Параллельность прямых и плоскостей (стр. 2 )

а) 12 см; в) 2 см;

б) 5 см; г) другой ответ.

4. Плоскость а, параллельная стороне NM треуголь­ника NMK, пересекает стороны МК и KN в точках D и В соответственно. Найдите длину отрезка BD, если MN равен 14 см, a NB:BK = 4:3.

а) 2 см; в) 6 см;

б) 10,5см; г) другой ответ.

5. Через концы отрезка BD и точку А этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие не­которую плоскость а в точках B1,D1 и А1 соответ­ственно. Найдите длину отрезка АА1, если ВВ1 равен 5 см, DD1 равен 12 см, a AB:AD = 3:4. Отрезок BD не пересекает плоскость а.

а) 8 см; в) 8,5 см;

б) 17 см; г) другой ответ.

6. Точки К, L и С — параллельные проекции точек Р, R и М на плоскость а, причем точка R принадлежит отрезку РМ. Найдите PR, если: КС = 18 см, LC = 6 см, а РМ=24 см.

а) 16 см; в) 12 см;

б) 18 см; г) другой ответ.

7. Выберите верное продолжение фразы: проекция

параллелограмма на плоскость при параллельном про­ектировании может быть...

а) параллелограммом или трапецией;

б) отрезком или параллелограммом;

в) только параллелограммом;

г) ромбом или трапецией.

III вариант

1. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Вы­берите утверждение, которое не может быть верным:

а) прямая ВС параллельна прямой AD;

б) прямая АС пересекает прямую BD;

в) прямая AD пересекает прямую ВС;

г) прямые AB и CD — скрещиваются.

2. Сторона FC треугольника FRC принадлежит плос­кости а, точка D, не принадлежащая прямой FC, — проекция точки R на плоскость а. Точка L — середи­на FD. Выберите верное утверждение:

а) прямые FD и RL скрещиваются;

б) прямые RL и CD пересекаются;

в) прямые FD и RD скрещиваются;

г) прямые FD и CL пересекаются.

3. Через концы отрезка FP, не пересекающего плос­кость а, и точку L — середину этого отрезка проведе­ны параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках F1, P1 и L1 соответственно. Найдите длину отрезка РР1, если FF1 = 4 см, a LL1 = 14 см.

а) 24 см; в) 18 см;

б) √56 см; г) другой ответ.

4. Плоскость a, параллельная стороне KL треуголь­ника CKL, пересекает стороны LC и КС в точках Р и D соответственно. Найдите длину отрезка PD, если KL равен 27 см, a KD:DC = 7:2.

а) 13,5см; в) 7,5 см;

б) 6 см; г) другой ответ.

5. Через концы отрезка CD и точку F этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие не­которую плоскость а в точках C1 D1 и F1 соответствен­но. Найдите длину отрезка FF1,если СС1 равен 6 см, DD1 равен 15 см, a FC:FD = 5:4. Отрезок CD не пере­секает плоскость а.

а) 8 см; в) 90 см;

б) 11 см; г) другой ответ.

6. Точки N, D и В — параллельные проекции точек F, S и Т на плоскость а, причем точка S принадлежит отрезку FT. Найдите ST, если: NB = 28 см, DB = 8 см, a FS = 15 см.

а) 6 см; в) 8,4 см;

б) 7 см; г) другой ответ.

7. Выберите верное продолжение фразы: проекция прямоугольника на плоскость при параллельном про­ектировании может быть...

а) прямоугольником или трапецией;

б) отрезком или параллелограммом;

в) только прямоугольником;

г) ромбом или трапецией.

IV вариант

1. Точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. Выбе­рите верное утверждение:

а) прямая ВС параллельна прямой AD;

б) прямая АС пересекает прямую BD;

в) прямая AD пересекает прямую ВС;

г) прямые АВ и CD — скрещиваются.

