Динамические модели экономических систем (стр. 1 )

Динамические модели экономических систем
, к. т.н., начальник «Аналитического управления»

КБ «БФГ-Кредит»

ВВЕДЕНИЕ

Динамические модели описывают траектории развития комплекса показателей, характеризующих состояние экономического объекта (предприятия, отрасли, национальной экономики и др.) в зависимости от аргумента времени. Экономическая кибернетика для постро­ения таких моделей использует операторные методы, впервые примененные для решения динамических задач в электротехнике и автоматике [1, 2].

В общем виде суть операторного метода можно представить следующим образом. Основные показатели экономических объектов (ресурсы, расходы, доходы, налоги и т. д.) представляются скалярными векторами, отражающими величину стоимости ресурсов или потоков стоимости в единицу времени. Начальное состояние экономической системы, обозначаемое состоянием входа х, преобразуется в состояние выхода у. Такое преобразование представляется в виде равенства:

у = Т х. ( 1)

Символ Т называется оператором преобразования. Оператор – это правило, которое определяет, что нужно сделать с вектором х на входе, чтобы получить состояние у на выходе. Графически такое преобразование представляется в виде, показанном на рис. 1.

Рис. 1. Графическое представление
преобразования х в у оператором Т

В дальнейшем для построения экономических моделей будем применять линейные операторы. Линейные операторы удовлетворяют следующим условиям:

Т(а х) = аТ(х); ( 2)

Т(х +z) = Т(х) + Т(z). ( 3)

Условия должны выполняться для всех х и z рассматриваемого множества, также для любой постоянной а.

Условие (2) означает, что преобразование величины ах равнозначно преобразованию вектора х с последующим умножением полученного результата на константу а. Другими словами, константу можно вынести за знак оператора.

Условие (3) означает, что линейные операторы обладают свойством аддитивности: преобразование суммы эквивалентно преобразованию слагаемых.

Простейший линейный оператор – оператор пропорционального преобразования. Такой оператор преобразует состояние входа х в состояние выхода у посредством умножения состояния входа на некоторое действительное число к, следовательно, у = kх . В данном случае оператор – это правило: «умножить х на k».

1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА

Исследуемые модели относятся к классу линейных. Они описываются системой линейных интегро-дифференциальных уравнений. Блок схемы моделей состоят из скалярных векторов и линейных операторов, отображающих эти уравнения. Вектора и операторы преобразования представляют функции изображения, получаемые на основе преобразования временной функции по формуле прямого преобразования Лапласа [3]. Аргументом функции изображения является комплексная переменная s:

F(s) = .

Функция f(t) вычисляется по формуле обратного преобразования Лапласа:

f(t) = .

Каждой функции F(s) соответствует функция оригинала f(t). Соответствие функции изображения F(s) функции оригинала f(t) обозначается с помощью знака соответствия (÷):

F(s) ÷ f(t) ( 4)

или, что то же

f(t) ÷ F(s). ( 5)

В литературе применяется также другая форма записи преобразования Лапласа. Прямое преобразование записывается в виде:

L[f(t)] = F(s); ( 6)

обратное преобразование Лапласа в виде:

L-1 [F(s)] = f(t). ( 7)

Операторы преобразования на основе функции изображения по Лапласу представляют передаточную функцию W(s) от комплексной переменной s. Передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходной величины у(s) операторного звена к изображению входной величины х(s) при нулевых начальных условиях.

W(s) = у(s)/ х(s). ( 8)

Графически преобразование соответствующее (8) может быть представлено в виде блок-схемы, представленной на рис. 2.

Рис. 2. Блок-схема преобразования функций
изображения х(s) в у(s)

Величина у(s) на рис. 2 вычисляется путем простого перемножения:

у(s) = х(s) W(s) ( 9)

Если известны входная функция х(s) ÷ х(t) и передаточная функция изображения W(s), оригинал функции у(t) может быть вычислен по формуле

у(t) = L-1[у(s)] = L-1[х(s) W(s)] ( 10)

Для решения прикладных аналитических задач определение оригинала у(t) осуществляется с помощью таблиц операционных соответствий, которые, как правило, достаточны для большинства прикладных задач моделирования. Минимальный перечень таких соответствии, достаточный для исследуемых в работе моделей, представлен в приложении 1.

