Задачи по математике на краевую олимпиаду для школьников (1 тур)

(Максимальное число очков 50 баллов)

1.  Если собрать урожай в первую неделю августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг картофеля и реализовать его по цене 32 руб. за 1 кг. Отсрочка уборки на каждую из следующих трёх недель ведёт к увеличению урожайности на 50 кг с каждой сотки, но цена 1 кг картофеля при этом падает на 4 руб. На какой неделе августа следует собрать урожай картофеля, чтобы доход от его продажи был наибольшим? Каков будет доход с одной сотки? (2 балла)

2.  Первую половину трассы автобус проехал со скоростью 38 км/ч, а вторую - со скоростью 57 км/ч. Найти среднюю скорость автобуса на протяжении всего пути. (2 балла)

3.  Цена товара увеличилась на 25%. На сколько процентов полученную цену нужно снизить, чтобы получить первоначальную цену? (2 балла)

4.  В течение февраля цена на огурцы выросла на %, а в течение марта – ещё на 20%. На сколько процентов поднялась цена за два месяца? (2 балла)

5.  Бригада взяла кредит в двух банках на сумму 250000 руб. В одном – под 5% годовых, в другом - под 7% годовых. За год ей нужно выплатить 15500 руб. процентных денег. Сколько денег было взято в каждом банке? (2 балла)

6.  Укажите все номера рациональных чисел в данном множестве:

1)  2) 3)

4) 5) (3 балла)

7.  Упростить выражение . (3 балла)

8.  Найти , если . (3 балла)

9.  Решить уравнение . (3 балла)

10.  Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получим число, записанное с помощью тех же цифр, но расположенных в обратном порядке. Найти это число. (2 балла)

11.  При каких целых значениях n число – целое? (3 балла)

12.  Решить в натуральных числах уравнение . (3 балла)

13.  Найти область определения функции . (2 балла)

14.  Найти область значений функции . (3 балла)

15.  Найти наибольшее значение функции отрезке . (3 балла)

16.  Требуется огородить участок прямоугольной формы вдоль выстроенной стены. Стоимость ограждения стороны, параллельной стене, равна 60 руб. за 1 погонный метр, стоимость ограждения двух других сторон составляет 90 руб. за 1 погонный метр. Какая наибольшая площадь может быть огорожена, если имеется всего 10800 руб.? (2 балла)

17.  Решить уравнение . (3 балла)

18.  В треугольнике угол равен 30°, сторона равна 10 см, – точка пересечения высот. Найти радиус окружности, описанной около треугольника . (2 балла)

19.  В параллелограмме острый угол равен 60°. Найти площадь параллелограмма, если его периметр равен 22 см, а меньшая диагональ равна 7 см. (2 балла)

20. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, и каждое ребро равно b . Найти объём пирамиды. (3 балла)