2. Сторона AD треугольника ABD принадлежит плос­кости а, точка С, не принадлежащая прямой AD, — проекция точки В на плоскость а. Точка F — середи­на АВ. Выберите неверное утверждение:

а) прямые FD и АС пересекаются;

б) прямые FC и AD скрещиваются;

в) прямые ВС и FC пересекаются;

г) прямые ВС и AD скрещиваются.

3. Через концы отрезка КС, не пересекающего плос­кость а, и точку Р — середину этого отрезка проведе­ны параллельные прямые, пересекающие плоскость о: в точках Р1 К1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка РР1, если КК1 = 27 см, а СС1 = 7 см.

а) √189 см; в) 13,5 см;

б) 17 см; г) другой ответ.

4. Плоскость а, параллельная стороне РМ треуголь­ника РМА, пересекает стороны МА и РА в точках Т и К соответственно. Найдите длину отрезка РМ, если КТ равен 18 см, а МТ:АТ = 5:6.

а) 33 см; в) 15 см;

б) 9 см; г) другой ответ.

5. Через концы отрезка МР и точку А этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие не­которую плоскость а в точках M1,Р1 и А1 соответ­ственно. Найдите длину отрезка АА1, если ММ1 равен 18 см, РР1 равен 10 см, а АР :АМ = 1:5. Отрезок МР не пересекает плоскость а.

а) 6,5 см; в) 13 см;

б) 14 см; г) другой ответ.

6. Точки A, С и D — параллельные проекции точек К, М и L на плоскость а, причем точка М принадлежит отрезку KL. Найдите АХ, если: AD = 24 см, CD = 18 см, а КМ = 6 см.

а) 8 см; в) 21 см;

б) 24 см; г) другой ответ.

7. Выберите верное продолжение фразы: проекция ромба на плоскость при параллельном проектирова­нии может быть...

а) ромбом или трапецией;

б) только ромбом;

в) параллелограммом или отрезком;

г) ромбом или трапецией.

Т2. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Задачи для внеаудиторной самостоятельной деятельности:

1. Докажите, что прямая, перпендикулярная плоскости, пере­секает эту плоскость.

2. Прямая а, перпендикулярная плоскости а, пересекает эту плоскость в точке A. Докажите, что прямая b, проведенная через точку А перпендикулярно прямой а, лежит в плоскости а.

3. Даны прямая а и точка М, не принадлежащая а. Найдите объединение всех прямых, проведенных через М перпендикулярно прямой а.

4. Через данную точку проведите прямую, перпендикулярную двум данным скрещивающимся прямым.

5. Точка М удалена от каждой из вершин прямоугольника на расстояние а, а от его плоскости — на расстояние b. Найдите длины сторон прямоугольника, если их отношение равно 2.

6. Точка М, не принадлежащая плоскости треугольника, оди­наково удалена от его вершин. Как расположена проекция точки М по отношению к внутренней области треугольника, если этот тре­угольник: 1) прямоугольный; 2) остроугольный; 3) тупоугольный?

7. Точки A и B расположены по одну сторону плоскости а и удалены от нее на расстояния а и b; точкиA1 и B1 — различные ортогональные проекции данных точек на плоскость а. Найдите расстояние от точки пересечения прямых АВ1 и ВА1 до плоскости а.

8. Вершины треугольника ABC удалены от плоскости а соот­ветственно на расстояния а, b, с. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до плоскости а, если известно:

1) все данные точки расположены по одну сторону плоскости а;

2) точки А и В расположены по одну сторону плоскости а, а точка С — по другую.

9. Через вершину квадрата проведена плоскость и парал­лельно его диагонали. Докажите, что ортогональная проекция ква­драта на плоскость а есть ромб.

10. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника проведена плоскость а, параллельная гипотенузе. Проекции кате­тов на эту плоскость равны 8 см и 4√3 см. Найдите проекцию гипотенузы, если известно, что расстояние между гипотенузой и плоскостью равно 4 см.

