ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Филиал Южно-Уральского государственного университета в г. Златоусте
УТВЕРЖДАЮ | |
Декан машиностроительного | |
факультета | |
________________ | |
«____»_________________20___г. | |
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины ДВ.2.02.02 Вычислительная математика
для 220700.62 Автоматизация технологических процессов и производств
профиль подготовки: Автоматизация технологических процессов и производств
форма обучения: очная
кафедра-разработчик: Технология машиностроения, станки и инструменты
Рабочая программа составлена в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 220700.62, утвержденным приказом Минобрнауки
Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры Технология машиностроения, станки и инструменты, протокол №____ от ________________
Зав. кафедрой разработчика: д. т.н., профессор
Разработчик программы: ассист.
Златоуст, 2011
1. Цели и задачи дисциплины
Цель преподавания дисциплины – дать представление студентам о вычислительном эксперименте как методе исследования сложных научных и инженерно-технических проблем и познакомить их с классическими численными методами алгебры и математического анализа (начало).
Задачами изучения дисциплины являются:
· сформировать понимание о месте и роли вычислительного эксперимента в будущей профессиональной деятельности;
· формирование теоретических знаний из предметной области вычислительная математика (классические численные методы алгебры и математического анализа (начало));
· выработка навыков и умений, необходимых при реализации численных методов и осуществления вычислительного эксперимента.
2.Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина относится к вариативной части Б.2.2 «Естественнонаучного цикла».
Перечень предшествующих дисциплин, видов работ | Перечень последующих дисциплин, видов работ |
Б.2.01 «Математика» В.2.01 «Информатика» В.2.03. «Информационные технологии». | Б.2.2.4 «Методы оптимизации» Б.3.1.«Моделирование систем и процессов» |
Требования к «входным» знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым при освоении данной дисциплины и приобретенным в результате освоения предшествующих дисциплин.
В результате освоения дисциплины «Численные методы» обучающийся должен.
Иметь представление:
· о роли и месте численных методов в будущей профессиональной деятельности;
· о вычислительном эксперименте и его этапах;
· о возможностях (области) использования численных методов и вычислительного эксперимента при моделировании и исследовании технологических процессов и производств;
· перспективах развития математического моделирования;
3.Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
ОК --1: владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;
ОК - 3: готов к кооперации с коллегами, работе в коллективе;
ОК - 4: способен находить организационно-управленческие решения в нестандартных ситуациях и готов нести за них ответственность;
ОК -- 6: стремится к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства;
ОК – 7: умеет критически оценивать свои достоинства и недостатки, наметить пути и выбрать средства развития достоинств и устранения недостатков;
ОК – 8: осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности;
ОК - 10: использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;
ОК - 17: владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения. Переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией;
ОК - 18: способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях;
ПК - 3: способен выбирать основные и вспомогательные материалы для изготовления изделий, способы реализации основных технологических процессов, аналитические и численные методы при разработке их математических моделей;
ПК – 4: способен использовать прикладные средства при решении практических задач профессиональной деятельности, методы стандартных испытаний по определению физико-механических свойств и технологических показателей материалов и готовых изделий, стандартные методы их проектирования, прогрессивные методы эксплуатации изделий;
ПК – 17: способен участвовать в разработке математических и физических моделей процессов и производственных объектов;
ПК – 32: способен выбирать технологии, инструментальные средства и средства вычислительной техники при организации процессов проектирования, изготовления, контроля и испытания продукции, средства и системы автоматизации, контроля, диагностики, испытаний, управления производством, жизненным циклом продукции и её качеством;
ПК – 33: способен выполнять работу организации управления информационными потоками на всех тапах жизненного цикла продукции, её интегрированной логистической поддержки.
Знать классические численные методы, условия их применимости и свойства (погрешность, устойчивость, сходимость и прочее):
· методы решения нелинейных уравнений: метод бисекций, метод Ньютона, метод хорд, метод простых итераций;
· методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): прямые (Гаусса, LU-разложения, метод квадратных корней, скалярной 3-х точечной прогонки) и итерационные (Якоби, Зейделя);
· методы решения систем нелинейных уравнений: простых итераций, покоординатного спуска;
· методы решения проблем собственных значений матриц: частичной проблемы (степенной, частных Релея) и полной проблемы (итерационный метод вращения Якоби, LU-алгоритм);
· постановку задачи и методы интерполирования (линейная и квадратичная интерполяция, глобальная интерполяция алгебраическими многочленами (Ньютона, Лагранжа), сплайнами);
· постановку задачи и восстановление функции методом наименьших квадратов;
· постановку задачи численного интегрирования и основные методы: левых, правых, средних прямоугольников; трапеции, Симпсона;
· постановку задачи численного дифференцирования и основные аппроксимационные формулы.