2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

К элементарным операторам отнесем минимальный набор простейших передаточных функции изображений, необходимых для построения структурных блок-схем экономических объектов. Такими звеньями являются:

·  оператор пропорционального преобразования;

·  оператор дифференцирования;

·  оператор интегрирования;

·  оператор чистого запаздывания;

·  оператор суммирования.

Этих операторов достаточно, чтобы отразить в пространстве изображений по Лапласу все линейные преобразования с временными функциями оригиналами. Ниже приведем описание этих операторов и указаны возможные объекты их применения для моделирования экономических процессов.

Оператор пропорционального преобразования

Оператор пропорционального преобразования отражает операцию умножения функции оригинала х(t) на постоянное действительное число k: у(t) = kх(t). В пространстве изображений эта операция запишется виде равенства: у(s) = kх(s). Графически операция отражается в виде блок схемы на рис. 3.

Рис. 3. Блок-схема операции пропорционального преобразования

Примеры объектов применения:

·  входной вектор – прибыль предприятия, оператор – процент налогообложения, выходной вектор – налоговые платежи;

·  входной вектор – ресурсы предприятия, оператор – частота оборачиваемости, выходной вектор – поток ресурсов;

·  входной вектор – активы банка, оператор – доходность активов в %/год, выходной вектор – поток доходов.

Оператор дифференцирования

Оператор преобразует х(t) в выходной вектор у(t) в соответствии с уравнением: у(t)=dх(t)/dt. В пространстве изображений оператор дифференцирования W(s)=s, следовательно, операция запишется в соответствии с (9) в виде у(s) = sх(s). Блок-схема преобразования с оператором дифференцирования показана на рис. 4.

Рис. 4. Блок-схема операции дифференцирования

Примеры объектов применения:

·  входной вектор – оборотные средства, выходной вектор – поток расходов оборотных средств;

·  входной вектор – денежные остатки на расчетном счете, выходной вектор – поток платежей с расчетного счета (при допущении непрерывного характера потоков)

Оператор интегрирования

Операция интегрирования является обратным преобразованием операции дифференцирования. В пространстве изображений над операторами возможны алгебраические действия. Поскольку интегрирование является операцией обратной дифференцированию, ее изображение получается возведением последней в степень (-1), то есть

х(t)dt ÷ W(s) = s-1 = 1/s.

Графически преобразование входного вектора оператором интегрирования показано на рис. 5.

Рис. 5. Блок-схема операции интегрирования

Примеры объектов применения:

·  входной вектор – поток прибыли, выходной вектор – прирост капитала;

·  входной вектор – поток выпускаемой продукции, выходной вектор – прирост запасов продукции на складе предприятия.

Оператор чистого запаздывания

Оператор преобразует х(t) в выходной вектор

у(t) = х(t-), моделируя временное чистое запаздывание на величину . В пространстве изображений оператор . Операция отображается уравнением.

Блок-схема операции представлена на рис. 6.

Рис. 6. Блок-схема операции с чистым
запаздыванием

Примеры применения:

·  входной вектор – инвестиции в строительство, выходной вектор – ввод основных фондов;

·  входной вектор – авансовые платежи, выходной вектор – поставки по авансовым платежам.

Рис. 7. Схемы графического представления операции суммирования

Оператор суммирования

Оператор преобразует входные вектора хi(t) в выходной вектор у(t) = хi(t) . В пространстве изображений уравнение запишется в виде у(s) = хi(s). Графически операция суммирования отображается двумя схемами, представленными на рис. 7-а) и рис. 7-б).

Примеры объектов применения:

·  входные вектора – потоки доходов, выходной вектор – суммарный вектор доходов;

·  входные вектора – потоки расходов – выходной вектор – суммарный вектор расходов;

·  входные вектора – потоки доходов и расходов, выходной вектор – прибыль.

3. ТИПОВЫЕ СХЕМЫ СОЕДИНЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ

Параллельное соединение операторов

При параллельном соединении операторов входной вектор преобразуется несколькими операторами. Результаты преобразования суммируются (см. рис. 8). Результат преобразования вычисляется по формуле:

у(s) = х(s) ( 11)

Из (11) следует, что параллельное соединение n операторов эквивалентно одному оператору с передаточной функцией

Wху(s) =.

Рис. 8. Схемы графического представления
операции суммирования

Последовательное соединение операторов

В схеме с последовательным соединением операторных звеньев выходные вектора служат входом следующего оператора (см. рис. 9)

Выходной вектор в этой структуре вычисляется из уравнения:

у(s) = х(s) ( 12)

откуда следует, что последовательное соединение звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией

Wху(s) = .