11. Через одну из сторон ромба проведена плоскость на рассто­янии 4 см от противолежащей его стороны. Проекции диагоналей ромба на эту плоскость равны 8см и 2см. Найдите проекции сторон.

Одна из сторон прямого угла параллельна плоскости а, другая - не перпендикулярна к ней. Докажите, что ортогональ­ная проекция данного угла на плоскость а есть прямой угол.

2) Может ли ортогональная проекция прямого угла на плос­кость, не параллельную ни одной из его сторон, быть прямым углом?

13. Суммы противолежащих сторон четырехугольника равны.

Найдите множество всех точек, одинаково удаленных от прямых, на которых лежат стороны четырехугольника.

14. В равнобедренном треугольнике стороны равны 17 см, 17 см и 30 см. Из вершины большего угла проведен отрезок, перпендику­лярный к плоскости треугольника, длина отрезка равна 15 см. Найдите расстояние от концов отрезка до большей стороны тре­угольника.

15. Точка М удалена от плоскости квадрата на 14 см, а от каж­дой из его сторон - на 50 см. Найдите сторону квадрата и рассто­яние от его вершин до точки М.

16. Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см; течка М удалена от каждой из прямых, содержащих стороны треугольника, на 5 см и проектируется во внутреннюю точку этого треугольника. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника.

17. Точка М удалена от каждой вершины правильного треуголь­ника на √13 см, а от каждой стороны - на 2 см. Найдите рассто­яние от М до плоскости треугольника.

18. Дан ромб со стороной а и углом 45°. Точка М удалена от всех прямых, на которых лежат стороны ромба, на расстояние b. Найдите расстояние от этой точки до плоскости ромба и вершины его тупого угла.

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите углы между плоско­стью AB1D1 и каждым из ребер А1А и A1О1.

2) Дан куб ABCDA1B1C1 D1 точка М — середина [BB]1, точка N — середина [CC1], О — центр симметрии грани ВСС1В1. Найдите углы между плоскостью ВСС1В1 и каждой из прямых DM, DO, DN.

20. Рассмотрите множество всех наклонных, проведенных к плоскости из точки, не принадлежащей плоскости, и образующих равные углы с этой плоскостью. Какую фигуру образуют точки пересечения наклонных с плоскостью?

21. Через диагональ ромба проведена плоскость, отличная от плоскости ромба. Докажите, что угол между этой плоскостью и пря­мой, на которой лежит сторона ромба, не зависит от выбора стороны.

22. (Устно.) Доказать, что в кубе ABCDA1B1C1D1:1) реб­ро AA1 перпендикулярно грани A1B1C1D1; 2) ребро ВС перпенди­кулярно грани AA1B1B; 3) DC ^ AA1D1D.

23. (Устно.) Прямые а и b пересекаются. При каком усло­вии можно провести через а плоскость, перпендикулярную b?

24. (Устно.) Прямая проходит через вершину A треугольника AВС перпендику­лярно сторонам АВ и АС. Как она распо­ложена относительно стороны ВС?

А и В — точки, расположенные по одну сторону плос­кости а; АС и BD — перпендикуляры на эту плоскость; АС = 3м; BD = 2м и СО — 24дм. Найти расстояние между точка­ми A и В. 2) На верхние концы двух вертикально стоящих столбов, уда­ленных один от другого (по поверхности земли) на 3,4м, упирается концами перекладина. Один из столбов возвышается над землей на 5,8м, другой — на 3,9м. Найти длину перекладины.

Дано: AA1^a, BB1^a,

АА1=BB1 (черт. 222). Доказать: CA1=CB1. 2) Отрезок АВ, равный 12см, пересе­кает плоскость в точке О; концы его уда­лены от плоскости на 1см и 3см. Найти отрезки АО и ОВ.

Концы отрезка длиной 10дм принадлежат двум парал­лельным плоскостям, расстояние между которыми 8дм. Найти проекцию отрезка на каждую из этих плоскостей.