Уметь:
· выбирать и использовать необходимые вычислительные методы и программные средства в зависимости от поставленной задачи;
· проектировать модельный вычислительный эксперимент;
· выбирать дискретную модель решаемой задачи;
· определять условия применимости выбранного метода;
· проводить оценку погрешности и устойчивости используемого метода;
· проводить оценку скорости сходимости итерационного численного процесса;
· сопоставлять методы;
· проводить интерпретацию полученных результатов и их качественную оценку.
Владеть алгоритмами классических численных методов и вычислительного эксперимента при математическом моделировании.
.
4.Объем и виды учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов.
Вид учебной работы | Всего часов | Семестр |
7 | ||
Общая трудоемкость дисциплины | 108 | 108 |
Аудиторные занятия | 54 | 54 |
Лекции (Л) | 36 | 36 |
Практические занятия, семинары (ПЗ) | 18 | 18 |
Лабораторные работы (ЛР) и (или) другие виды аудиторных занятий | - | - |
Самостоятельная работа (СРС): – реферат – расчетно-графическая работа – семестровое задание – подготовка к экзамену, зачету – другие виды самостоятельной работы | 54 | 49 – – – – – + – |
Контроль самостоятельной работы студента (КСР) | 5 | 5 |
Вид итогового контроля (ИА) (зачет, экзамен) | Экзамен |
5. Содержание дисциплины
Номер раздела, темы | Наименование разделов, тем дисциплины | Объем занятий по видам в часах | ||||||
Всего | Л | ПЗ | ЛР | СРС | КСР | ИА | ||
1 | Введение в вычислительную математику | 4 | 4 | – | – | – | – | экз. |
1.1 1.2 | Вычислительный эксперимент и его этапы; точность вычислительного эксперимента; понятие погрешности; классификация погрешностей вычислительного эксперимента; требования к вычислительным методам. | |||||||
2 | Приближенное решение нелинейных уравнений и систем | 20 | 8 | 2 | – | 9 | 1 | экз. |
2.1 2.2 | Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи; отделение корней; уточнение корней: метод бисекций, Ньютона (касательных), хорд (секущих), простых итераций (алгоритм, геометрическая интерпретация, расчетные формулы). Сходимость методов: типы сходимостей; теоремы об оценке сходимости методов Ньютона, простой итерации и хорд (без доказательств). Решение нелинейных систем. Постановка задачи. Метод простых итераций, скорость его сходимости, метод покоординатных итераций. | |||||||
3 | Численное решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) | 56 | 6 | 6 | – | 40 | 4 | экз. |
3.1 3.2 3.3 | Постановка задачи. Краткие сведения о нормах векторов и матриц. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Общие понятия об устойчивости системы по правой части и коэффициентной устойчивости. Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса и его модификации (алгоритмы, условия применимости). Решение СЛАУ на основе LU-разложения матриц. Применение метода Гаусса и LU-разложения к вычислению определителей и обращению матриц. Решение СЛАУ со специального вида матрицами: метод скалярной 3х точечной прогонки; метод квадратных корней. Контроль точности решения СЛАУ. О вычислительных затратах прямых методов. Сопоставление прямых методов. Итерационные методы решения СЛАУ. Общая схема итерационных методов. Метод Якоби и метод Зейделя. Условия сходимости. Другие итерационные методы (обзор) | |||||||
4 | Проблема собственных значений матрицы. Численные методы её решения | 8 | 6 | 2 | – | – | – | экз. |
4.1 4.2 4.3 | Основные определения и сведения из матричной алгебры. Постановка задач полной и частичной проблемы собственных значений. Численные методы решения частичной проблемы собственных значений: степенной метод (поиск наибольшего по модулю собственного числа и соответствующего ему собственного вектора), обратные итерации (поиск наименьшего по модулю собственного числа и соответствующего ему собственного вектора), поиск второго по модулю собственного числа, метод частных Релея. Численные методы решения полной проблемы собственных значений: преобразование подобия (основные сведения), итерационный метод вращений Якоби (алгоритм, сходимость) для симметричных матриц, LU – алгоритм. | |||||||
5 | Аппроксимация функций (интерполирование и восстановление) | 10 | 6 | 4 | – | – | – | экз. |
5.1 5.2 | Интерполирование функций. Постановка задачи интерполяции. Линейная и квадратичная интерполяция. Глобальная интерполяция алгебраическими многочленами (на основе многочленов Лагранжа и Ньютона). Интерполирование сплайнами (обзор): постановка задачи, локальные кубические сплайны (эрмитовы), нелокальные сплайны. Восстановление функций. Постановка задачи. Подбор эмпирических формул. Метод наименьших квадратов. | |||||||
6 | Численное интегрирование и дифференцирование | 10 | 6 | 4 | – | – | – | экз. |
