Вопросы к экзамену по теории вероятностей и математической статистике (стр. 3 )

3. Определим статистические показатели ряда распределения.

Среднее арифметическое признака Х определяется по формуле:

, где - объем вариационного ряда.

Выборочная дисперсия признака определяется по формуле:

Среднеквадратическое отклонение признака Х определяется по формуле:

.

Тема: Проверка статистических гипотез.

Пример. По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении СВ по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98.

n=182

58	60	63	64	65	67	68	69	70	70	72	73	73	74	74	75	80	67	70
79	8	82	82	83	84	85	85	86	88	89	90	93	95	100	57	83	80	59
68	68	70	70	72	72	73	73	74	74	75	77	77	78	79	79	78	83	68
84	85	86	86	88	90	91	94	95	57	58	60	64	64	65	68	82	69	79
73	73	74	75	75	77	77	78	78	79	80	80	82	82	83	84	69	72	69
93	94	96	57	62	65	65	68	69	70	72	73	74	75	77	77	70	85	82
85	85	88	88	90	98	103	55	59	62	62	63	64	65	67	67	82	89	80
72	72	73	73	74	74	75	75	77	77	78	78	78	79	79	80	83	78	79
84	84	85	86	86	88	89	90	90	91	94	99	101	75	77	78	75	83	89
62	63	65	80	82	82	69	70	72	86	88

Решение. Для построения интервального ряда распределения определим число групп в ряду распределения по формуле :

.

Принимаем число интервалов .

Максимальное значение ряда 103, минимальное значение ряда 55.

Длина интервала: .

Центр распределения: .

Поскольку число интервалов нечетное, центр распределения находится в центре среднего интервала.

Полученный ряд распределения: (52-58); (58-64); (64-70); (70-76); (76-82); (82-88); (88-94); (94-100); (100-106).

Принимаем гипотезу , утверждающую, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения. В качестве критерия для проверки этой гипотезы используем случайную величину -критерий согласия Пирсона, который имеет приближенное распределение с числом степеней свободы . Здесь k – число интервалов, на которые разделена область изменения Х; r – количество неизвестных параметров теоретического распределения, оценки которых вычисляются по выборке; n – объем выборки; - эмпирические частоты; - теоретические частоты, где - вероятность попадания значения признака Х в i-й интервал. Чтобы утверждение о распределении случайной величины по закону было достаточно точным, требуется выполнение условия . В случае невыполнения условия для некоторых интервалов, их объединяют с соседними.

Теоретические частоты вычислим по формулам: , где , - значения функции распределения нормированного нормального распределения (находится по таблице).

Внимание! Если в таблице значений функции пределы интегрирования от 0 до х, т. е., то , ,

Если в таблице значений функции пределы интегрирования от -¥ до х, т. е., то , , .

Левый конец первого интервала принимаем равным -¥, а правый конец последнего интервала +¥.

Определим эмпирические частоты и характеристики выборки:

№ n/n	Интервалы	Частоты	Середины интервалов
1	52-58	4	55	-21,53	2045,82
2	58-64	13	61	-15,53	3588,92
3	64-70	26	67	-9,53	2929,85
4	70-76	42	73	-3,53	894,67
5	76-82	34	79	2,47	65,18
6	82-88	33	85	8,47	1799,57
7	88-94	19	91	14,47	3403,81
8	94-100	8	97	20,47	3006,11
9	100-106	3	103	26,47	1933,14
		182			19667,08

Характеристики выборки рассчитываются по следующим формулам:

Выборочное среднее

Выборочная дисперсия

Среднеквадратическое отклонение .

Определим доверительный интервал для . Интервальной оценкой (с надежностью γ) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал < a <, где S – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение (), находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному числу степеней свободы и уровню значимости . Для γ = 0,98 и n = 182 =2,33.

,

< a <.

Таким образом, интервалом, покрывающим с вероятностью 0,98, служит интервал (75,82; 79,42).

Для вычисления теоретических характеристик составим расчетную таблицу.

i	Границы интервала	Ф(ui)	Ф(ui+1)	npi	ni
хi	хi+1	ui	ui+1
1	-¥	58	-¥	-1,887	-0,5	-0,4706	5,3508	4
2	58	64	-1,887	-1,310	-0,4706	-0,4049	11,9574	13
3	64	70	-1,310	-0,733	-0,4049	-0,2673	25,0432	26
4	70	76	-0,733	0,155	-0,2673	-0,0636	37,0734	42
5	76	82	0,155	0,422	-0,0636	0,1628	41,2048	34
6	82	88	0,422	0,999	0,1628	0,3413	32,487	33
7	88	94	0,999	1,576	0,3413	0,4429	18,4912	19
8	94	100	1,576	2,153	0,4429	0,4846	7,5894	8
9	100	+¥	2,153	+¥	0,4846	0,5	2,8028	3
∑							182,00	182

Поскольку для последнего интервала теоретическая частота меньше 5, объединим два последних интервала в один и на основании полученных величин найдем расчетное значение критерия Пирсона.