Задания
для проведения Российско – Белорусской олимпиады
по математике
в Суражском педагогическом колледже им.
2013 год.
1. Докажите, что при любом неотрицательном n выражение 7 ∙ 52n + 12 ∙ 6n
делится на 19.
2. Постройте график функции
y = х2 – 3х + 2 .
|х – 2|
3. Все натуральные числа от 1 до 100 разбиты на две группы: четные и нечетные. Определите, в какой из групп сумма всех цифр, использованных для записи чисел больше и на сколько?
4. Высоты треугольника пересекаются в точке О. Известно, что ОС = АВ.
Найдите угол при вершине С.
5. Есть 30 шаров красного, желтого и зеленого цвета. Петя рассматривает их и выбирает из них 10, затем Вася выбирает 5 понравившихся ему из этих 10-ти, а потом опять Петя выбирает 2 из этих 5-ти. Если оба окажутся красными, Петя выиграл. При каком наименьшем количестве красных шаров Петя наверняка может выиграть?
Ответы к заданиям
для проведения Российско – Белорусской олимпиады
по математике
в Суражском педагогическом колледже им.
2013 год.
1. Доказательство. Преобразуем выражение:
7 ∙ 52n + 12 ∙ 6n = 7 ∙ 25n + 19 ∙ 6n – 7 ∙ 6n = 19 ∙ 6n + (7 ∙ 25n - 7 ∙ 6n) =
= 19 ∙ 6n + (25n - 6n) ∙ 7.
Первое слагаемое 19 ∙ 6n делится на 19 т. к. один из множителей (19) делится на 19; второе слагаемое 25n - 6n делится на 25 – 6, т. е. на 19. Значит, и сумма делится на 19. Что и требовалось доказать.
2. Решение. Функция не определена в точке х = 2. Пользуясь определением модуля, перепишем ее в виде
y = х2 – 3х + 2 = х – 1 при х > 2, y y = x - 1
|х – 2|
1 – х при х < 2,
y = 1-x 1
График функции показан
на рис. 22. ox
рис. 22.
3. Расположим четные и нечетные числа от 1 до 100 в два ряда:
……
15 …… 99.
Под каждым четным числом (кроме 100) стоит нечетное число, сумма цифр которого на 1 больше. Всего таких пар 49. У чисел 1 и 100 сумма цифр одинакова. Следовательно, сумма цифр нечетных чисел больше на 49.
Ответ: сумма цифр нечетных чисел больше суммы цифр четных чисел на 49.
4. Решение. Рассмотрим случай, когда ∠ВСК – острый (рис.29). Учитывая, что ОС = АВ, а ∠АВК = ∠ОСК (углы со взаимными перпендикулярными сторонами), видим, что 
ΔАВК = Δ ОСК (по гипотенузе и острому углу), отсюда ВК = СК. Значит, ΔВКС – равнобедренный и ∠ВСК = 450.
В
М
 |
О
 |
А К С
рис. 29
Аналогично рассматриваем случай, когда ∠ВСК – тупой. В этом случае ∠ВСК = 1350.
Ответ: 450 или 1350.
5. Решение: Будем решать задачу с конца. Чтобы Петя смог взять два красных из последних пяти, желтых и зеленых в этой пятерке должно быть не больше трех. Следовательно, в отобранной Петей десятке шаров в начале игры, желтых и зеленых должно быть тоже не больше трех. Иначе Вася, сможет выбрать не менее четырех шаров, среди которых не будет красных. А, значит, второй раз Петя будет выбирать из пяти шаров, среди которых точно не будет двух красных. Поэтому наименьшее количество красных шаров семь. (И Петя обязательно выбирает их в первую десятку).
Ответ: семь шаров.
Тематика олимпиадных заданий
1. Задачи.
2. Функции и их графики.
3. Алгебраические выражения и их преобразования.
4. Элементы теории вероятностей.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Департамент общего и профессионального образования
ГБОУ СПО «Суражский педагогический колледж им. »
МАТЕРИАЛЫ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ РОССИЙСКО – БЕЛОРУССКОЙ ОЛИМПИАДЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ
В СУРАЖСКОМ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ КОЛЛЕДЖЕ
ИМ. А. С. ПУШКИНА
2013 г.
Задания составлены в соответствии с Государственным стандартом основного общего образования по математике Министерства образования и науки Российской Федерации
Утверждены на заседании ПЦК математики, физики, ТСО, информатики от ___________ протокол № ___
Председатель ПЦК: __________
Рекомендации
по проведению олимпиады по математике
Время, отводимое на решение задач: 90 минут
Министерством образования России рекомендуется при проверке решений задач городских (районных) олимпиад исходить из 7-балльного оценивания каждой задачи (независимо от ее сложности). При этом можно придерживаться следующих критериев:
Число баллов | Критерии |
7 | Решение верное, полное, не содержит ошибок |
6 | Решение верное, но содержит недочеты |
4 - 5 | Решение в основных чертах верное, но не полное или содержит непринципиальные ошибки |
1 - 3 | Решение неверное, но содержит разумные соображения, имеется некоторое продвижение вперед в решении задачи |
0 | Решение неверное или отсутствует |
Решение считается неполным, если оно:
- содержит все идеи, но не доведено до конца;
- при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, то есть явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя считать известными или очевидными.
Рекомендации
по проведению олимпиады по математике
Время, отводимое на решение задач: 90 минут
Министерством образования России рекомендуется при проверке решений задач городских (районных) олимпиад исходить из 7-балльного оценивания каждой задачи (независимо от ее сложности). При этом можно придерживаться следующих критериев:
Число баллов | Критерии |
7 | Решение верное, полное, не содержит ошибок |
6 | Решение верное, но содержит недочеты |
4 - 5 | Решение в основных чертах верное, но не полное или содержит непринципиальные ошибки |
1 - 3 | Решение неверное, но содержит разумные соображения, имеется некоторое продвижение вперед в решении задачи |
0 | Решение неверное или отсутствует |
Решение считается неполным, если оно:
- содержит все идеи, но не доведено до конца;
- при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, то есть явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя считать известными или очевидными.
При оценивании решения не следует снижать баллы за нерациональность рассуждений или исправления, внесенные учеником в ходе решения.
Нахождение второго варианта решения задачи оценивать в 1 – 2 балла, в зависимости от сложности задачи. За наличие «красивых» (оригинальных) идей в решении можно поощрять дополнительным баллом.
При присваивании призовых мест желательно придерживаться следующих соображение:
1 место присуждается при наборе учеником не менее 75 % общего числа баллов.
2 место присуждается при наборе учеником 60% - 75% общего числа баллов.
3 место присуждается при наборе учеником 50% - 60% общего числа баллов.
