УДК 539.3

, канд. техн. наук, доцент

Численный алгоритм расчета балки переменной жесткости с помощью
функции Грина

При численном решении интегральных уравнений возникает необходимость вычисления функции Грина в большом количестве точек. В общем случае балки переменной жесткости, методы, основанные на численном интегрировании формулы Максвелла-Мора, могут оказаться не эффективными. Предлагается алгоритм вычисления функции Грина, основанный на использовании кусочно-линейных членов МКЭ.

При расчете балок, взаимодействующих с упругой средой, часто используются постановки задач в форме интегральных уравнений при помощи соответствующих функций Грина [1]. Методы, основанные на решении интегральных уравнений, имеют определенные преимущества, связанные с понижением размерности задачи, что приводит к необходимости решения сравнительно небольших систем уравнений и к значительному упрощению ввода-вывода информации. Также, существенным является то, что при использовании соответствующих фундаментальных решений точно удовлетворяются граничные условия на бесконечности. При этом возникает проблема разработки достаточно универсальных алгоритмов вычисления функций Грина в большом количестве точек, что имеет место при численном решении интегральных уравнений.

Пусть дана неоднородная краевая задача

, (1)

где - заданные функции на или постоянные, причем для всех значений , и краевые условия

(2)

Пусть соответствующая однородная краевая задача имеет лишь тривиальное решение. Если - функция Грина, то

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(3)

представляет собой решение дифференциального уравнения (1) [2].

Построим функцию Грина балки переменной жесткости. В данном случае, дифференциальное уравнение упругой линии балки и граничные условия имеют вид

,

(4)

Для решения этой задачи вместо уравнения (4) рассмотрим два дифференциальных уравнения со следующими граничными условиями:

(5)

(6)

Функция Грина первой задачи (5) будет

(7)

Функция (7) есть функция влияния для момента, т. е. значение изгибающего момента в точке от сосредоточенной силы, приложенной в точке .

Функция Грина второй задачи для прогиба будет отличаться от (7) только множителем

(8)

Тогда функция Грина для задачи (4) будет иметь вид интеграла Максвелла-Мора

(9)

В общем случае балки переменной жесткости, интеграл (9) вычисляется с помощью квадратурных формул. Наиболее часто используется формула Симпсона [3]. Так, когда жесткость кусочно-постоянна на всем участке интегрирования, вместо выражения (9) получим

(10)

где верхние индексы обозначают, что величины берутся в начале, середине и конце участка.

Представим выражение (10) в матричной форме для случая, когда необходимо определить перемещение от одного воздействия

, (11)

где

Матрицы и имеют размер , а - порядок, равный

При решении интегральных уравнений возникает необходимость вычисления функции Грина в большом количестве точек. Пусть, например, необходимо определить от одного -го воздействия -перемещений: Тогда, используя выражения (11), можно записать:

то есть (12)

где

Матрица имеет размерность .

Недостатком данного алгоритма является зависимость размерности матрицы от количества точек, в которых необходимо определять перемещения. Эта зависимость приводит к неоправданно большим затратам машинного времени при перемножении матриц , и , а также к потерям оперативной памяти при хранении матрицы . Рассмотрим более приспособленный для машинного счета, метод нахождения функции Грина.

Известно, что вместо задачи (6) можно рассматривать эквивалентную вариационную задачу о минимизации следующего функционала:

(13)

на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (6).

При этом функция, дающая минимум (13), будет также и решением дифференциального уравнения (6), которое является уравнением Эйлера данного функционала.

Используем для решения поставленной задачи метод Ритца, выбирая в качестве базисных функций сплайны. Для их построения введем на сетку

(14)

Базисом функций будет система кусочно-линейных В-сплайнов первой степени [4]

Заметим, что при данном выборе координатных функций метод Ритца совпадает с методом конечных элементов.

Искомую функцию можно записать в виде:

(15)

Для того, чтобы она удовлетворяла краевым условиям, потребуем

Тогда (16)

с неизвестными коэффициентами Подставляя это выражение в формулу для находим:

(17)

где (18)

Приравнивая нулю производную , получаем для определения уравнение:

(19)

Определим значения коэффициентов Пусть жесткость балки будет постоянной в пределах каждого участка и при Предположим, что разрыв функции (7) совпадает с одним из узлов сетки. Интегрирование в (18) будем проводить отдельно по каждому отрезку, используя явные выражения :

(20)

Заметим, что необходимо вычислить только так как отличны от нуля лишь элементы с Итак,

В итоге получаем трехдиагональную матрицу

(21)

Решив систему методом прогонки, находим неизвестные коэффициенты . Подставляя найденные коэффициенты в (15), получаем перемещения балки переменной жесткости в любой необходимой точке. Отметим, что в отличие от предыдущего матричного алгоритма вычисления функции Грина, при использовании сплайнов, порядок результирующей матрицы зависит только от количества участков переменной жесткости.

С помощью полученного алгоритма можно решить различные задачи, касающиеся балок на упругом основании. Для этой цели был составлен комплекс программ BAF. Этот комплекс предназначен для расчета фундаментных балок кусочно-постоянной жесткости на действие сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов и равномерных нагрузок, распределенных по линейному закону. Алгоритм программы построен на основе численного решения сингулярных интегральных уравнений 1-го рода методом замены интегралов конечными суммами. В отличие от других программ, осуществлено более точное представление реакции основания на каждом интервале. Также, преимуществом является применение автоматической генерации сетки, что позволило значительно сократить объем вводимой информации. Используется несколько типов основания: Винклера, упругая полуплоскость, упругое полупространство. Вывод результатов осуществляется в табличной форме и в виде графиков на дисплей и принтер.

Рассмотрим численный пример. Отметим, что результаты получены на сетке 64. Пусть дана конечная балка на упругом полупространстве, нагруженная в середине пролета сосредоточенной силой. Для этого случая имеется решение в рядах [5]:

Примем,

Тогда показатель гибкости

- балка конечной жесткости и длины.

Сравним результаты.

Горбунов-Посадов: численный расчет (BAF):

Полученные небольшие расхождения в результатах связаны с погрешностью численного решения.

Графические результаты показаны на рис.1-4.

Рис.1. Вертикальные перемещения балки (W)

Рис.2. Изгибающий момент (М)

Рис.3. Поперечная сила (Q).

Рис.4. Реакция основания (R).

Список литературы

  , Розин балок, находящихся в упругом полупространстве, под действием нагрузок, приложенных к полупространству//Строительная механика и расчет сооружений, СПб, СПбГТУ, 1992. - С. 76-84.

  Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 19с.

  , , Смелов статически неопределимых стержневых систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 19с.

  , , Мирошниченко сплайн-функций. - М.: Наука, 19с.

  Горбунов-, , Соломин конструкций на упругом основании. - М.: Стройиздат, 19с.

  Материал поступил в редакцию 23.03.00

S. U. Kolyaskin

Numerical algorithm Green’s function OF evaluation for beams of a variable stiffness

At a numerical solution of integral equations there is a necessity of Green’s functions evaluation in large amount of points. When using beams of a variable stiffness, methods based on a numerical integration of a Maxwell-Mohr formulas may be not effective. The algorithm of Green’s function evaluation based on the use of the piecewise linear members FEM is offered.