Рис. 9. Последовательное соединение операторов

Параллельное соединение вектора с оператором

Схема соединения показана на рис. 10.

Рис. 10. Параллельное соединение вектора
с оператором

В соответствии с блок- схемой (см. рис. 10), выходной вектор равен:

у(s) = х(s)(1+W(s

Из (13) очевидно, что связь выхода с входом можно представить одним звеном с передаточной функцией

Wху(s) = (1+W(s)).

Блок-схема на рис. 10 применяется для моделирования ценообразования продукции, (услуг), налогообложении прибыли, начислении НДС и т. д. Например, при налогообложении прибыли по процентной ставке g получаем

W(х) = g; х2(s) = g х(s),

а

у(s) = (1 - g) х(s).

Блок-схема преобразования с обратной связью

Обобщенная формула коэффициента передачи в схеме с обратной связью

В природе, в разнообразных технических и экономических системах очень часто входное состояние системы зависит не только от экзогенных (внешних) факторов, но и от состояния на выходе, которое воздействует на его входное состояние. Простейший пример: закипающая вода в кастрюле заливает костер и тем самым уменьшает воздействие костра на подогрев воды. Подобные системы с воздействием выходного вектора на величину входного называются системами с обратной связью.

Блок-схема системы с обратной связью приведена на рис. 11.

Рис. 11. Блок схема с обратной связью выхода с входом

В этой блок-схеме вектор у(s) на выходе звена Wп(х) через звено Wос(х) связан с входным вектором х(s). Так называемый, вектор обратной связи

уос(s) = Wос(s) у(s), ( 14)

алгебраически складывается с входным вектором х(s). В результате непосредственно на входе звена Wп(х) будем иметь вектор, равный сумме двух векторов:

хт(s) = х(s) ± уос(s)

В свою очередь, выходной вектор связан с вектором хт(s) равенством:

у(s) = Wп(х) хт(s

Рассмотрев совместно три уравнения (14), (15) и (16), получим уравнение, связывающее вектор у(s) на выходе блок-схемы с вектором х(s) на его входе:

( 17)

Таким образом, блок-схему с обратной связью можно заменить схемой с одним оператором, с коэффициентом передачи Wоп(s), вычисляемой по формуле

(17*)

Полученное уравнение (17*) лежит в основе теории обратной связи, широко применяемой в различных отраслях науки и техники: электротехнике, радиотехнике, электронике, автоматике, кибернетике. В теории обратной связи принято называть цепочку из звеньев, осуществляющих преобразование входного вектора в выходной и обратное преобразование, контуром обратной связи.

В контуре обратной связи выделяют цепь прямой связи и цепь обратной связи. Каждая из них может состоять из соединения нескольких звеньев. Оператор Wп(s) называется оператором (звеном) прямого преобразования или оператором прямой связи, а оператор Wос(s) оператором (звеном) обратного преобразования или оператором цепи обратной связи. При сложении входного вектора в фазе с вектором уос(s) обратная связь называется положительной, при сложении в противофазе – отрицательной.

Для схемы с положительной обратной связью коэффициент передачи эквивалентного звена Wоп(s) равен

( 18)

Для схемы с отрицательной обратной связью в знаменателе знак минус поменяется на плюс. В этом несложно убедиться при выводе (18).

В экономике схема с обратной связью используется для моделирования кругооборота финансов, капитала, анализа динамики систем расширенного воспроизводства ресурсов и т. д.

Применение схемы с обратной связью для моделирования инерционных процессов

Запаздывание выхода относительно входа для непрерывных процессов отображается оператором

( 19)

Этот оператор широко применяется для моделирования инерционных процессов. Покажем, что этот оператор описывает поведение системы с обратной связью. На рис. 12а и 12б представлены две схемы с обратной. Подставим в (18) коэффициенты передачи прямой и обратной цепи связи в соответствии с блок-схемами рис. 12а и 12б. В результате получим, что обе схемы реализуют коэффициент передачи между входным и выходным вектором в соответствии с (19)

Определим временную функцию выходного вектора, для случая, когда на вход эквивалентного звена с оператором (19) поступает

х(t) = хн1(t),

где

хн – константа;

1(t) –единичная, ступенчатая функция.

Функция изображения входного вектора будет равна

х(s) = хн/s.