6.1 6.2 | Численное интегрирование. Постановка задачи численного интегрирования. Формулы левых, правых, средних прямоугольников, составные квадратурные формулы, формулы трапеции и Симпсона. Оценка погрешностей. Численное дифференцирование. Постановка задачи. Построение формул численного дифференцирования с помощью метода неопределенных коэффициентов. Оценка погрешности формул численного дифференцирования. | |||||||
5.1. Лабораторные работы
Не предусмотрены учебным планом
5.2. Практические занятия
Таблица 3 — Состав и объем практических занятий
№ занятия | № раздела | Тема | Кол-во часов |
1 | 2 | Численное решение нелинейных уравнений | 2 |
2 | 3 | Численное решение СЛАУ прямыми методами, обращение матриц, вычисление определителей. | 4 |
3 | 3 | Численное решение СЛАУ итерационными методами | 2 |
4 | 4 | Численное решение проблемы собственных значений матрицы. | 2 |
5 | 5 | Аппроксимация функций (интерполирование и восстановление) | 4 |
6 | 6 | Численное интегрирование и дифференцирование | 4 |
Итого: | 18 |
Контрольные вопросы по практическим занятиям.
К занятию №1
1.В чем заключается общая идея итерационных методов решения уравнений?
2.Каков порядок сходимости метода хорд? Метода касательных?
3.Какую скорость сходимости для решения уравнения с одной переменной имеют метод половинного деления и метод простой итерации.
К занятию № 2.
1. На чем основываются алгоритмы вычисления определителя по методу Гаусса?
2. Каким образом схема единственного деления может использоваться для вычисления элементов обратной матрицы.
К занятию №3
1. Каким образом система линейных уравнений преобразовывается к итерационному виду.
2. На чем основывается оценка погрешности метода простой итерации.
3. В чем отличие метода Зейделя от аналогичного процесса простой итерации.
К занятию №4
1.Понятие собственного числа и вектора.
2.В чем заключается метод частных производных Релея.
К занятию № 5.
1. Что означает сходимость интерполяционного процесса? Расходимость?
2. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов?
К занятию №6
1. В чем состоит основная идея метода сеток для численного интегрирования уравнений в частных производных.
2. В чем различие между краевыми и начальными условиями для дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы.
4. В чем отличие метода Зейделя от аналогичного процесса простой итерации.
5.3. Семинары
(не предусмотрены учебным планом)
5.4. Самостоятельная работа студентов
Номер раздела | Наименование и содержание разделов, вынесенных на самостоятельную работу | Вид работы | Объем работы в часах для одного студента | Список литературы (с указанием разделов, глав, страниц) | Форма контроля |
2 | Сопоставление численных методов решения нелинейных уравнений | Изучение тем, не выносимых на лекции | 9 | Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров [Текст] : учеб. пособие для вузов / , , .- 2-е изд., доп. - М. : Изд-во МЭИ, 20с. : ил.. - Библиогр.: с. 577-582. - ISBN -8. (глава 4 80-120 с) | Итоговый экзамен. Проверка: конспектов лекций; |
3 | LU-разложение и метод квадратных корней Определение трудоемкости прямых методов численного решения СЛАУ. Сопоставление прямых методов решения СЛАУ Сопоставление итерационных методов решения СЛАУ | Изучение тем, не выносимых на лекции | 40 | Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров [Текст] : учеб. пособие для вузов / , , .- 2-е изд., доп. - М. : Изд-во МЭИ, 20с. : ил.. - Библиогр.: с. 577-582. - ISBN -8. (глава 5,6; ) | Итоговый экзамен. Проверка: конспектов лекций; |
5.5. Контроль самостоятельной работы студентов
Формы управления самостоятельной работой студента и формы контроля СРС | Кол-во часов |
1.Индивидуальные беседы и консультации с преподавателем по темам 2,3 разделов лекционных занятий и проверка конспектов лекций. | 5 |
6. Образовательные технологии, используемые в учебном процессе
данной дисциплины (рекомендации преподавателю)
6.1. Интерактивные формы обучения
Интерактивные формы обучения, применяемые при проведении практических занятий, лабораторных работ и семинаров | Краткое описание и примеры использования в темах и разделах, место проведения |
Компьютерная симуляция | |
Деловая или ролевая игра | |
Разбор конкретных ситуаций | На практических занятиях предусмотрен разбор конкретного применения методов к инженерным задачам |
Тренинг | |
Встреча с представителями российских и зарубежных компаний, государственных и общественных организаций | |
Мастер-классы экспертов и специалистов | Лекция представителя кафедры МиВТ |
Другое |
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах в учебном процессе составляет 15 % аудиторных занятий.
