Контрольная работа 1,2 по математике для студентов экономического факультета (1 курс, 1 семестр) заочного отделения

Контрольная работа 1,2

по математике

для студентов экономического факультета

(1 курс, 1 семестр)

заочного отделения

Примечание: ПТК по математике должен быть выполнен по варианту, номер которого совпадает с порядковым номером списка группы

Тема: Вычисление определителей

Задание 1

Дан определитель:

Требуется:

1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов .

2. Вычислить определитель:

2.1. разложив его по элементам i - й строки;

2.2. разложив его по элементам j - го столбца;

2.3. по правилу треугольников (правило Саррюса);получив предварительно нули в i - й строке.

Варианты задания

1. i=3, j=1	7. i=1, j=2	13. i=1, j=3
2. i=3, j=3	8. i= 1, j=1	14. i=3, j=1
3. i=3, j=3	9. i=1, j=3	15. i=1, j=3
4. i=2, j=1	10. i=2, j=3	16. i=1, j=3
5. i=2, j=1	11. i=1, j=2	17. i=3, j=2
6. i=2, j=3	12. i=2, j=2	18. i=1, j=2
19. i=2, j=3	20. i=2, j=2

Тема 2. Операции над матрицами.

Обратная матрица

Задание 2

Дана матрица А, В и Х:

А=, В=, Х=, С=.

Требуется:

1) выполнить действия над матрицами;

2) решить уравнение.

Варианты задания

1.	1) 2(А-В)×(2А+В), 2) А×х=С.	11.	1) (А-В) ×А+3В 2) (2А-В) ×Х=С
2.	1) (А+В)×(2А-В), 2) 3Х×А=С	12.	1) 3А-(А+2В) ×В 2) 3В×Х=С
3.	1) 2А + (А-В)×В 2) 2Х×В=С	13.	1) 2(А-В)-А×В 2) 2В×Х=С
4.	1) (2А+В)×А 2) В×Х=С	14.	1) 2А+(АВ-А) 2) Х×В=3С
5.	1) (0,5А+В)×(А-2В) 2) 2А×Х=С	15.	1) (АВ-2А)+3В 2) (2А-В)×Х=С
6.	1) 2А+В×(А-В) 2) (А-В) ×Х=С	16.	1) 2А-(2А×В-А) 2) (А-В)×Х=2С
7.	1) 2А×В-(А+В) 2) (А+В)×Х=С	17.	1) (А×В-2А)+3В 2) 2А×Х=С
8.	1) А×(2А-В)-0,5В 2) (А-В) ×Х=С	18.	1) А+В+4А×В 2) 2В×Х=С
9.	1) (А-В) ×2А+В 2) (А-2В)×Х=С	19.	1) А×В-(А+2В) 2) 3В×Х=С
10.	1) 2(А-В)+А×В 2) (А+В) ×Х=С	20.	1) 2(А-В)+А×В 2) 3А×Х=С

Тема 3. Применение матричной алгебры в экономических расчетах. Система уравнений материального баланса (модель Леонтьева)

Задание 3. Пусть А есть матрица прямых затрат некоторой экономической системы, состоящих из трех отраслей. Определить необходимый вектор валовой продукции при заданном векторе конечного продукта , исходя из системы уравнений материального баланса (модель Леонтьева) этой экономической системы , где Е - единичная матрица.

1) ; 2) ; 3) ; 4); 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11); 12) ; 13); 14) ; 15); 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ;

Задание 4

Проверить совместность системы уравнений по теореме Кронекера - Капелли и в случае совместности решить ее:

а) по правилу Крамера;

б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);

в) методом Гаусса.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

Тема: Элементы аналитической геометрии

Задание 5

Даны векторы .

а) Найдите результат применённых к векторам действий:

изобразите результат, используя операции над векторами в геометрической форме.

б) Найдите проекцию вектора на вектор .

в) Известны координаты векторов в ортонормированном базисе.

Найдите координаты вектора в базисе .

