ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ № 000 ИМ. А.А. ЛЕМАНСКОГО
ЦЕНТР ПОДДЕРЖКИ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ «УСПЕХ»
ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ИМ. А. А.ЛЕМАНСКОГО
ОСЕНЬ 2012
3–4 классы
1. Используя в каждом выражении пять раз цифру 5, знаки арифметических действий и при необходимости скобки, записать выражения, значения которых равны числам от 1 до 10 включительно.
Приводим варианты решения
(5 – 5) : 5 + 5 : 5 = 1 | 5 + (5 + 5 – 5) : 5 = 6 |
5 5 : 5 – 5 – 5 = 1 | 5 5 : 5 5 + 5 = 6 |
(5 + 5) : 5 – (5 : 5) = 1 | (5 : 5 + 5) ∙ 5 : 5 = 6 |
(5 ∙ 5 + 5) : 5 – 5 = 1 | 5 : 5 + 5 + 5 – 5 = 6 |
(5 + 5 + 5 – 5) : 5 = 2 | (5 ∙ 5 + 5 + 5) : 5 = 7 |
(5 + 5) ∙ 5 : 5 : 5 = 2 | (5 5 + 5) : 5 + 5 = 7 |
(5 + 5) : 5 + 5 – 5 = 2 | 5 : 5 + 5 : 5 + 5 = 7 |
(5 ∙ 5 – 5 – 5) : 5 = 3 | (5 + 5 + 5) : 5 + 5 = 8 |
(5 ∙ 5 – (5 + 5)) : 5 = 3 | (5 + 5) – (5 + 5) : 5 = 8 |
(5 ∙ 5 + 5) : (5 + 5) = 3 | (5 ∙ 5 – 5) : 5 + 5 = 9 |
(5 + 5 + 5 + 5) : 5 = 4 | (55 – 5 – 5) : 5 = 9 |
5 ∙ 5 : 5 : 5 ∙ 5 = 5 | (5 ∙ (5 + 5) – 5) : 5 = 9 |
5 + 5 + 5 – 5 – 5 = 5 | (5 – 5) : 5 + 5 + 5 = 10 |
(5 – 5 + 5) ∙ 5 : 5 = 5 | (5 ∙ 5 + 5 ∙ 5) : 5 = 10 |
5 5 – 5 5 + 5 = 5 | 5 ∙ 5 – 5 – 5 – 5 = 10 |
(5 ∙ 5 + 5 – 5) : 5 = 5 | (5 ∙ 5) – (5 + 5 + 5) = 10 |
2. Олег и Настя живут в одном доме, на каждом этаже которого расположено 4 квартиры, а в каждом подъезде одинаковое число этажей. Олег живет на 5 этаже в квартире № 83, а Настя – на 3 этаже в квартире № 000. Сколько этажей в доме? Какой номер подъезда у Насти?
Решение:
Узнаем, на каждом этаже по 4 квартиры:
83 : 4 = 20 (ост.3) (эт.) – до квартиры Олега
Мы знаем, что Олег живет на 5-ом этаже, значит, под ним 4 этажа.
20 – 4 = 16 (эт.)
Найдем числа, на которые 16 делится без остатка. Это числа 1, 2, 4, 8, 16. Но в этом доме не может быть меньше 5 этажей, потому что Олег живет на 5-ом этаже. Следовательно, в доме может быть 8 или 16 этажей.
169 : 4 = 42 (ост. 1) (эт.) – до квартиры Насти.
Настя живет на 3-ем этаже, значит, под ней 2 этажа.
42 – 2 = 40 (эт.) в остальных подъездах
Мы знаем, что в доме 8 или 16 этажей:
40 : 16 – не получим целое число, а в доме не может быть нецелое число подъездов
40 : 8 = 5 (подъездов) – в доме.
Делаем вывод – в доме 8 этажей, а Настя живет в 6-ом подъезде.
