Математический конструктив мыльной пленки в масштабируемом рельефе

УДК 519.652

ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНСТРУКТИВ МЫЛЬНОЙ ПЛЕНКИ В МАСШТАБИРУЕМОМ РЕЛЬЕФЕ

P. A.Kim

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS

6, prospect Akademika Lavrentjeva, Novosibirsk, Russian Federation.

THE MATHEMATICAL ABSTRACT OF SOAP FILMS IN THE SCALABLE MODEL OF THE RELIEF

The established relation between the scaled model of the relief developing in laboratory of Processing of images of Institute of Computational Mathematics and mathematical geophysics, allows to use for surface construction of a relief some mathematical ideas, about shapes of soap films and soap bubbles. So they forms constructive elements, and after modification would made generation process more effective.

Классическая минимаксная задача в трехмерном пространстве утверждает, что минимальной поверхностью, заключающей в себе данный объем является сфера. Также было показано[1,2], что поверхностью охватывающей два равных объема является двойной пузырь, полученный сближением сфер таким образом, что плоская поверхность диска, разделяющая объемы и поверхности сфер пересекаются по окружности, под углом 120 градусов (принцип Плато).

Фиг.1 Варианты строения двойных мыльных пузырей, заключающих в себе два равных объема.

Сложность этой задачи иллюстрируется фиг. 1, где представлены два варианта возможного топологического строения двойного мыльного пузыря. При этом энергетически минимальной оказывается левая конфигурация. Аналогичная задача для кластеров из большего числа пузырей (фиг.2) до настоящего момента не решена. Установленная связь масштабируемой модели рельефа, разрабатываемой в лаборатории Обработки изображений института Вычислительной математики и математической геофизики[3-8], позволяет использовать для построения поверхности рельефа математические идеи, расчета поверхностей мыльных пленок и мыльных пузырей, формируя из них конструктивные элементы, модификацией которых возможно эффективизировать процесс генерации поверхности рельефа.




Фиг.2 Сложный кластер мыльных пузырей

пузырей, заключающих в себе два равных объема.

Представим математические подходы к построению модели мыльной пленки в соответствии с изложением [9]. ведём в пространстве систему координат Oxyz. На фиг.3 изобра­жён контур с натянутой на него плёнкой (т. е. поверхностью) Ω. Пусть проекция Ω на плоскость хОу есть некоторая область на плоскости; обо­значим её через G. Проекцию контура, т. е. границу области G, обозна­чим через Г. Рассмотрим точку (x,y,z) на поверхности Ω и её проекцию, точку (х, у) в области G. Тогда высота точки на поверхности пред­ставляет собой функцию двух переменных: z = и(х, у) или z = и(А), где А — точка с координатами (х, у).

Фиг.3. Математическая модель мыльной пленки

Контур в пространстве задан (известна высота каждой точки кон­тура), значит, дана функция f(Q), Q $ Г. Теперь задача состоит в том, чтобы найти значения функции и(А), А $ G, которая описывает поверхность Ω. Мыльная плёнка, затягивающая замкнутый контур, будет занимать положение, при котором силы натяжения урав­новесятся, что отвечает уравнению Лапласа и имеет следующий вид: (1). Кроме того, для функции и должно выполняться краевое условие u(Q) = f(Q) (2) для всех Q $ Г. Таким образом, требуется найти функцию и(А), А $ G, удовлетво­ряющую уравнению Лапласа (1) и краевому условию (2).

К сожалению, общего метода решения этой задачи не существует, и для его решения предлагается приближённое решение, для чего применяется дискретная мате­матическая модель задачи. Построим на плоскости координатную сетку, раз­бивающую плоскость на маленькие квадратики. Пусть для простоты граница Г области G проходит по сторонам квадратиков. Будем рас­сматривать не все точки G и Г, а только те из них, которые являются узловыми точками сетки (вершинами квадратиков).




.

Фиг.4. Проекция дискретной модели пленки

Пусть Q1, Q2, ..., Qm — узловые точки сетки, лежащие на лома­ной Г, и известны значения f(Qi), 1 M i M m. Теперь задача состоит в том, чтобы найти значения функции и(А) для всех узловых точек А $ G. (Тогда, если сетка достаточно мелкая, по значениям функции и в узлах сетки можно построить хорошее приближение значений этой функции и в остальных точках области G.) Аналогом уравнения Лапласа в дискретном случае будет разностная схема

(3)

где вместе с точкой А рассмотрены четыре соседние вершины: ,,,, (см. фиг. 4). Итерационный метод позволяет достичь результата, однако эффективность такого прямолинейного подхода весьма невысока. Существуют и другие подходы, в частности, метод случайного блуждания.

Переход от ступенчатой модели рельефа к масштабируемой минимаксной модели будем осуществлять итерационным способом, последовательно уменьшая площадь огибающей поверхности. Сходимость итерационного процесса обеспечивается эвристическим механизмом разбиения рельефа на ортогональные (вертикальные и горизонтальные) полосы. При сокращении длины огибающей полосы по одному из направлений, с сохранением ограничиваемого этой огибающей объема[5], следующая итерация будет проводиться по ортогональному направлению. Работа частично поддержана грантом РФФИ -а.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

[1] F. Morgan. Soap bubble clusters // Reviews of Modern Physics, 79, июля 2007 года).

[2] Joel Hass and Roger Schlafly Double bubbles minimize // Annals of Mathematics, , pp.459-515




[3] Ким обоснование масштабируемой модели рельефа: классификационный подход.// Тр. Межд. научн. конгр. "ГЕО-Сибирь-2008", Новосибирск 2008 , т.3.ч.2 стр.220-222

[4] Kim P. A., Kalantaev P. A. OBJECT'S IDENTIFICATION In SCALED MODEL of REGIONAL GEOINFORMATION PROCESSES //Proceedings 9th Internetional Conference on PATTERN RECOGNITION AND IMAGE ANALISYS: NEW INFORMATION TECHNOLOGIES (PRIA-9-2008). Nizhni Novgorod, 2008, vol.1 pp 293-296.

[5] ПОЛИДУГА КАК ЭЛЕМЕНТ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПРОФИЛЕЙ МАСШТАБИРУЕМОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА. // Труды Международного научного конгресса «ГЕО-Сибирь-2007», 25-27 апреля 2007, Новосибирск, Россия, т.3 «Дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия, мониторинг окружающей среды, геоэкология», с.188-192.

[6] О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МАСШТАБИРУЕМОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА.// Сборник материалов международного научного конгресса "ГЕО-СИБИРЬ-2006".АПРЕЛЯ 2006 РОССИЯ, Сибирская государственная геодезическая академия. НОВОСИБИРСК, 2006,Том 3 "Мониторинг окружающей среды, геоэкология, дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия", часть 1, стр.212-217.

[7] Ким подход к визуализации масштабируемой модели рельефа.// Труды 16 Международной конференции по компьютерной графике и ее приложениям ГрафиКон"20июля 2006 года, Россия, Новосибирск, Академгородок, ИВМиМГ СО РАН,2006, стр.355-359.

[8] Ким виртуальный программно-аппаратный комплекс СВПАК-2003: ГИС-моделирование.// Труды Всероссийской научно-методической конференции «Моделирование географических систем», Россия, Иркутск, 1-3 ноября 2004,с. 78-80.

[9]Сосинский плёнки и случайные блуждания //Серия: «Библиотека „Математическое просвещение"» выпуск 6, М.: МЦНМО, 2000. — 24 с.: ил.

ã . 2009



Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Проекты по теме:

Математика
Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.