г) Найдите ), зная, что он перпендикулярен векторам и удовлетворяет условию

ÂÀÐÈÀÍÒÛ

1. а = ( 1 , - 2 , 0 , 3 ) , g = ( - 3 , 1 , - 1 ) ,

b = ( 0 , 5 , - 2 , 1 ) , h = ( 4 , - 2 , 3 ) ,

c = ( 3 , 4 , 2 , - 1 ) , f = ( 2 , 0 , - 1 ) ,

d = ( - 2 , 1 , 1 , 4 ) , s = ( 5 , 5 , 6 ).

2. a = ( 3 , 3 , - 2 , 5 ) , g = ( 4 , 0 , - 1 ) ,

b = ( 0 , 5 , 3 , - 1 ) , h = ( 1 , - 1 , 2 ) ,

c = ( - 1 , 4 , 2 , 1 ) , f = ( - 3 , 2 , 1 ) ,

d = ( 3 , 0 , 5 , - 2 ) , s = ( 7 , - 6 , 5 ) .

3. a = ( - 2 , 1 , 3 , - 2 ) , g = ( - 2 , 4 , 2 ) ,

b = ( 4 , - 1 , 5 , 3 ) , h = ( 3 , 2 , 1 ) ,

c = ( 3 , 5 , - 4 , 0 ) , f = ( - 1 , 0 , 2 ) ,

d = ( - 2 , 1 , - 1 , 3 ) , s = ( 8 , - 4 , 6 ) .

4. a = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) , g = ( 4 , 3 , - 2 ) ,

b = ( 3 , 4 , - 5 , 2 ) , h = ( - 1 , 5 , 4 ) ,

c = ( 0 , 2 , 3 , - 1 ) , f = ( 3 , - 1 , 0 ) ,

d = ( 2 , - 4 , 3 , 3 ) , s = ( 6 , - 7 , 5 ) .

5. a = ( 3 , - 1 , 5 , 0 ) , g = ( 2., -4 , -3 ) ,

b = ( - 2., 4 , 3 , 1 ) , h = ( -5 , 3 , 1 ) ,

c = ( 4 , 2 , - 2 , 2 ) , f = ( 1 , 1 , 4 ) ,

d = ( 1 , 2 , 5 , - 2 ) , s = ( 6 , - 8 , 9 ) .

6. a = ( 2 , 3 , 4 , - 5 ) , g = ( 1 , - 3 , 2 ) ,

b = ( -4 , 0 , 3 , - 1 ) , h = ( 3 , 2 , - 1 ) ,

c = ( 5 , - 2 , 1 , - 3 ) , f = ( -2 , 1 , - 1 ) ,

d = ( 1 , 1 , 2 , 2 ) , s = ( 8 , 8 , 6 ) .

7. a = ( 2 , 4 , - 1 , 2 ) , g = ( 1 , 1 , - 1 ) ,

b = ( -1 , 3 , 4 , 1 ) , h = ( - 2 , ,

c = ( 3 , 2 , 5 , - 4 ) , f = ( 1 , - 2 , 3 ) ,

d = ( -4 , 1 , 2 , 5 ) , s = ( 7 , -7 , 8 ) .

8. a = ( 5 , - 3 , 4 , - 1 ) , g = ( - 3 , 2 , 4 ) ,

b = ( 4 , 2 , - 1 , 2 ) , h = ( 1 , - 1 , 2 ) ,

c = ( 3 , - 1 , 3 , 5 ) , f = ( 2 , 3 , - 1 ) ,

d = (-2 , 0 , 1 , - 3 ) , s = ( - 6 , 9 , 8 ) .

9. a = ( 0 , - 5 , 3 , - 1 ) , g = ( 3 , 3 , - 2 ) ,

b = ( 5 , - 3 , - 2 , 4 ) , h = ( - 2 , 1 , - 1 ) ,

c = ( - 4 , 2 , 1 , 1 ) , f = ( 1 , 1 , 4 ) ,

d = ( 3 , 5 , 1 , - 4 ) , s = ( 5 , 6 ,

10. a = ( 4 , 4 , - 3 , 1 ) , g = ( 2 , 0 , - 1 ) ,

b = ( 3 , 1 , 1 , - 4 ) , h = ( - 2 , 3 , 3 ) ,

c = ( - 2 , 5 , 2 , 3 ) , f = ( 1 , - 1 , 4 ) ,

d = ( 1 , 0 , - 2 , 5 ) , s = ( 5 , 8 , 9 ) .

