ЕГЭ по математике

ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по математике в 11 классе средней школы не только осуществляет контроль за качеством обучения школьников, полученными ими знаниями, выработанными умениями и навыками, сформированными компетенциями. Содержание и форма проведения экзамена задают ориентиры всего математического образования, влияют на отбор содержания, выбор форм и методов обучения.

Так, наличие в экзаменационных работах большого числа заданий, и в том числе с выбором ответа, создает ситуацию, при которой ученику требуется не просто решить задачи, а решить их быстро, за ограниченный промежуток времени. Это приводит к тому, что вместо решения некоторых задач учащиеся стараются просто угадать верный ответ.

Непропорциональное преобладание в экзаменационных работах алгебраических задач над геометрическими приводит к тому, что существенно больше внимания при подготовке к экзамену уделяется именно алгебре в ущерб геометрии. Это не только снижает уровень геометрического образования школьников, но и создает неравные условия для учащихся с более развитыми геометрическими способностями.

Включение в экзаменационные работы задач, для решения которых требуется длительная специальная подготовка, приводит к тому, что последние месяцы перед экзаменом, а иногда и весь одиннадцатый класс, школьники не занимаются по учебникам математики, а вынуждены решать задачи, предлагаемые в различных пособиях, якобы готовящих к успешной сдаче экзамена. Конечно, это снижает общий уровень школьного математического образования.

Для преодоления существующих негативных тенденций и улучшения ситуации с подготовкой и сдачей ЕГЭ в новом варианте предусматривается:

1. Сокращение числа задач по математике с двадцати шести до восемнадцати, убрав задачи с выбором ответа.

2. Разделение всех задачи на две группы: В – базового уровня и С – повышенной трудности. При этом, для решения задач базового уровня не требуется длительная специальная подготовка, а достаточно просто систематических занятий математикой.

3. Некоторое увеличение числа геометрических задач. В группе В – три геометрические задачи, в группе С – две.

4. Создание открытого банка, содержащего задачи, из которых будут формироваться варианты ЕГЭ.

Необходимость повышения доли геометрии в содержании Единого государственного экзамена обусловлена той ролью, которую играет геометрия в науке и образовании в современном обществе.

На протяжении всей истории человечества геометрия служила источником развития не только математики, но и многих других наук. Именно в ней появились первые теоремы и доказательства. Сами законы математического мышления формировались с помощью геометрии.

Многие геометрические задачи способствовали появлению новых научных направлений. Наоборот, решение многих научных проблем получено с использованием геометрических методов. В частности:

-  задача об измерении длины отрезков привела к открытию Пифагором несоизмеримых отрезков и в дальнейшем к построению действительных чисел;

-  задачи об измерении длины окружности, площади круга, объемов шара и пирамиды привели древнегреческих ученых к понятию предела и заложили основы интегрального исчисления;

-  задачи нахождения уравнения касательной к кривой и вычисления площади криволинейной трапеции привели Г. Лейбница и И. Ньютона к созданию дифференциального и интегрального исчисления;

-  геометрические методы изображения пространственных фигур стали фундаментом живописи, изобразительного искусства;

-  задача о нахождении орбит космических тел оказалась связанной и была решена с помощью конических сечений;

-  современные представления о Вселенной описываются на языке геометрии с помощью понятия многообразия.

-  задача Эйлера о кенигсбергских мостах положила начало нового направления геометрии – теории графов;

-  функциональный анализ, один из современных разделов математического анализа, опирается на понятие бесконечномерного линейного пространства, обобщающего понятие евклидова пространства;

-  одно из основных понятий современной алгебры – понятие группы, возникло на основе геометрических понятий симметрии и движения. Группы симметрий играют важную роль не только в математике, но и физике, химии, биологии, кристаллографии и других науках;

-  разработка методов решения задач оптимального управления стала возможной благодаря развитию геометрических методов, в том числе теории многогранников;

-  в последние десятилетия активно развивается алгебраическая геометрия – раздел математики, изучающий алгебраические структуры геометрическими методами. В частности, решение проблемы Ферма было недавно получено с использованием глубоких геометрических методов;

-  в последние годы, в связи с развитием компьютерной техники, возникло и успешно развивается новое направление геометрии – компьютерная геометрия, применения которой охватывают все большее число сфер человеческой деятельности: архитектура, машиностроение, медицина, геология, космос и др.

Вообще современная наука и ее приложения немыслимы без геометрии и ее разделов, таких как топология, дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, компьютерная геометрия и др.

Неоценим вклад геометрии в образование подрастающего поколения, развитие мышления, воображения, исследовательских способностей школьников.

Об этом говорили многие видные ученые – педагоги и математики. Так, подчеркивал важность развития пространственных представлений для всех учащихся вне зависимости от направления их дальнейшего образования и выбора будущей профессии. «Хорошее пространственное воображение нужно конструктору, создающему новые машины, геологу, разведывающему недра земли, архитектору, сооружающему здания современных городов, хирургу, производящему тончайшие операции среди кровеносных сосудов и нервных волокон, скульптору, художнику и т. д.». (Геометрические характеристики причины трудности узнавания фигур на чертеже //Математика в школе. – 1965. - № 4. – С.13).

, говоря о целях преподавания геометрии, указывал, что «особенность геометрии, выделяющая ее среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимодействуют и дополняют друг друга». (О геометрии //Математика в школе. – 1980. - № 3. – С.56).

в статье «Математическая культура и эстетика» (Мате­матика в школе№ 2. - С.40.) говорил о том, что природа геометрии предоставляет богатые возможности для воспитания у школьников эстетического чувства красоты в самом широком значении этого слова. Красота геометрии заключается в ее проявлениях в живой природе, архитектуре, живописи, декоративно-прикладном искусстве, строительстве и т. д., а также в смелых, оригинальных, нестандартных доказательствах, выводах и решениях.

