а) 9 см; в) 12 см;

б) 6 см; г) другой ответ.

4. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость а, до плоскости а равны соответственно 4 см, 6 см и 23 см. Найдите рас­стояние от вершины D до плоскости а.

а) 22 см; в) 21 см;

б) 11 см; г) другой ответ.

5. Точка А находится на расстоянии 1 см до одной из двух перпендикулярных плоскостей. Найдите рассто­яние от точки А до второй плоскости, если расстояние от А до прямой их пересечения равно √3 см.

а) 2 см; в) 1 см;

б) √2 см; г) другой ответ.

6. Из О — центра равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр ОК к плоскости треугольника ABC. Найдите длину ОК, если ВС равно 6 см, а КС равно 5 см.

а) 2√3 см; в) √14 см;

б) √13 см; г) другой ответ.

7. Расстояния от точки М до сторон ромба ABCD рав­ны. Какое из данных утверждений верно?

а) плоскости МАЕ и ABC — перпендикулярны;

б) плоскости МВC и ABC — перпендикулярны;

в) плоскости MAC и ABC — перпендикулярны;

г) условия а - в неверны.

Т3 – Многогранники

Задачи для внеаудиторной самостоятельной деятельности:

1. Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны 58 см, 50 см, 12 см, а боковое ребро равно большей высоте основания.

2. Расстояния между боковыми ребрами треугольной призмы пропорциональны числам 26, 25, 3; площадь перпендикулярного сечения равна 144 м2. Дополните условие, указав длину какого-нибудь отрезка, и вычислите площадь боковой поверхности призмы.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3. Через середины М и N ребер АВ и AD и через вершину С1 куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость. Постройте сечение куба этой плоскостью и вычислите площадь сечения, если ребро куба равно а.

4. Основание пирамиды ABCD — ромб, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и образует угол 30° с боковым ребром SA. 1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину А и перпендикулярной к ребру SC; 2) найдите площадь сечения, если |АС| = а, | BD| = b.

5. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Какой должна быть высота пирамиды, чтобы площадь боковой поверхности была равна 60 см2?

6. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а, вы­сота пирамиды равна h и проходит через вершину основания. Най­дите площадь полной поверхности пирамиды.

7. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 дм и 15 дм, все боковые ребра имеют равные длины, высота пирамиды равна 4 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды,

8. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, параллельные стороны которой равны 4 см и 9 см, все двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны, большее боковое ребро равно 7,5 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

9. 1) Найти диагональ правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 6 см, а диагональ боковой грани 8 см.

2) Найти диагональ правильной четырехугольной призмы, если диагональ основания равна 8 см, а диагональ боковой грани 7 см.

10. В правильной треугольной призме сторона основания рав­на а, боковое ребро b. Найти площадь сечения, проведенного че­рез: 1) боковое ребро и центр одного основания; 2) сторону осно­вания и середину противолежащего бокового ребра.

11. В правильной треугольной призме каждое ребро равно а. Найти площадь сечения, проведенного через сторону нижнего ос­нования и: 1) среднюю линию верхнего основания; 2) середину от­резка, соединяющего центры оснований.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 8 см, угол между ними 60°. Меньшая диагональ паралле­лепипеда составляет с основанием угол в 60°. Найти его диаго­нали.

2) В прямом параллелепипеде стороны основания равны 17 см и 18 см, одна из диагоналей основания 25 см. Большая диагональ параллелепипеда составляет с основанием угол в 45°. Найти пло­щадь его диагональных сечений.

13. Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 3 см; диагонали параллелепипеда образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найти: 1) высоту параллелепипеда; 2) углы ромба.

14.: 1) Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см, стороны оснований 10 см и 2 см. Найти боковое реб­ро пирамиды и диагональ.

2) Стороны оснований правильной треугольной усеченной пира­миды 4 дм и 1 дм, боковое ребро 2 дм. Найти высоту и апофему пирамиды.

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сто­роны оснований равны а и b (а > b), двугранный угол при большем основании а. Найти высоту пирамиды.

2) То же, если пирамида треугольная.

Высота правильной четырехугольной усеченной пирами­ды равна 4 см, стороны оснований 2 см и 8 см. Найти площадь диагонального сечения.

2) Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 4 см, диагональ 5 см. Найти площадь диагонального се­чения.

17. В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего b, боковое ребро образует с основанием острый угол а. 1) Провести сечение через боковое ребро и центр нижнего основания; 2) найти его площадь.

18. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сторо­ны основания равны 3 см и 5 см, высота 3 см. Провести сече­ние через противолежащие стороны оснований. Найти: 1) площадь сечения; 2) двугранный угол между сечением и нижним основа­нием.

19. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите пло­щадь сечения, проведенного через боковое ребро и мень­шую высоту основания.

20. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклоне­но к плоскости основания под углом в 30°. Найдите вы­соту призмы.

21. В наклонной треугольной призме расстояния между бо­ковыми ребрами равны 37 см, 13 cм и 40 см. Найдите рас­стояние между большей боковой гранью и противоле­жащим боковым ребром.

22. Основанием призмы является правильный шестиуголь­ник со стороной а, а боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.

23. Внутри правильной шестиугольной призмы, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сто­рону верхнего основания. Сторона основания а. Найдите площадь построенного сечения.

24. В правильной четырехугольной призме площадь основа­ния 144 см2, а высота равна

14 см. Найдите диагональ этой призмы.

25. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найдите высоту.

26. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.

27. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, сторо­ны основания равны 6 м и 8 м, а одна из диагоналей ос­нования равна 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда.

28. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол в 60°.

29. У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м2, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?

30. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол в 30°; боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.

31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см; угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдите полную поверхность.

32. Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна 512 м2. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное основанию, если его площадь 50 м2?

33. Высота правильной четырехугольной усеченной пирами­ды равна 7 см. Стороны оснований 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

34. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите вы­соту пирамиды.

35. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде вы­сота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Най­дите диагональ пирамиды.

36. Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найдите высоту.

37. В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего b. Боковое реб­ро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирами­ды.

38. Высота правильной четырехугольной усеченной пира­миды равна 4. Стороны оснований равны 2 и 8. Найдите площади диагональных сечений.

Самостоятельные работы

С-1

I-вариант

1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основа­ния равны (2√3):3 , а боковое ребро — 2√3, М — центр грани

СС1В1В. Найдите угол между прямой AM и плоскостью осно­вания.

2. В правильной четырехугольной призме стороны основания рав­ны 4 см. Через диагональ основания под углом 45° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь сечения.

II-вариант

1. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторо­на основания равна 1, а боковое ребро √5, К — центр гра­ни АА1В1В. Найдите угол между прямой КС и плоскостью основания.

2. В правильной треугольной призме через среднюю линию осно­вания под углом 60° к плоскости основания проведена плос­кость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь сече­ния, если сторона основания равна 4 см.

С-2

I-вариант

В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит прямоуголь­ный треугольник АСВ (ÐC = 90°), AC = 4, ВС = 3. Через сторону АС и вершину B1 проведена плоскость; ÐB1AC = 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

II-вариант

В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник АСВ (ÐC=90°). Через сторону ВС и вершину А1 проведена плоскость, ÐBA1C=30°, A1B=10, АС = 5. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

С-3

I-вариант

1. В наклонной треугольной призме АВСА1В1С1 основанием слу­жит прямоугольный треугольник АСВ (ÐC = 90°). Плоскость грани AA1C1C перпендикулярна к плоскости основания. Дока­жите, что СС1В1В — прямоугольник.

2. В наклонной треугольной призме площадь двух граней равна 70 см2 и 150 см, угол между ними — 60°. Боковое ребро равно 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

II-вариант

1. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 слу­жит прямоугольник ABCD. Грань AA1D1D перпендикулярна к плоскости основания. Докажите, что DD1C1C — прямоуголь­ник.

2. В наклонной треугольной призме площади двух граней рав­ны 15 см2 и 25 см2. Угол между ними 120°. Длина бокового ребра равна 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

С-4

I-вариант

1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см,

а длина диагонали основания 6√2 см. Найдите площадь пол­ной поверхности пирамиды.

2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания рав­на а, а высота 2а. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.

II-вариант

1. В правильной треугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота основания 15 см. Найдите площадь полной поверх­ности пирамиды.

2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а высота За. Найдите углы наклона боковых ре­бер и боковых граней к плоскости основания.

С-5

I-вариант

1. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треуголь­ник ABC (AC = 90°), ВС = а, ÐА = 30°. Боковые ребра на­клонены к основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.

2. В пирамиде МАВС боковое ребро МА перпендикулярно к плос­кости основания ABC, а грань МВС составляет с ним угол 60°, AВ=AС=10, ВС=16. Найдите площадь боковой поверх­ности пирамиды.