11. a = ( 2 , 1 , 2 , - 1 ) , g = ( - 3 , 2 , 1 ) ,

b = ( - 1 , 3 , 4 , 0 ) , h = ( 2 , - 1 , 4 ) ,

c = ( 3 , 1 , - 2 , 4 ) , f = ( - 1 , 3 , 2 ) ,

d = ( 4 , 1 , 3 , - 2 ) , s = ( 7 , 7 ,

12. a = ( 3 , - 2 , 1 , 4 ) , g = ( 2 , 1 , 2 ) ,

b = ( 2 , 2 , - 1 , 1 ) , h = ( - 1 , 3 , 1 ) ,

c = ( -.1 , 3 , 0 , - 4 ) , f = ( 3 , 1 , - 2 ) ,

d = ( 1 , 2 , - 5 , 3 ) , s = ( 5 , 8 , 6 ).

13. a = ( 3 , 4 , 5 , - 1 ) , g = ( 3 , 2 , - 3 ) ,

b = ( - 1 , 2 , - 3 , 5 ) , h = ( - 1 , 4 , 2 ) ,

c = ( 4 , 3 , 1 , - 1 ) , f = ( 2 , 2 , 1 ) ,

d = ( - 2 , 1 , 3 , 5 ) , s = ( 9 , - 6 , 8 ) .

14. a = ( 5 , - 1 , 4 , 2 ) , g = ( 0 , 1 , - 2 ) ,

b = ( - 4 , 3 , - 2 , 1 ) , h = ( 3 , - 1 , 4 ) ,

c = ( 3 , - 5 , 1 , 2 ) , f = ( 2 , 4 , - 1 ) ,

d = ( 1 , - 2 , 0 , 3 ) , s = ( 8 , 5 , 7 ) .

15. a = ( 3 , 1 , 4 , - 5 ) , g = ( 2 , 2 , - 3 ) ,

b = ( - 2 , 2 , 1 , 3 ) , h = ( - 1 , 4 , 0 ) ,

c = ( 1 , - 4 , 3 , 2 ) , f = ( 3 , 1 , 1 ) ,

d = ( 2 , 1 , 4 , 5 ) , s = ( 6 , - 5 , 8 ).

16. a = ( 1 , 1 , -3 , - 3 ) , g = ( 3 , - 1 , 3 ) ,

b = ( - 2 , 4 , - 1 , 0 ) , h = ( - 2 , 2 , 1 ) ,

c = ( 3 , 2 , 1 , - 4 ) , f = ( 1 , 1 , - 2 ) ,

d = ( - 4 , 0 , 1 , - 2 ) , s = ( 7 , 6 ,

17. a = ( 5 , 0 , - 2 , - 3 ) , g = ( 2 , 3 , - 1 ) ,

b = ( -1 , 2 , 3 , - 3 ) , h = ( - 1 , 1 , 4 ) ,

c = ( 2 , 3 , - 5 , 1 ) , f = ( 3 , 2 , 0 ) ,

d = ( - 3 , 4 , 1 , - 2 ) , s = ( - 8 , 5 , 9 ) .

18. a = ( - 3 , 2 , - 1 , 3 ) , g = ( 1 , 2 , 3 ) ,

b = ( 4 , 0 , - 5 , 1 ) , h = ( - 3 , 2 , 4 ) ,

c = ( - 1 , 2 , - 3 , 5 ) , f = ( 2 , 1 , - 5 ) ,

d = ( 2 , 2 , - 1 , 3 ) , s = ( 9 , 8 , 7 ) .

19. a = ( 2 , - 3 , 4 , 5 ) , g = ( 1 , - 3 , 1 ) ,

b = ( - 1 , 4 , - 3 , 2 ) , h = ( - 2 , 1 , 1 ) ,

c = ( 3 , - 1 , 5 , 1 ) , f = ( 3 , 2 , - 2 ) ,

d = ( 0 , 2 , - 1 , 4 ) , s = ( - 1 , 2 , 3 ) .