Умножая входной вектор на коэффициент передачи (19) получим для схемы рис. 12а и 12б :

Рис. 12. Блок-схемы операции с непрерывным запаздыванием

Временная функция на выходе звена будет равна (см. приложение 1):

Блок-схема на рис. 12а отображает преобразование входного вектора в соответствии с решением дифференциального уравнения

Блок-схема на рис. 12б отображает преобразование входного вектора в соответствии с решением интегрального уравнения

В экономике инерционное звено апериодического типа с коэффициентом передачи (19) применяется для отображения запаздывания потоков платежей от реализации продукции относительно потока произведенных расходов на его производство, запаздывания потока поступлений на расчетные счета клиентов банка от потоков клиентских платежей и т. д.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ (СИСТЕМ)

Правила составления структурных схем экономических объектов

Графическое изображение структуры экономических систем открывает возможности творческого поиска вариантов моделей, адекватных анализируемым объектам.

Реальные объекты экономики характеризуются агрегированными экономическими показателями. При этом существуют показатели на разных уровнях агрегирования. Например, доходы и расходы отдельных подразделений можно просуммировать и выявить взаимосвязь между доходом и расходами предприятия в целом. Соответственно, предприятие может быть представлено несколькими моделями, отличающимися уровнем детализации. Другими словами, экономика предприятия может быть отражена комплексом моделей в зависимости от целей анализа и системы показателей [4,5]. Графический метод построения упрощает синтез адекватных моделей различной степени детализации.

В технической кибернетике разработаны определенные правила графического построения моделей. Они полезны и для моделей экономики.

Во-первых, следует определить независимые вектора, зависящие от внешней среды. Эти вектора по существу определяют исходные начальные условия динамики развития системы. Чтобы выделить в блок-схеме независимые вектора от других – зависимых от внутренних связей, начало стрелки соединяется с кружком, как показано на рис. 7б) для вектора х2(s).

Во-вторых, стрелки всех зависимых векторов должны соединяться с входами одного или нескольких операторных звеньев или быть выходным вектором системы.

В-третьих, вектор может быть связан с входом одного или нескольких операторов. В таком случае рисуется второй вектор, связанный с первым, так называемым, узлом в точке раздвоения вектора (см. х(s) на рис. 8).

В-четвертых, для построения сложных многозвенных, содержащих большое число операторов, применяются типовые схемы соединения операторов.

В дальнейшем будем рассматривать модели непрерывного типа, в которых величины ресурсов (капитала) и их потоков (доходов, расходов, амортизации) принимаются равными средней величине за период. В качестве периода усреднения, как правило, будем использовать месяц, квартал или год. При этом измерять ресурсы (оборотный капитал, привлеченный капитал, основные фонды) будем в рублях, а потоки ресурсов (доходы, расходы, амортизацию, прибыль) – в рублях за год. Другими словами, размерность измерения ресурсов будет равна [руб], а размерность потока ресурсов – [руб./год].

4.1. Динамические модели простых экономических объектов

Модели амортизации основных фондов

Блок-схема модели должна отразить динамику изменения стоимости основного капитала в процессе его амортизации. Динамика изменения стоимости капитала будет зависеть от способа начисления амортизации. Для каждого способа будет соответствовать своя блок-схема амортизации.

Рассмотрим модель с начислением амортизации пропорционально начальной (входной) величине основного капитала и вторую модель с начислением пропорционально текущей величине, за вычетом амортизации. Для первой модели блок-схема представлена на рис. 13. Она аналогична типовой блок схеме на рис. 10, с той разницей, что параллельный вектору оператор состоит из 2-х звеньев.

Блок-схема конструируется в соответствии с последовательностью проводимых операций. Первое звено отражает операцию начисления амортизации. Умножая основной капитал (вектор Кфн(s) [руб]) на передаточную функцию первого звена [1/год] получим вектор потока

[руб./год].

Вектор потока поступает на вход звена интегрирования. Вектор на выходе звена интегрирования

вычитается из вектора основного капитала Кфн(s).

Таким образом, на этом примере убеждаемся, что операции с векторами в пространстве изображений однозначно соответствуют операциям с векторами в пространстве времени. Иначе говоря, для конструирования блок-схемы достаточно понимания и знания содержательной части преобразований входных, независимых векторов и их взаимосвязей. По существу создание операторной модели объекта заключается в разработке блок-схемы на основе изучения последовательности реальных операций.