2) Плоскости а и b параллельны. Из точек А и В плоскости а проведены к плоскости b наклонные: АС=37см и BD=125см. Проекция наклонной АС на одну из плоскостей равна 12см. Чему равна проекция наклонной BD?

28. Из точки М проведены к плоскости а три равные наклон­ные: МA = MB = МС = а. Показать, что точки А, В и С принад­лежат одной окружности, центром которой служит точка О — проекция точки М.

29.| 1) Сторона правильного треугольника равна 3 см.. Найти расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2 см.

2) В равнобедренном треугольнике основание и высота равны по 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоско­сти треугольника и на равном расстоянии от всех его вершин. Най­ти это расстояние.

30. (Устно.) В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно а. Найти расстояние между прямыми: a) AA1 и ВС; б) A1B1 и СС1; в) B1D1

и AB; г) АС и BB1; д) AA1 и В1D1.

31. В кубе ABCDA1B1C1D1 на модели и на чертеже показать расстояние между: 1) ребрами AA1 и ВС; 2) диагональю A1D гра­ни AA1D1D и ребром CC1;3) диагоналями AB1 и D1C граней AA1B1B и CC1D1D.

32. (Устно.) В кубе ABCDA1B1C1D1

(черт. 236): 1) ребро A1B1 перпендикуляр­но диагонали В1С грани ВСС1В1 2) диаго­наль А1С перпендикулярна диагонали BD основания ABCD. Доказать.

33. Дано: ÐBAC = 40°, ÐACB = 50°,

AD ^ ABC. /

Доказать: СВ ^BD.

34. (Устно.) 1) Дано: МА ^ ABC, АВ=AC,CD=BD.

Доказать: MD ^ ВС.

2) Дано: MA ^ ABC, BD = CD, MD ^ BC (черт. 239).

Доказать: АВ = AC.

35. (Устно.) Дано: AE и CF высоты, ВК ^ ABC.

Доказать: KD ^ АС.

36. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, уда­ленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого 3,9 м. Найдите длину перекладины.

37. Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b.

38. Через конец А отрезка АВ длины b проведена плоскость, перпендикулярная к отрезку, и в этой плоскости прове­дена прямая. Найдите расстояние от конца В до прямой, если расстояние от конца А до прямой равно а.

39. Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен пер­пендикуляр АК к его плоскости, расстояния от конца К которого до других вершин равны 6м, 7м и9м. Найдите длину перпендикуляра АК.

40. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, про­ведены две равные наклонные. Найдите расстояние меж­ду основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°.

41. Через вершину прямого угла С прямоугольного тре­угольника ABC проведена плоскость, параллельная ги­потенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.

42. Через одну сторону ромба проведена плоскость на рас­стоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диа­гоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите про­екции сторон.

43. В равнобедренном треугольнике основание и высота рав­ны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

Самостоятельные работы

Уровень А:

С-1

1. Диагональ BD ромба ABCD перпендикулярна к плоско­сти а. Как расположена по отношению к этой плоскости другая его диагональ?

2. Докажите, что плоскость а и прямая b, не лежащая в плоскости а, перпендикулярные одной и той же прямой а, параллельны.

С-2

1. Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найдите проекцию перпендикуляра на наклонную.

2. Из данной точки проведены к плоскости две наклонные, равные каждая по 2 см, угол между ними равен 60°, а угол между их проекциями прямой. Найдите расстояние от данной точки до плоскости.

С-3

1. Из данной точки А, находящейся вне плоскости а, прове­дены к этой плоскости наклонные АВ и АС, образующие равные углы с прямой ВС, лежащей в плоскости а. Докажите, что проекции этих наклонных на плоскость а равны между собой.

2. В равнобедренном треугольнике основание и высота рав­ны по 8 см. Точка А удалена от плоскости треугольника на 12 см и равноудалена от его вершин. Найдите расстояние от точки А до вершин.