20 a = ( 3 , 2 , 1 , - 1 ) , g = ( 2 , 1 , 2 ) ,

b = ( 1 , 4 , - 2 , 3 ) , h = ( - 3 , 2 , 4 ) ,

c = ( - 2 , 0 , 1 ., - 5 ) , f = ( 1 , 1 , - 3 ) ,

d = ( - 1 , 4 , 3 , 2 ) , s = ( - 5 , 7 ,

Задание 6

Даны вершины треугольника А, В, С. Составить уравнение сторон и медианы СМ; найти длину высоты АD и угол между высотой AD и медианой CM.

1) A (0; -2), B (-2; 2), C (-4; 2)	11) A (0; 1), B (1; 4), C (0; 3)
2) A (3; 2), B (-1; -6), C (0; 4)	12) A (-1; 1), B (1; 4), C (4; 1)
3) A (1; -2), B (3; 0), C (1; 3)	13) A (0; 7), B (1; 1), C (4; 6)
4) A (2;-2), B (-1; 3), C (1; -3)	14) A (1; 0), B (0; 1), C (2; 2)
5) A (1; 1), B (-2; 0), C (2; 1)	15) A (1; 1), B (-2; 1), C (1; 2)
6) A (2; 0), B (-1; 2), C (-1; 0)	16) A (2; 1), B (-2; 0), C (0; 2)
7) A (-1; 1), B (0; 1), C (1; 4)	17) A (1; -2), B (2; 2), C (0; 2)
8) A (-2; 3), B (5; 4), C (2; 0)	18) A (1; 0), B (1; 1), C (4; 1)
9) A (6; 1), B (1; -3), C (0; 2)	19) A (3; 4), B (2; 2), C (0; 1)
10) A (5; 0), B (1; 6), C (1; 1)	20) A (1; -3), B (0; 2), C (3; 4)

Задание 7

Даны вершины пирамиды в трехмерном пространстве.

а) Определить систему неравенств, определяющих множество внутренних точек пирамиды. б) Найти точку пересечения двух любых медиан треугольника .

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)

Задание 8

Построить поверхность заданную уравнением:

1) x2+y2+z2=2y+6z	11) x2+y+z2=2
2)	12) 3z=1-x2-4y2
3) 6x2+3y2+4z2=12	13) x2+y2=2z+5
4)	14) x2+z2=2z
5) x2+2y2+4z2=8x	15) y=x2+5
6) 5x2-y2-4z2+20=0	16)
7)	17)
8) 4x2-y2+2z2+16=0	18) 6x2+3y2+4z2=12
9) x2-y2-z2=1	19)
10) y2=2(x2+z2)	20)

Контрольные вопросы

1. Напишите формулу, по которой определяется расстояние между двумя точками, если:

а) точки имеют одинаковые абсциссы, но различные ординаты;

б) точки имеют одинаковые ординаты, но различные абсциссы;

в) одна из этих точек совпадает с началом координат.

2) Как убедиться, что данная точка лежит на данной линии?

3) Как найти точку пересечения двух линий, заданных своими уравнениями?

4) Какой характерный признак, отличающий уравнение прямой в декартовой системе координат от уравнений других линий?

5) Как расположена прямая относительно системы координат, если в ее уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) одна из координат и свободный член? Напишите уравнения осей декартовой системы координат.

6) Сформулируйте определение эллипса, гиперболы и параболы. Каковы канонические уравнения этих линий и при каком расположении эллипса, гиперболы и параболы относительно осей координат получаются эти уравнения?

7) Каков геометрический смысл линейного неравенства с двумя переменными и системы таких неравенств?

8) Что называется вектором и как он изображается?

9) Как выражаются геометрически и в координатах векторов различные действия над ними: сложение, вычитание, умножение на число?

10) Каков характерный признак, отличающий уравнение плоскости в декартовых координатах от уравнений других поверхностей?

11) Каков геометрический смысл неравенств первой степени с тремя переменными?

12) Перечислите все возможные виды поверхностей и их уравнения.