Рис. 13. Блок-схема амортизации пропорционально начальной величине основного капитала

Дальнейшие расчеты изображений векторов и определение уравнений динамики изменений показателей (векторов) в зависимости от времени требует от аналитика в основном технических знаний составления на основе анализа блок-схемы алгебраических уравнений функций изображений от аргумента s и последующего определения из таблиц соответствия функций оригинала.

Поскольку первая часть задачи моделирования процесса амортизации нами выполнена, приступим к 2-му этапу –- к определению функции изображения выходного вектора текущего значения основного капитала.

Из блок-схемы элементарно вычисляется уравнение для выходного вектора Кфт(s) в пространстве изображений по Лапласу

( 20)

Теперь допустим, что входной вектор поступает скачком, и он равен константе Кфн. Функция изображения для входного вектора получим из соответствия Кфн1(t) ÷ 1/s (см. таблицу соответствии в приложении 1) Следовательно, (20) будет иметь вид:

( 21)

На этом 2-ой этап расчета заканчивается.

На третьем этапе находим соответствующую функцию оригинала для (21) из приложения 1:

( 22)

Уравнение (22) определяет динамику изменения величины основного капитала от времени при начислении амортизационных расходов пропорционально начальной величине основного капитала. Однако оно не учитывает фактора снижения амортизируемой стоимости с течением времени.

Для второго способа начисления амортизации модель представлена блок-схемой на рис. 14. Модель аналогично блок-схеме с обратной связью, представленной на рис. 11, содержит контур обратной связи.

В соответствии с (17), для уа(s) можно записать:

( 23)

С другой стороны, из блок-схемы видим связь вектора уа(s) с вектором Кфт (s) на входе звена прямого канала

Подставив уа(s) из (24) в (23), получим:

( 25)

Рис. 14. Блок-схема амортизации пропорционально текущей величине основного капитала

Допустим, как и ранее, равенство Кфн (t) = Кфн*1(t), тогда Кфн (s) = Кфн/s, в результате, (25) запишется в виде:

( 26)

Временную функцию, соответствующую (26), находим из таблицы приложения 1.

Итак, два способа начисления амортизации дают разную динамику изменения текущей величины основного (внеоборотного) капитала.

Обобщенная модель оборота капитала

Рассмотрим модель процесса оборачиваемости капитала. Нас будет интересовать поток ресурсов, обусловленный этим процессом. По определению средняя величина оборота равна стоимости капитала К [руб], деленному на величину потока стоимости ресурсов у:

[год] ( 28)

При моделировании процесса учтем преобразование вектора капитала в вектор стоимости потока ресурсов (капитала), затем учтем инерционность процесса оборота и обратное преобразование вектора стоимости потока в вектор стоимости капитала, возвращаемого на вход системы.

Для преобразования капитала в поток ресурсов воспользуемся звеном дифференцирования (рис. 4). Инерционность движения ресурсов учтем с помощью инерционного звена (19). Для преобразования выходного потока в вектор капитала, поступающего на вход системы, воспользуемся оператором интегрирования (рис. 5). В результате получим блок-схему на рис. 15.

Оборот капитала является неотъемлемым свойством экономических процессов воспроизводства. Как видим, блок-схема на рис. 15 содержит контур обратной связи аналогично модели на рис. 11. Определим коэффициент передачи

W(s) = у(s)/ К(s).

Рис. 15. Блок - схема оборачиваемости капитала

В соответствии с (17) запишем

( 29)

Таким образом, при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t), умноженной на объем капитала К, в соответствии с (29) изображение для выходного вектора будет равно:

( 30)

В пространстве временных функций уравнению (29) будет соответствовать уравнение

то есть можно записать

( 31)

Сопоставив (28) с (31), можно утверждать, что в модели кругооборота капитала постоянная времени инерционного звена равна времени оборачиваемости капитала.

Из этого утверждения следует, что трехзвенную блок-схему на рис. 15 можно заменить эквивалентной однозвенной схемой с коэффициентом передачи

Однозвенная блок-схема представлена на рис. 16.

Рис. 16. Однозвенная эквивалентная блок-схема преобразования капитала в поток ресурсов

Модели налогообложения добавленной стоимости

Возможны две модели налогообложения – модель с рентабельностью относительно себестоимости продукции и модель с так называемой маржинальной рентабельностью относительно перенесенной стоимости.