С-4

1. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Из точки О проведен к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найдите расстояние от точки М до стороны DC, если AD = 6 см, ОМ = 4 см.

2. Точка М лежит вне плоскости ромба ABCD на равном рас­стоянии от его сторон. Найдите расстояние от проекции точки М на эту плоскость до сторон ромба, если его высота равна h.

С-5

1. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см и лежит на плоскости а, а его вершина удалена от плоскости на 6 см. Проекции его боковых сторон на плоскость а перпендику­лярны друг другу. Найдите высоту этого треугольника, опу­щенную на его основание.

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 32 см. Из точки М, делящей гипотенузу пополам, восставлен к плоскости треугольника перпендикуляр МК, равный 12 см. Найдите расстояние от точки К до каждого катета.

С-6

1. Если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендику­лярны одной и той же плоскости, то они параллельны. До­кажите.

2. Отрезок АВ длиной 6 см упирается своими концами в две взаимно перпендикулярные плоскости. Расстояния от точек А и В до линии пересечения плоскостей равны 3 см. Опреде­лите углы, которые образует отрезок с этими плоскостями.

С-7

1. Плоскости а и b пересекаются по прямой р. Точка А лежит в плоскости а вне прямой р. Точка В лежит в плоскости b вне прямой р. Как расположены прямые АВ и р?

2. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Найдите расстоя­ние между прямыми АВ и СС1.

Уровень Б:

МД-1

I вариант

1. АВ^а, CD^a, BÎa, DÎa, AB = CD. Каково взаимное по­ложение прямой АС и плоскости а?

2. К плоскости проведены две равные наклонные. Равны ли их проекции?

3. Точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного тре­угольника, катеты которого 6 см и 8 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите расстоя­ние от точки М до вершин треугольника.

4. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квад­рат со стороной, равной а. Расстояние от бокового ребра до скрещивающейся с ним диагонали параллелепипеда равно...

5. ABCD — квадрат (рис. 67). АЕ пер­пендикулярно плоскости квадрата, КÎЕВ. Чему равен угол между ВС и АК?

6. В треугольнике ABC АВ= 10, ÐA =30°, BD^ABC, BD= 12. Рас­стояние от точки D до АС равно... .

7. Основанием прямоугольного па­раллелепипеда служит квадрат со стороной, равной 4. Диагональ па­раллелепипеда равна 8. Угол между диагональю и боковой гранью

равен...

8. Точка М равноудалена от всех

сторон квадрата ABCD, сторона которого равна 8 см. Рас­стояние от точки М до плоскости квадрата равно 4 см. Угол между плоскостью MCD и плоскостью квадрата равен...

9. Прямая а и плоскость а перпендикулярны плоскости b. Како­во взаимное положение прямой а и плоскости а?

10. Треугольник МАВ и квадрат ABCD имеют общую сторону АВ, и их плоскости взаимно перпендикулярны. Угол MAD равен...

II вариант

l. АВ^а, CD||AB(BÎa, DÎa), EÎа, ÐECD=40°. Тогда ÐCED равен. ...

2Две наклонные, проведенные к плоскости, имеют равные про­екции. Равны ли сами наклонные?

3Точка D равноудалена от всех вершин правильного тре­угольника и находится на расстоянии 3 см от его плоскости. Высота треугольника равна 6 см. Расстояние от точки D до вершины треугольника равно. ...

4. Основанием прямоугольного па­раллелепипеда служит квадрат со стороной, равной а. Расстояние между скрещивающимися диаго­налями противоположных граней параллелепипеда равно...

5. ABCD — квадрат (рис. 68). АЕ перпендикулярно плоскости квад­рата, МÎЕС. Угол между BD и AM равен

6. В треугольнике ABC AВ = 16 см, ÐА = 30°, ВК перпендикулярно

к плоскости треугольника. Найдите ВК, если расстояние от точки К до АС равно 17 см.