6.2. Инновационные способы и методы, используемые
в образовательном процессе
Наименование | Краткое описание и примеры использования в темах и разделах |
1.Использование информационных ресурсов | Использование информационных ресурсов Интернет. Среда программирования delphi. Электронно-библиотечная система издательства «Лань». |
2.Применение электронных мультимедийных учебников и учебных пособий | |
3.Ориентация содержания на лучшие отечественные аналоги образовательных программ | Примерная образовательная программа УМО АМ ФГБОУ ВПО «СТАНКИН» |
4.Применение предпринимательских идей в содержании курса | |
5.Использование проблемно-ориентированного междисциплинарного подхода к изучению наук | |
6.Применение активных методов обучения, «контекстного» и «на основе опыта» | |
7.Использование методов, основанных на изучении практики (case studies) | |
8.Использование проектно-организованных технологий обучения работе в команде над комплексным решением практических задач | |
9.Другие |
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы тудентов
Контрольные вопросы и задания для проведения промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины
1. Вычислительный эксперимент, его этапы. Классификация погрешностей вычислительного эксперимента. Требования к вычислительным методам.
2. Численное решение нелинейных уравнений: постановка задачи, отделение корней (аналитическое, графическое, табулирование).
3. Численное решение нелинейных уравнений: уточнение корней методом бисекций (получение расчетных формул, условия применимости, скорость сходимости, геометрическая интерпретация, вычислительный алгоритм).
4. Численное решение нелинейных уравнений: уточнение корней методом Ньютона (получение расчетных формул, геометрическая интерпретация, условия применимости, вычислительный алгоритм).
5. Численное решение нелинейных уравнений: уточнение корней методом хорд (получение расчетных формул, геометрическая интерпретация, условия применимости, вычислительный алгоритм).
6. Численное решение нелинейных уравнений: уточнение корней методом итераций (получение расчетных формул, геометрическая интерпретация, условия применимости, скорость сходимости, вычислительный алгоритм).
7. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений: постановка задачи, классификация методов. Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
8. Традиционный метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (идея, расчетные формулы, условия применимости, подсчет числа арифметических операций).
9. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с выбором главного элемента по строке.
10. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с выбором главного элемента по столбцу.
11. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с выбором главного элемента во всей матрице.
12. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Число обусловленности, его свойства. Оценка погрешности решения СЛАУ.
13. LU-разложение матрицы. Решение СЛАУ на основе LU-разложения. Связь LU-разложения с методом Гаусса.
14. Вычисление определителя при LU-разложении матрицы и при использовании метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Вычисление обратной матрицы.
15. Метод скалярной (трехточечной) прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений (суть, алгоритм, условия применимости)
16. Метод квадратного корня решения систем линейных алгебраических уравнений (суть метода, условия применимости, вычислительный алгоритм).
17. Контроль точности применения прямых методов решения СЛАУ. О вычислительных затратах прямых методов.
18. Итерационный метод Якоби решения систем линейных алгебраических уравнений (расчетные формулы, матричная запись, условия применимости, вычислительный алгоритм).
19. Итерационный метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений (расчетные формулы, матричная запись, условия применимости, вычислительный алгоритм).
20. Каноническая форма записи одношаговых итерационных методов. Понятие явных (неявных), стационарных (нестационарных) методов.
21. Численное решение систем нелинейных уравнений: постановка задачи. Метод простых итераций и метод покоординатных итераций (алгоритмы, скорости сходимости, условия применимости).
22. Интерполирование функций: постановка задачи, линейная интерполяция, квадратичная интерполяция (идея, вывод основных формул, погрешность).
23. Основные понятия проблемы собственных значений: собственное значение, собственный вектор, спектр и спектральный радиус матрицы, полная и частичная проблема собственных значений. Исходные уравнения для определения собственных чисел и собственных векторов. Свойства собственных чисел и собственных векторов матрицы.
24. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
25. Метод скалярных произведений и частных Рэлея решения частичной проблемы собственных значений.