В обоих случаях действуют исходные допущения:

·  перенесенная стоимость уПС и добавленная стоимость уДС за минусом прибыли уп, то есть добавленные затраты уДЗ = уДС - уп являются независимыми векторами,

·  перенесенная стоимость в составе выручки учитывается за минусом уплаченного НДС (налог на добавленную стоимость)

·  добавленные затраты (зарплата, амортизация, прибыль и др. текущие расходы) не содержит в своем составе НДС

Помимо этого, заранее отметим, что представленные модели налогообложения содержат только операторы пропорционального преобразования векторов. Поэтому уравнения, описывающие взаимосвязи между векторами, будут справедливы, как для функции изображений, так и для функции оригиналов.

Модель налогообложения на основе рентабельности затрат

Блок-схема модели показана на рис. 17.

На рис. 17:

уПС – перенесенная стоимость;

уДЗ – добавленные затраты;

– налог на добавленную стоимость;

– выплаты по налогу на добавленную стоимость;

усп – себестоимость продукции;

р – рентабельность по себестоимости продукции;

ув = усп(1+р) – выручка от реализации продукции/услуг (валовой операционный доход);

уп – прибыль от реализованной продукции.

В блок-схеме на рис. 17 прибыль является функцией от независимых векторов упс и удз, а также передаточных коэффициентов трех звеньев.

Рис. 17. Модель налогообложения с рентабельностью затрат

Рис. 18. Модель налогообложения с маржинальной рентабельностью

Из блок-схемы несложно убедиться в справедливости уравнений:

уп = р усп ;

усп = уПС + уДЗ+уДЗ+ уп.

Из совместного рассмотрения этих уравнений получим уравнение для расчета потока прибыли

уп = р((уПС + уДЗ(1+ ))/(1 - р)

Модель налогообложения на основе маржинальной рентабельности

Под маржинальной рентабельностью рм будем понимать отношение (выраженное в долях или в %) добавленной стоимости к величине перенесенной стоимости, то есть

рм = (ув - уПС)/ уПС.

Блок-схема модели налогообложения представлена на рис. 18.

На рис. 18:

уПС – перенесенная стоимость;

уДЗ – добавленные затраты;

– налог на добавленную стоимость;

уНДС –выплаты по налогу на добавленную стоимость;

усп – себестоимость продукции;

рм – маржинальная рентабельность продукции;

ув = уПС (1+рм) – выручка от реализации продукции /услуг (валовой операционный доход);

уп – прибыль от реализованной продукции.

Из блок-схемы на рис. 18 несложно вывести следующие соотношения:

усп = упс + уДЗ + уДЗ + уп ;

уп = ув - усп = упс (1+ рм) – (упс + уДЗ +
+ уДЗ + уп ).

После решения системы из двух уравнений относительно потока прибыли уп, получим:

уп = упс рм/(1+ ) - уДЗ

Уравнения (32) и (33) неприменимы к банковским услугам, так как большинство банковских услуг реализуется без НДС.

4.2. Капитальные ресурсы и финансовые потоки

Кругооборот капитала в экономической системе любого уровня по существу есть не что иное, как процесс, протекающий в системе, содержащей цепочку из звеньев, охваченных положительной обратной связью. Капитал, поступающий на вход первого звена, пройдя цепочку преобразований (звеньев), через определенное время снова поступает на вход первого звена. Если при этом в процессе своего движения по цепочке экономических звеньев, например, производственного звена и звена реализации капитал увеличивается на величину капитализированной части добавленной стоимости, то такая система имеет тенденцию к расширенному воспроизводству.

Несмотря на дискретность отдельных операции (производственных, финансовых), связанных с кругооборотом капитала, при их относительно большом числе и разновременности они образуют практически непрерывные потоки ресурсов, имеющих стоимостную оценку в денежном выражении.

При измерении стоимости потоков ресурсов единица измерения имеет размерность [руб./единица времени]. Как правило, используется единица с размерностью [руб./год]. Потоки ресурсов образуются вследствие кругооборота капитала, состоящего из собственных и привлеченных ресурсов. Размерность единицы измерения объема ресурсов (капитала) – [руб.].

Отношение потоков к объему капитала служит характеристикой интенсивности оборота (движения) или эффективности использования капитала. Экономические характеристики, измеряемые в форме отношения потока к объему ресурсов, имеют размерность [1/год.] или [%/год.]. Так, отношение потока добавленной стоимости уДС к производственным активам Кп является показателем их маржинальной доходности ЕДС, измеряемой в относительных единицах размерностью [1/год.],