7. В прямоугольном параллелепипеде основанием служит квад­рат. Диагональ параллелепипеда равна 10 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 60°. Найдите сторону осно­вания.

8. Точка D равноудалена от всех сторон правильного треуголь­ника ABC. Расстояние от точки D до плоскости треуголь­ника равно 2√З. Радиус описанной около треугольника окруж­ности равен 4. Угол между плоскостью CDB и плоскостью треугольника равен... .

9. Две плоскости перпендикулярны к третьей. Линии пересе­чения этих плоскостей с третьей плоскостью параллельны. Каково взаимное положение этих плоскостей?

10. Прямоугольный треугольник АСВ (ÐС = 90°) и треугольник СМВ имеют общую сторону ВС. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Угол АСМ равен

C-1

1.ABC — правильный треугольник, О — его центр, ОМ — перпен­дикуляр к плоскости ABC, ОM=1. Сторона треугольника рав­на 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.

2.ABCD — параллелограмм, BE и FD — перпендикуляры к плос­кости AВС. Докажите, что плоскости ABE и DFC парал­лельны.

C-2

1. ABCD — квадрат, ЕА^ВС; КÎЕВ. Докажите, что ВС^АК.

2. Через сторону АС треугольника ABC (ÐC = 90°) проведена плоскость a; BB1 ^a CB1^AC; AВ = 25, АС = 24. Найдите площадь треугольника ABC.

C-3

1.Из точки М к плоскости а проведены две наклонные, длина которых 18 см и 2√109 см. Их проекции на эту плоскость отно­сятся как 3:4. Найдите расстояние от точки М до плоскости а.

С-4

1. В треугольнике ABC AВ=ВC=25; AС=48, BD - перпенди­куляр к плоскости ABC, BD = √15. Найдите расстояние от точки D до прямой АС.

2. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ABCD — квадрат со сторо­ной, равной 2 см. Все боковые грани — прямоугольники, B1D = 5 см. Найдите углы между B1D и плоскостью ABC и между B1D и плоскостью DD1C1.

Тест

I-вариант

1. Расстояние от некоторой точки до плоскости квад­рата равно 4 см, а до каждой из его вершин — 6 см. Найдите диагональ квадрата.

а) 2√5 см; в) 5√2 см;

б) 5 см; г) другой ответ.

2. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная его плоскости. Какое из дан­ных утверждений неверно?

a) MA^BD; в) МВ^СВ;

6)MD^CD; г) МС^СВ.

3. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пере­секающего плоскость а, до плоскости а, если расстоя­ния от точек А и B до плоскости равны соответствен­но 7 см и 9 см.

а) 8 см; в) 4 см;

б) 1 см; г) другой ответ.

4. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость а, до плоскости а равны соответственно З см, 15 см и 18 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости а.

а) 3v5 см; в) 6 см;

б) Зсм; г) другой ответ.

5. Точка А находится на расстоянии 3 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей а и b. Найдите расстоя­ние от точки A до прямой пересечения плоскостей а и b.

а) √34 см; в) 6 см;

б) 4 см; г) другой ответ.

6. Из вершины равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольни­ка. Точка D — середина стороны ВС. Найдите длину АК, если ВС равно V20 см, a KD равно 8 см.

а) 14 см; в) 7 см;

б) 12 см; г) другoй ответ.

7. Расстояния от точки М до вершин прямоугольного треугольника ABC (угол С — прямой) равны. Какое из данных утверждений верно?

а) плоскости МАВ и ABC — перпендикулярны;

б) плоскости МВС и ABC — перпендикулярны;

в) плоскости MAC и ABC — перпендикулярны;

г) условия а - в неверны.

II-вариант

1. Расстояние от некоторой точки до плоскости квад­рата равно 4см, а до каждой из его сторон— 6см. Найдите диагональ квадрата.

а) 2√10 см; в) 5√10 см;

б) 5√2 см; г) другой ответ.