26. Обратные итерации решения частичной проблемы собственных значений.
27. Итерационный метод вращения (Якоби) решения полной проблемы собственных значений (суть метода, получение основных расчетных формул, условия применимости, вычислительный алгоритм). Вычисление собственных векторов.
28. LU-алгоритм решения полной проблемы собственных значений (суть метода, условия применимости, вычислительный алгоритм). Вычисление собственных векторов.
29. Интерполирование функций: постановка задачи, интерполяционный многочлен Лагранжа (идея, вывод основных формул, погрешность; сходимость интерполяционного процесса, вычислительный алгоритм).
30. Интерполирование функций: постановка задачи, интерполяционный многочлен Ньютона (идея, вывод основных формул, погрешность; сходимость интерполяционного процесса, вычислительный алгоритм).
31. Интерполирование сплайнами: определение сплайна, эрмитовы кубические интерполяционные сплайны (вывод основных формул, алгоритм построения сплайна).
32. Нелокальные интерполяционные кубические сплайны: определение, граничные условия, вывод основных формул, алгоритм построения сплайнов. Сходимость интерполяционного процесса.
33. Восстановление функций: постановка задачи, подбор эмпирических формул. Типы ошибок в экспериментальных данных. Метод наименьших квадратов.
34. Численное интегрирование: постановка задачи, формулы прямоугольников. Оценка погрешности методов. Устойчивость формул численного интегрирования.
35. Численное интегрирование: постановка задачи, формулы трапеции, Симпсона. Оценка погрешности методов. Понятие порядка точности. Алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью.
Численное дифференцирование: постановка задачи, формулы вычисления первой производной (с первым и вторым порядком точности) и второй производной для таблично заданной функции. Оценка погрешности. Устойчивость
Вопросы и задания для контроля самостоятельной работы обучающегося по отдельным разделам дисциплины
Раздел 2. Приближенное решение нелинейных уравнений и систем
1. Определение корней алгебраических и трансцендентных уравнений
2. Итерационные методы уточнения корней
Раздел 3. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
1. Метод Гаусса
2. Метод прогонки.
3. Метод простой итерации
4. Метод Ньютона
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1 Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров [Текст] : учеб. пособие для вузов / , , .- 2-е изд., доп. - М. : Изд-во МЭИ, 20с. : ил.. - Библиогр.: с. 577-582. - ISBN -8.
2 Вержбицкий, В. М. Основы численных методов [Текст] : учеб. для вузов / . - М. : Высш. школа, 20с. : ил. - ISBN -8.
3 Лапчик, М. П. Численные методы [Текст] : учеб. пособие / , , .- 5-е изд., стер. - М. : Академия, 20с. : ил.. - (Высшее профессиональное образование. Информатика и вычислительная техника). - Прил.: с. 367-380. - Библиогр.: с. 381. - ISBN 6645-5.
б) дополнительная литература
1 Бахвалов, Н. С. Численные методы [Текст] : учеб. пособие для вузов / , , ; МГУ им. .- 6-е изд. - М. : Бином, 20с. - (Классический университетский учебник). - Библиогр.: с. 624-628. - Предм. указ.: с. 629-632. - ISBN -815-4.
2 Костомаров, Д. П. Вводные лекции по численным методам [Текст] : учеб. пособие для вузов / , . - М. : Логос, 20с. : ил. - (Классический университетский учебник). - Предм. указ.: с. 181-182. - Имен. указ.: с. 183. - Библиогр.: с. 184. - ISBN -0.
в) отечественные и зарубежные журналы по дисциплине, имеющиеся в библиотеке
г) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
www. ***** – Internet-класс по высшей математике: вся математика, от пределов и производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и проверки статистических гипотез в среде самых популярных математических пакетов;
http://www. / - сайт, где можно проверить решение огромного количества задач.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
№ ауд. | Основное оборудование, стенды, макеты, компьютерная техника, наглядные пособия и другие дидактические материалы, обеспечивающие проведение лабораторных и практических занятий, научно-исследовательской работы студентов | Основное назначение (опытное, обучающее, контролирующее) и краткая характеристика использования при изучении явлений и процессов, выполнении расчетов |
1-213 | Компьютерный класс Среда программирования DELPHI 7 | Решение практических задач |
1-213 | Проектор PT-LB10NTE Panasonic, компьютер Intel Pentium4 2200 MGhz, Celeron 2200 MGhz, Duron 650 MGhz | Обучающее, контролирующее Для чтения мультимедийных лекций и текущего контроля знаний |
