Контрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов второго курса заочного отделения экономического факультета.

Примечание. Задания для выполнения контрольной работы приведены в методичке: «Теория вероятностей: Контрольные задания / Сост. , ; Чуваш. ун-т. Чебоксары, 20с.»

Номер варианта выбирается студентом в соответствии с правилами выполнения и оформления контрольных работ, которые приведены в методичке «Теория вероятностей: Контрольные задания / Сост. , ; Чуваш. ун-т. Чебоксары, 20с.» на странице 3.

Выполняются задания: пример №1 (стр.4, стр.5);

пример №5 (стр.8, стр.9);

пример №6 (стр. 9, стр10);

пример №13 (стр.19, стр.20);

пример №16 (стр. 22, стр. 23).

1.  Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. Изд. 6-е, стер. / – М.: Высш. шк., 2003. – 497 с.: ил.

2.  Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов. Изд. 6-е, стер. / – М.: Высш. шк., 2003. – 400 с.: ил.

3. Основы теории вероятностей и математической статистики: Практикум /сост.: , , ; Чуваш. ун-т. Чебоксары, 20с.

4. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2000. – 543 с.

Ниже приведены решения задач, аналогичные задачам из методички «Теория вероятностей: Контрольные задания / Сост. , ; Чуваш. ун-т. Чебоксары, 20с.»

Пример 1. В корзине 3 яблока, 2 груши и 5 лимонов. Найти вероятность, что из семи, вытянутых наудачу плодов будут вытянуты: две груши, одно яблоко и четыре лимона.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Решение. Поскольку из десяти плодов вытягивается семь плодов, то общим числом исходов испытания будет . Благоприятным для искомого события числом испытаний будет произведение , поскольку из двух груш вытягиваются две, из трех яблок вытягивается одно, а из пяти лимонов вытягиваться должно четыре. Таким образом, искомая вероятность интересующего нас события может быть найдена из определения вероятности как

поскольку

.

Пример 5. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может выйти из строя в течении времени t. За время t надежность (вероятность безотказной работы) первого узла равна 0,8; второго – 0,9; третьего – 0,7. Определить вероятность безотказной работы прибора в течение времени t, если необходимо, чтобы : а) работали все три узла ; б) работали все два узла; в) работал один узел.

Решение. Пусть – безотказная работа всех трех узлов. Для того чтобы событие имело место, необходимо, чтобы все три имеющихся узла работали безотказно. Обозначим:

– безотказная работа первого узла;

– безотказная работа второго узла;

– безотказная работа третьего узла.

Тогда Так как и – независимые события, то по теореме умножения вероятностей имеем

Пусть – отказ одного узла. Событие может осуществиться несколькими способами, т. е. распадаться на несколько несовместных вариантов:

1)  отказ первого узла, безотказная работа второго и третьего узлов;

2)  отказ второго узла, безотказная работа первого и третьего узлов ;

3)  отказ третьего узла, безотказная работа первого и второго узлов.

Воспользовавшись событиями и , событие можно представить

По теореме умножения вероятностей для независимых событий и теореме сложения вероятностей для несовместных событий имеем

.

Или

Пусть – работа одного узла. На основе событий определим вероятность события - отказ всех трех узлов, . Вероятность события равна . Тогда вероятность события С

Пример 6. Три завода выпускают один вид продукции. Объемы выпуска заводов относятся как 1 : 2 : 3. Доля некачественной продукции для заводов составляет, соответственно, 0,1; 0,4; 0,2 процентов. Продукция поступает на общий склад, с которого произвольно распределяется по торговым точкам. 1) Найти вероятность, что купленная единица продукции окажется некачественной.

2) Купленная единица продукции оказалась качественной, найти вероятность ее изготовления на том или ином заводе.

Решение: Определим случайные события

купленная единица продукции окажется некачественной.

купленная единица продукции окажется некачественной.

Гипотезы , образуют полную группу событий, т. е. они должны удовлетворять двум требованиям (требование полноты и попарной несовместности):

купленная единица продукции изготовлена на заводе №1;

купленная единица продукции изготовлена на заводе №2;

купленная единица продукции изготовлена на заводе №3.

Здесьдостоверное событие;  символ Кронекера (единичная матрица).

1) Применяя формулу полной вероятности, получаем

Заметим, что требование полноты на языке вероятности можно записать как

.

2) Поскольку для противоположных событий имеет место свойство

найдем вероятность покупки единицы качественной продукции

Найдем теперь, что эта единица качественной продукции куплена на заводе №1, №2, №3. Применяем для этого трижды формулу Байеса:

.

Здесь опять было использовано свойство для противоположных событий, но которое теперь записывалось в форме: .

В качестве проверки 2) части примера можно сложить три последние условные вероятности, сумма должна равняться единице ввиду полноты полной группы событий.

Пример 13. Некоторая случайная величина распределена по равномерному закону на интервале . Какова вероятность того, что случайная величина окажется в пределах ? Как изменится эта вероятность, если интервал распределения случайной величины принять равным ?

Решение. Плотность распределения вероятности случайной величины, равномерно распределенной на интервале имеет вид:

и ее функция распределения имеет вид:

.

Если случайная величина распределена на интервале , то :

;

функция распределения имеет вид:

.

Вероятность того, что случайная величина окажется в пределах равна: .

Если случайная величина распределена на интервале , то :

;

функция распределения имеет вид:

.

Вероятность того, что случайная величина окажется в пределах равна: .

Пример 16. Известно, что процент брака для некоторой детали 0,005. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить: а) ровно 3 бракованных детали; б) не менее двух бракованных деталей?

Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» p = 0,005.

а) Применяя приближенную формулу Пуассона с получаем По таблице значений функции Пуассона

б) Для вычисления воспользуемся вероятностью противоположного события, т. е.