ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ОСЕННИЙ СЕМЕСТР УЧЕБНОГО ГОДА
1. Понятие множества. Объединение и пересечение множеств. Числовые множества.
2. Модуль числа. Свойства.
3. Понятие функции. Область определения, область значения, график функции.
4. Неявная функция. Линии на плоскости.
5. Обратная функция. Условие существования обратной функции. График обратной функции.
6. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
7. Элементарные функции.
8. Линейная функция. Неявное задание линейной функции. Прямая на плоскости.
9. Преобразования графиков.
10. Квадратичная функция. Выделение полного квадрата. Разложение на множители.
11. Числовые последовательности. Способы задания.
12. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определения. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
13. Предел числовой последовательности.
14. Свойства сходящихся последовательностей (единственность предела, ограниченность и сохранение знака; показать на числовой прямой).
15. Свойства бесконечно малых последовательностей (с доказательством).
16. Арифметические свойства пределов (с доказательством).
17. Признаки существования предела (оценочный и теорема Вейерштрасса).
18. Число 
. График числовой последовательности.
19. Предел функции при 
, 
, 
.
20. Предел функции в точке. Определения Коши и Гейне.
21. Пределы функции справа и слева. Теорема о необходимом и достаточном условии существования предела.
22. Свойства пределов функций (с доказательством).
23. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
24. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
25. Два замечательных предела (первый с доказательством).
26. Понятие непрерывности функции. Определения.
27. Свойства непрерывных функций (с доказательством).
28. Сложная функция. Непрерывность сложной функции. Использование непрерывности для вычисления пределов.
29. Непрерывность обратной функции.
30. Непрерывность элементарных функций. Использование непрерывности для вычисления пределов.
31. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
32. Теорема Больцано-Коши (о нулевом значении непрерывной функции).
33. Теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции) (с доказательством).
34. Теоремы Вейерштрасса ( об ограниченности и достижении наибольшего и наименьшего значений непрерывной функцией). Следствие.
35. Производная функции. Левая и правая производные.
36. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
37. Дифференцируемость функции в точке.
38. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
39. Связь понятий: дифференцируемость функции в точке и ее непрерывность(с доказательством).
40. Производная суммы, произведения(с доказательством) и отношения двух функций.
41. Производная обратной функции(с доказательством).
42. Производная сложной функции.
43. Найти производную функции 
через определение.
44. Найти производную функции 
через определение.
45. Найти производную функции 
через определение.
46. Найти производную функции 
, используя формулу для частного.
47. Найти производную функции 
, используя формулу для частного
48. Найти производную функции 
(через формулу производной обратной функции).
49. Найти производную функции 
(через формулу производной обратной функции).
50. Найти производную функции 
(через формулу производной обратной функции).
51. Найти производную функции 
(через формулу производной обратной функции).
52. Найти производную функции 
(через формулу производной обратной функции).
53. Вывести формулу для производной функции 
.
54. Производные высшего порядка. Формула Лейбница.
55. Производная функции, заданной параметрически.
56. Правило Лопиталя.
57. Теорема Лагранжа.
58. Необходимое и достаточное условия постоянства функции на промежутке(с доказательством)..
59. Необходимое и достаточное условия монотонности функции на промежутке(с доказательством).
60. Локальный экстремум.
61. Необходимое условие локального экстремума(с доказательством)..
62. Достаточные условия локального максимума и локального минимума(условие 2 с доказательством).
63. Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на промежутке.
64. Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба.
65. Нахождение асимптот графика функции.
66. Предельные величины в экономике.
67. Эластичность спроса.
68. Оптимизационные задачи в экономике.
Задачи для подготовки к зачету по математическому анализу
1. Построить график функции 
.
2. Построить график функции 
.
3. Построить график функции 
.
4. Построить график функции 
.
5. Построить график функции 
.
6. Построить график функции 
.
7. Построить график функции 
.
8. Выпишите четыре первых члена последовательностей, задаваемых следующими формулами
а)
, б)
, в)
.
Являются ли эти последовательности монотонными, ограниченными, возрастающими?
9. Может ли числовая последовательность иметь три предела?
10. Может ли отношение двух бесконечно малых последовательностей быть бесконечно большой, бесконечно малой, иметь конечный предел? Приведите примеры.
11. Доказать, используя определение предела, что 
.
12. Доказать, используя определение предела, что
.
13. Доказать, используя определение предела, что 
14. Используя теорему Вейерштрасса, доказать, что последовательность 
имеет предел и найти его.
15. Найти предел числовой последовательности 
.
16. Найти предел числовой последовательности 
.
17. Найти предел числовой последовательности 
.
18. Доказать непрерывность функции 
.
19. Найти предел функции 
.
20. Найти предел функции 
.
21. Найти предел функции 
.
22. Найти предел функции 
.
23. Найти предел функции 
.
24. Найти предел функции 
.
25. Найти производную функции 
.
26. Найти производные функций 
, 
через определение.
27. Приведите примеры непрерывных и разрывных функций.
28. Является ли функция 
непрерывной, дифференцируемой?
29. Обращается ли функция 
в ноль на отрезке 
.
30. Найти асимптоты функции 
.
31. Найти асимптоты функции 
.
32. Найти асимптоты функции 
.
33. Найти асимптоты функции 
.
34. Найти асимптоты функции 
35. Найти асимптоты функции 
.
36. Найти точки разрыва функции. Определить их тип
, 
, 
,
, 
.
37. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке 
.
38. Найти участки монотонности и точки экстремума функции 
.
39. Найти точки экстремума функции 
.
40. Исследовать функции и построить графики функций
.
, 
.