Ответ: В доме 8 этажей, Настя живет в 6-ом подъезде
3. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1 392 цифры. Сколько страниц в этой книге? (записать подробное решение)
1 способ:
1) 9 однозначных чисел (9 цифр)
2) 90 двузначных чисел (90 * 2 = 180 цифр)
3) 180 + 9 = 189 цифр – однозначных и двузначных чисел
4) 1392 – 189 = 1203 цифры – трёхзначных чисел
5) 1203 : 3 = 401 число – трёхзначных
6) 401 + 9 + 90 = 500 чисел – однозначных, двузначных и трёхзначных, следовательно, 500 страниц в книге.
Ответ: 500 страниц.
2 способ:
Пусть в книге x страниц.
Для нумерации первых девяти страниц нужно 9 цифр (от 1 до 9 включительно).
Следующие страницы нумеруются двузначными числами, их 90. Значит, потребуется 2 * 90 = 180 цифр. То есть для первых 99 страниц, пронумерованных однозначными и двузначными числами, потребуется 9 + 180 = 189 цифр.
Следующие страницы нумеруются трехзначными числами. Этих чисел будет (x – 99), а для их нумерации потребуется 3 * (x – 99) цифр. Значит, для нумерации всех страниц книги потребуется 189 + 3 * (x – 99) страниц.
Составим и решим уравнение:
189 + 3 * (x – 99) = 1392
180 + 3x – 297 = 1392
3x = 1392 – 180 + 207
3x = 1689 – 189
3x = 1500
x = 500
Ответ: в книге 500 страниц.
4. Расстояние между двумя машинами, едущими по прямому шоссе, равно 200 км. Скорости машин – 60 км/ч и 80 км/ ч. Чему может быть равно расстояние между ними через 1 час?
А – машина, которая едет со скоростью 80 км/ч
В – машина, которая едет со скоростью 60 км/ч
1 случай – если машины едут навстречу друг другу.
А В
 |
? км
200 км
1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость сближения
2) 200 – 140 = 60 (км)
2 случай – если машины едут в противоположных направлениях друг от друга.
А В
200 км
? км
200 + 80 + 60 = 340 (км)
3 Случай – если машина А едет за машиной В вдогонку
А В
 |
200 км
? км
1) 80 ∙ 1 = 80 (км) – проедет машина А за один час
2) 200 – 80 = 120 (км) – останется проехать до машины В
3) 60 ∙ 1 = 60 (км) – проедет машина В да один час
4) 120 + 60 = 180 (км)
4 Случай – если машина В догоняет машину А
В А
 |
200 км
? км
1) 60 ∙ 1 = 60 (км) – проедет машина В за один час
2) 200 – 60 = 140 (км) – останется проехать до машины А
3) 80 ∙ 1 = 80 (км) – проедет машина А да один час
4) 140 + 80 = 220 (км)
Ответ: расстояние между машинами может быть 220 км, 180 км, 60 км, 340 км
5. Находчивый и ловкий Ходжа Насреддин решил наказать одного глупого бая (богатый помещик в средние века на Востоке) за его жадность и предложил ему приумножить свое богатство: «Как только ты перейдешь через этот мост, – сказал Насреддин, – твои деньги в кошельке удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это всего лишь 24 копейки». Бай согласился и…после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег в кошельке было у бая сначала?
1 способ
Будем решать задачу с конца.
1) 24 : 2 = 12 (коп) – перед 3-им переходом после оплаты за 2-ой переход;
2) 12 + 24 = 36 (коп) – после 2-го перехода до его оплаты;
3) 36 : 2 = 18 (коп) – перед 2-ым переходом после оплаты за 1-ый переход;
4) 18 + 24 = 42 (коп) – после 1-ого перехода до его оплаты;
5) 42 : 2 = 21 (коп)
Ответ: 21 копейка была у бая сначала.
2 способ
Пусть х (коп) – было у бая сначала
Тогда 2х – 24 (коп) – у него осталось после 1-ого перехода
(2х – 24) ∙ 2 – 24 = 4х – 48 – 24 = 4х – 72 (коп) – у него осталось после 2-ого перехода
Так как после 3-его перехода у бая стало 0 копеек, то можно составить уравнение:
(4х – 72) ∙ 2 – 24 = 0
8 х – 144 = 24
8 х = 168
х = 21
Ответ: 21 копейка была у бая сначала.
