Экспериментальная проверка второго закона динамики. вращательного движения

Лабораторная работа 1.4

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
ВТОРОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Библиографический список

1.  . Курс физики. – М.: Высшая школа, 1985.

2.  . Курс общей физики. – М.: Наука, 1988. Т. 1.

Цель работы – экспериментальная проверка второго закона динамики вращательного движения.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка «Маятник Обербека», секундомер, линейка, штангенциркуль.

Описание метода измерений
и экспериментальной установки

Вращательным называют такое движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения, а плоскости окружностей перпендикулярны оси вращения.

При вращении твердого тела отдельные его точки за одно и то же время проходят разные линейные пути, поэтому вращательное перемещение твердого тела описывают углом поворота, который для всех точек тела одинаков. Аналогично в качестве кинематических мер движения вводят угловую скорость и

угловое ускорение.

а)

б)

Пусть точка А твердого тела движется по окружности и за время
радиус-вектор точки повернет на угол
(рис. 1а). На такой же угол повернутся все другие точки тела. Этот угол называется углом поворота тела. Тогда угловая скорость равна

.

Угловая скорость равна первой производной угла поворота по времени и является векторной величиной. При движении точки по окружности условились направление вектора угловой скорости определять по правилу буравчика. Линейная и угловая скорости связаны между собой соотношением

.

Или в векторной форме (рис. 1б)

По аналогии с линейным ускорением, угловое ускорение можно представить в виде:

.

Угловое ускорение также величина векторная. При вращении точки по окружности угловое ускорение направлено вдоль оси вращения, причем, если угловое ускорение положительно (угловая скорость возрастает), то его принято считать направленным

в сторону угловой скорости и наоборот (рис. 2).

Тангенциальное и угловое ускорение связаны соотношением

.

Второй закон динамики для вращательного движения выражает формула

, (1)

где — момент действующих на тело сил, взятый относительно оси вращения;
I — момент инерции тела относительно той же оси;
— угловое ускорение тела.

Момент силы относительно некоторой оси определяют векторным произведением силы на радиус-вектор, проведенный в точку приложения силы.

Моментом инерции тела относительно некоторой оси называют меру инерции вращения этого тела, зависящую от массы тела и ее распределения по отношению к оси вращения. Момент инерции материальной точки определяют равным произведению массы этой точки на квадрат ее расстояния от оси вращения

.

Момент инерции есть величина аддитивная, т. е. момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей, момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции отдельных тел. Момент инерции любого тела определяют как сумму моментов инерции отдельных элементарных масс , на которые можно разбить тело, т. е. величиной

.

Таким образом, момент инерции любого тела можно вычислить, разбив его условно на отдельные элементарные части, подсчитав момент инерции для каждой из них с последующим суммированием. Конечно, такой результат будет приближенным.

При увеличении числа элементов разбиения точность повышается и, переходя к бесконечно большому числу элементов, получаем

, (2)

Одно и то же тело относительно разных осей обладает различным моментом инерции. Согласно теореме Штейнера момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния b между этими двумя осями

, (3)

Работа выполняется на маятнике Обербека, который представляет собой крестовину, состоящую из четырех стержней длиной l и массой , насаженную на вал, вращающийся в шариковых подшипниках с малым трением (рис. 3).
Момент инерции маятника можно увеличить, надев на стержни крестовины цилиндрические тела с массой m каждый. Эти тела можно закреплять на разных расстояниях R от оси вращения. На валу маятника установлены два шкива разного диаметра, на один из которых намотана нить с гирей на конце. При опускании гири сила натяжения нити создает момент силы, под действием которого маятник будет вращаться с постоянным угловым ускорением.

Изменяя расстояние R тел m от оси вращения, можно увеличить или уменьшить момент инерции системы.

Угловое ускорение можно найти, если измерить диаметр шкива d, высоту h и время падения гири. Действительно, известно, что

и , откуда ,

где а — ускорение гири с массой .

Момент силы, действующий на шкив, можно рассчитать по формуле

,

где F — сила натяжения нити, а — масса гири.

Согласно формуле (1)

.

Поэтому момент инерции системы по опытным данным можно определить равным

, (4)

Теоретический расчет момента инерции можно выполнить, пользуясь аддитивным свойством этой величины и складывая моменты инерции отдельных частей системы, т. е. по формуле

, (5)

где первое слагаемое — момент инерции четырех стержней; второе — четырех тел на стержнях (считая их материальными точками); третье — эквивалентный момент инерции гири; четвертое — момент инерции вала с подшипниками и шкивом. Значение I¢, как постоянной прибора, указано на установке.

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Установив все тела m на одинаковом, самом большом расстоянии от оси вращения, измерить первое значение R, т. е. . Осторожным вращением крестовины намотать нить на малый шкив с диаметром и подвесить гирю (задать значение вращающего момента). Замерить высоту подъема гири над полом h. Отпустить маятник и замерить время опускания гири с высоты h. Опыт повторить пять раз, поднимая гирю на ту же высоту.

2. Намотав нить на второй шкив (), снова пять раз повторить опыт.

3. Поставить грузы m ближе к оси вращения и измерить второе значение – R, т. е. . Далее повторить опыты как описано в п. 1 и п. 2.

Результаты всех опытов записать в таблицу.

4. По формуле (4) рассчитать экспериментальные значения для каждого опыта (I, II, III, IV), обозначив их соответственно , , , .

5. Принять для первого положения тел m (с ) и второго (с ) средние значения моментов инерции соответственно

и , (6)

6. Сравнить значения для всех четырех опытов (I, II, III, IV) и, выбрав наибольшее из них, оценить относительную ошибку результатов по формуле

, (7)

которая получена из формулы (4) при допущении, что , а - пренебрежимо мало. Величины и оценить в половину цены наименьшего деления измерительного инструмента.

Таблица

Опыт I	Опыт II
мм	мм
мм	мм
мм	мм
i
1
2
3
4
5
c	c
Опыт III	Опыт IV
мм	мм
мм	мм
мм	мм
i
1
2
3
4
5
c	c
Для всех опытов	n = 5		Макс.
кг	кг

7. Определить, согласно (7), значения
и и записать экспериментальные значения и .

8. По формуле (5) рассчитать теоретические значения тех же величин (,) и сравнить их с экспериментальными, полученными в п. 7; нормально должно быть

, .

Контрольные вопросы

1. Какое движение тела называется вращательным?

2. Как определяется направление вектора угловой скорости?

3. Сформулируйте второй закон динамики для вращательного движения.

4. Что называется моментом инерции тела?

5. От чего зависит момент инерции тела?