Отечественной школой накоплен уникальный опыт преподавания геометрии. Несмотря на то, что в последние годы в преподавании геометрии в школе стали накапливаться отрицательные тенденции, тем не менее, общий уровень нашего школьного геометрического образования все еще остается выше, чем во многих других странах. Это дает несомненное преимущество нашим школьникам, участвующим в международных математических олимпиадах, сказывается на качестве математического образования студентов и аспирантов, позволяет нашим ученым успешно конкурировать с зарубежными коллегами. Неслучайно, что последние яркие достижения в области математики связаны с именами российских ученых-геометров – Г. Перельманом, решившим проблему Пуанкаре, М. Громовым, получившим Абелевскую премию и др.

Сегодня важнейшей задачей школьного математического образования является привлечение внимания школьников и учителей к геометрии, понимание необходимости систематических занятий геометрией, развивающих мышление и пространственные представления. Только такие занятия могут дать необходимое качество математического образования школьников, позволят им не только подготовиться к успешной сдаче экзамена, но и заложат основу для дальнейшей творческой жизни.

Отметим особенности геометрических задач, отбираемых для включения в ЕГЭ по математике.

1. Увеличение роли наглядности. К каждой задаче дается рисунок, позволяющий лучше понять условие, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при необходимости провести дополнительные построения и вычисления.

2. Увеличение роли конструктивных умений учащихся. Включение задач, в которых требуется не только выполнить вычисления, но и провести построения искомых геометрических фигур.

3. Увеличение доли геометрических задач с практической направленностью. Включение задач на нахождение геометрических величин для фигур, нарисованных на клетчатой бумаге или расположенных на координатной плоскости, задач на нахождение объемов и площадей поверхностей пространственных фигур с элементами практической направленности.

Задание В4 относится к тригонометрии. Оно проверяет умения учащихся находить значения тригонометрических функций углов по известным элементам геометрических фигур и, наоборот, находить неизвестные элементы геометрических фигур по известным значениям тригонометрических функций.

Для успешного выполнения этого задания требуются знания определений тригонометрических функций, их свойств и значений для основных углов; умения работать с формулами, выполнять арифметические действия и преобразования числовых выражений.

Примеры задач В4

1. В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 10, AC = 8. Найдите sin A.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90о, высота CH равна 6, AC = 10. Найдите tg A.

3. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите sin A.

4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.

5. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 8, AC = . Найдите тангенс угла ACB.

6. В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

7. В треугольнике ABC угол C равен 90о, tg A = 0,75, AC = 8. Найдите AB.

8. В треугольнике ABC угол C равен 90о, CH – высота, BC = 6, cos A = 0,8. Найдите CH.

9. В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin A = 0,8. Найдите AB.

10. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, cos A = 0,6. Найдите высоту AH.

11. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 5, tg C = . Найдите AC.

12. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

Задание В6 содержит задачи на нахождение значений геометрических величин плоских фигур, а также задачи, связанные с декартовой системой координат и векторами на плоскости.

Оно проверяет умения находить длины дуг, величины углов, периметры и площади фигур, а также владение координатным и векторным методами.

Для успешного выполнения этого задания требуются знания основных формул для нахождения геометрических величин, умения выполнять действия с координатами и векторами.

Примеры задач В6

1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

2. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

3. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

4. Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

5. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

6. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

7. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

9. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

10. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

11. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1, 1), (4, 4), (5, 1).

12. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1, 0), (0, 2), (4, 4), (5, 2).

Задание В9 содержит задачи на нахождение значений геометрических величин пространственных фигур.

Оно проверяет развитие пространственных представлений учащихся, умения проводить построения в пространстве, находить объемы и площади поверхностей многогранников, круглых тел и их комбинаций.

Для успешного выполнения этого задания требуются знания основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур; умения проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур, работать с формулами, выполнять преобразования и производить действия с числовыми выражениями в процессе решения задачи.

Примеры задач В9

1. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба.

3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60о и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

4. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

5. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

6. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

8. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

9. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

10. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

11. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на .

Задание С2 содержит задачи на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве, нахождение расстояний и углов между ними. Для облегчения восприятия условия задачи, понимание рассматриваемой геометрической ситуации, проведения дополнительных построений и нахождения решения, все задачи сопровождаются рисунками.

Примеры задач С2

1. В кубе A…D1, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AC1.

2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AC1.

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости SAD.

4. В правильной шестиугольной призме A…F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости DEA1.

5. В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние между прямыми AD и BC.

6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AF.

7. В кубе A…D1 найдите косинус угла между прямыми AB и CA1.

8. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью

SBC.

10. В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BA1 и плоскостью

BCC1.

11. В кубе A … D1 найдите тангенс угла между плоскостями

A1B1C1 и BDC1.

12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями

SAF и SBC.

Критерии оценивания выполнения задания С2

Баллы	Критерии оценивания выполнения задания С2
2	Правильный ход решения. Приведено правильное построение или описание искомой величины. Получен верный ответ.
1	1) Правильный ход решения. Получен верный ответ, но имеется ошибка в построении и описании искомой величины, не повлиявшая на ход решения. 2) Правильный ход решения. Приведено правильное построение или описание искомой величины, но имеется ошибка в одном из вычислений, допущенная из-за невнимательности, в результате чего получен неверный ответ.
0	1) Ход решения правильный, но оно не доведено до конца, или решение отсутствует. Нет ответа. 2) Ход решения правильный, но имеются существенные ошибки в построении и вычислениях, приведшие к неправильному ответу. 3) Неправильный ход решения, приведший к неверному ответу. 4) Верный ответ получен случайно при неверном решении или существенных ошибках в вычислениях.