. Динамические модели межотраслевых связей.

20. Оптимальное планирование и математическое программирование.

21. Общая постановка и виды задач линейного программирования.

22. Двойственная задача линейного программирования.

23. Первая и третья (об оценках) теоремы двойственности. Их применение при анализе и решении задач линейного программирования.

24. Вторая теорема двойственности. Ее применение при решении и анализе задач линейного программирования.

25. Объективно-обусловленные оценки и их свойства.

26. Определение интервалов устойчивости объективно-обусловленных оценок.

27. Анализ размерности переменных прямой и двойственной задачи линейного программирования.

28. Задачи оптимизации производственной программы предприятия.

29. Задачи оптимального использования сырья.

30. Задачи определения наилучшего состава смеси.

31. Матричная и математическая модель транспортной задачи.

32. Открытая и закрытая модель транспортной задачи. Вырождение транспортной задачи.

33. Задача двойственная к транспортной.

34. Теорема о потенциалах и метод потенциалов.

35. Эластичность функции. Непрерывный и дискретный случай.

36. Свойства эластичности. Эластичность элементарных функций.

37. Эластичность спроса по цене и ее связь с выручкой продавца.

38. Эластичность спроса по доходу и перекрестная эластичность спроса по цене.

39. Связь цены монополиста с эластичностью спроса по цене.

40. Функция полезности и ее свойства.

41. Кривые безразличия. Нахождение решения задачи потребительского выбора графическим методом.

42. Модель потребительского выбора и нахождение решения методом множителей Лагранжа.

43. Функции спроса. Косвенная функция полезности.

44. Модель Стоуна.

45. Эффекты компенсации.

46. Уравнение Слуцкого.