2. Через вершину прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Какое из данных утверждений неверно?

а) КА^АС; в) КВ^СВ;

б) KD^CD; г) KC^CB.

3. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пере­секающего плоскость а, до плоскости а, если расстоя­ния от точек А и В плоскости равны соответственно 10 см и 6 см.

а) 8 см; в) 2 см;

б) 4 см; г) другой ответ.

4. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость а, до плоскости а равны соответственно 14 см, 11 см и 4 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости а.

а) 3 см; в) 7 см;

б) 3√3 см; г) другой ответ.

5. Точка А находится на расстоянии 1 см до одной из двух перпендикулярных плоскостей. Найдите рассто­яние от точки А до второй плоскости, если расстояние от А до прямой их пересечения равно √5 см.

а) 2 см; в) 1 см; б) √2 см; г) другой ответ.

6. Из О — центра равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр ОК к плоскости треугольни­ка ABC. Найдите длину ОК, если ВС равно 6 см, а КС равно 4 см.

а) 2 см; в) 4 см;

б) 3 см; г) другой ответ.

7. Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника ABC (угол С — прямой) равны. Какое из данных утверждений верно?

а) плоскости МАВ и ABC — перпендикулярны;

б) плоскости МВС и ABC — перпендикулярны;

в) плоскости MAC и ABC — перпендикулярны;

г) условия а — в неверны.

III-вариант

1. Расстояние от некоторой точки до плоскости пря­моугольника равно √5 см, а до всех его вершин - 3 см. Найдите диагональ прямоугольника.

а) 4 см; в) 5 см;

б) 2 см; г) другой ответ.

2. Через О - точку пересечения диагоналей ромба ABCD проведена прямая ОМ, перпендикулярная его плоскости. Точка Е— середина АВ, а Т— середина ВС. Какое из данных утверждений верно?

а) ОМ^АС; в) ТМ^СВ;

б)МЕ^AВ; г) МТ^МЕ.

3. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пере­секающего плоскость а, до плоскости а, если расстоя­ния от точек А и В до плоскости равны соответствен­но 4 см и 10 см.

а) 7 см; в) 2 см;

б) 3 см; г) другой ответ.

4. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость ее, до плоскости a равны соответственно 19 см, 6 см и 16 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости а.

а) 23 см; в) 29 см;

б) 11√3 см; г) другой ответ.

5. Точка А находится на расстоянии 2 см и 3 см от двух перпендикулярных плоскостей аиb. Найдите расстоя­ние от точки А до прямой пересечения плоскостей а и b.

а) √13 см; в) 3 см;

б) √5 см; г) другой ответ.

6. Из вершины равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольни­ка ABC. Найдите длину АК, если ВС равно 3 см, а КС равно 2V2 см.

а) 2 см; в) 4 см;

б) З см; г) другой ответ.

7. Расстояния от точки М до сторон прямоугольника ABCD равны. Какое из данных утверждений верно?

а) плоскости МАВ и ABC — перпендикулярны;

б) плоскости МВС и ABC — перпендикулярны;

в) плоскости MAC и ABC — перпендикулярны;

г) условия а - в неверны.

IV-вариант

1. Расстояние от некоторой точки до плоскости ромба равно З см, а до всех его сторон— 3V2 см. Найдите диаметр вписанной окружности ромба.

а) 6 см; в) 5 см;

б) 5 см; г) другой ответ.

2. Через О — точку пересечения диагоналей прямоу­гольника ABCD проведена прямая ОМ, перпендику­лярная его плоскости. Точка Е — середина АВ, a Т — середина ВС, Какое из данных утверждений неверно?

а) ОМ^АС; в) ТМ^СВ;

б) МЕ^АВ; г) МТ^МЕ.

3. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пере­секающего плоскость а, до плоскости а, если расстоя­ния от точек А и В до плоскости равны соответствен­но 14 см и 2 см.