II-вариант

1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник ABC, у ко­торого АВ = а и ÐAСВ=150°. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пирамиды.

2. Основанием пирамиды PEFM служит равнобедренный тре­угольник, EF—EM, МF = 20 √6. Боковое ребро РЕ равно 10 и перпендикулярно к плоскости основания. Угол между РЕ и плос­костью MPF равен 60°. Найдите площадь боковой поверх­ности пирамиды.

С-6

I-вариант

1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания рав­на а, а боковые грани наклонены к нему под углом 60°. Най­дите площадь сечения, проведенного через среднюю линию осно­вания параллельно боковой грани.

2. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

II-вариант

1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковые ребра наклонены к плоскости основа­ния под углом 60°. Через диагональ основания параллельно

боковому ребру проведена плоскость. Найдите площадь сечения.

2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны осно­ваний равны 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к пло­скости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой по­верхности пирамиды.

Математический диктант

I-вариант

1. Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 4 см, а боковое ребро 5 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через ребро АА1 и верши­ну С.

2. В правильной треугольной призме сторона основания равна 3 см, а диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60°. Площадь боковой поверхности призмы

равна.. . .

3. В наклонном параллелепипеде основанием служит квадрат. Две противоположные боковые грани перпендикулярны к плос­кости основания. Все ребра параллелепипеда равны 4 см. Найдите площадь каждой из наклонных боковых граней.

100

4. В наклонной треугольной призме ABCDA1B1C1D1 основанием служит правильный треугольник со стороной, равной а. Боко­вое ребро равно b, ÐA1AC = ÐA1AB. Площадь грани СС1В1В равна... .

5. В наклонной треугольной призме боковое ребро равно 10 см. Площади двух боковых граней равны 30 см2 и 40 см2, угол между ними прямой. Площадь боковой поверхности призмы равна....

6. В правильной четырехугольной пирамиде угол между диаго­налью основания и скрещивающимся с ней боковым реб­ром равен. ...

7. В правильной четырехугольной пирамиде угол между проти­воположными боковыми гранями равен 40°. Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания.

8. Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, рав­ной 8 см, и противоположным этой стороне углом в 150°. Бо­ковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Высота пирамиды равна. ...

9. Основанием пирамиды служит трапеция, основания которой равны 2 см и 8 см. Боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота одной из боковых граней равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пира­миды.

10. В пирамиде MABCD основанием служит квадрат со сто­роной, равной а. Грань МАВ — правильный треугольник, плос­кость которой перпендикулярна к плоскости основания. Пло­щади граней MAD и МВС равны…

II-вариант

1. Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 3 см, а боковое ребро 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через сторону основа­ния AD и вершину С1.

2. В правильной треугольной призме боковое ребро равно 4 см, а диагональ боковой грани составляет с плоскостью осно­вания угол 45°. Площадь боковой поверхности призмы рав­на...

3. В наклонном параллелепипеде основанием служит квадрат. Две противоположные боковые грани перпендикулярны к плос­кости основания. Все ребра параллелепипеда равны между собой. Площадь наклонной боковой грани равна 25 см. Длина ребра параллелепипеда равна...

4. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат со стороной, равной а. Боковое ребро равно b. Вершина А1 равноудалена от всех вершин нижнего основа­ния. Площадь диагонального сечения BB1D1D равна...

5. В наклонной треугольной призме боковое ребро равно 5 см. Площади двух боковых граней равны 20 см, угол между ними 60°. Площадь боковой поверхности призмы равна...

6. В правильной треугольной пирамиде угол между скрещива­ющимися ребрами равен...

7. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани на­клонены к основанию под углом 50°. Угол между противо­положными боковыми гранями пирамиды равен...

8. В пирамиде основанием служит треугольник со стороной 6 см и противолежащим углом 30°. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°. Длина бокового ребра равна...

9. Основанием пирамиды служит трапеция, боковые стороны ко­торой равны 2 см и 4 см. Боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота одной из боковых граней равна 5 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

10. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной 6 см. Ребро MB перпендикулярно к плоскости основания. Рав­ные боковые ребра равны 8 см. Площадь наклонных боковых граней равна...

Тест

I-вариант

1. Сколько диагоналей у семиугольной призмы?

а) 21; в) 14;

б) 28; г) другой ответ.

2. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 16 см2, а полная поверхность - 48 см2. Найдите высоту призмы.

а) 2 см; в) 1 см;

б) 4 см; г) другой ответ.

3. Найдите площадь поверхности прямоугольного па­раллелепипеда по трем его измерениям, равным 3 см, 4 см и 5 см.

а) 94 см2; в) 20 см2;

б) 47 см2; г) другой ответ.

4. Найдите площадь сечения куба АВСDА1В1С1D1 плос­костью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, если ребро куба равно 2 см.

а) 5 см2;

б) 4√2 см

в) 2√5 см2;

г) другой ответ.

5. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, а сторона основания — 6 см. Найдите бо­ковое ребро.

а) √43 см; в) 5 см;

б) √37 см; г) другой ответ.

6. Найдите боковую поверхность правильной треуголь­ной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании — 30.

а) 2 см2;

б) 2√3 см2

в) √3 см2;

г) другой ответ.

7. Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 2√2 см, а стороны основания 1 см и 4 см. Найдите площадь диагонального сечения.

а) 20 см2; в) 5 см2;

б) 10 см2; г) другой ответ.

II-вариант

1. Сколько диагоналей у восьмиугольной усеченной пирамиды?

а) 20; в) 40;

б) 28; г) другой ответ.

2. Боковая поверхность правильной треугольной при­змы равна 27√3 см2, а полная поверхность - 36√3 см2. Найдите высоту призмы.

а) 3√3см;

б) (3√3):2 см;

в) 3 см;

г) другой ответ.

3. Найдите площадь поверхности прямоугольного па­раллелепипеда по трем его измерениям, равным 4 см, 4 см и 6 см.

а) 92 см2; в) 96 см2;

б) 128 см2; г) другой ответ.

4. Найдите площадь сечения куба АВСDА1В1С1D1 плос­костью, проходящей через ребра АВ и C1D1, если реб­ро куба равно 3 см.

а) 6 см2; в) 9√2 см2;

б) 5√2см2 г) другой ответ.

5. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см, а сторона основания - 4 см. Найдите бо­ковое ребро.

а) 2√3 см; в) 3 см;

б) √10 см; г) другой ответ.

6. Найдите боковую поверхность правильной четыре­хугольной пирамиды, если сторона основания равна 2√2 см, а все двугранные углы при основании - 45°.

а) 8√2 см2

б) 16√2 см2;

в) 8 см2;

г) другой ответ.

7. Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна √l2 см, а стороны основания 3 см и 7 см. Найдите площадь диагонального сечения.

а) 10√6 см2

б) 20 см2;

в) 12 см2;

г) другой ответ.

III-вариант

1. Сколько диагоналей у девятиугольной призмы?

а) 54; в) 81;

б) 27; г) другой ответ.

2. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 48 см2, а полная поверхность — 56 см2. Найдите высоту призмы.

а) 2 см; в) 6 см;

б) 4 см; г) другой ответ.

3. Найдите площадь поверхности прямоугольного па­раллелепипеда по трем его измерениям, равным 10 см, 2 см и 5 см.

а) 120 см2; в) 80 см2;

б) 160 см2; г) другой ответ.

4. Найдите площадь сечения кy6а ABCDA1B1C1D1 плос­костью, проходящей через ребро АВ и середину ребра С1С, если ребро куба равно 4 см.

а) 10 см2;

б) 8√2 см2

в) 4√5 см2

г) другой ответ.

5. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 1 см, а сторона основания — 4 см. Найдите бо­ковое ребро.

а) 2√2 см;

б) 2√3 см;

в) 3 см;

г) другой ответ.

6. Найдите боковую поверхность правильной треуголь­ной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании — 60°.

а) 16√3 см2

б) 8√3 см2

в) 9 см2;

г) другой ответ.

7. Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна √32 см, а стороны основания 2 см и 8 см. Найдите площадь диагонального сечения.

а) 40 см2; в) 10 см2;

б) 20 см2; г) другой ответ.

IV-вариант

1. Сколько диагоналей у усеченной шестиугольной пирамиды?

а) 12; в) 24;

б) 18; г) другой ответ,

2. Боковая поверхность правильной треугольной при­змы равна 18 см2, а полная поверхность— 36 см2. Най­дите высоту призмы.

а) 2 см; в) 4√3 см;

б) √3 см; г) другой ответ.

3. Найдите площадь поверхности прямоугольного па­раллелепипеда по трем его измерениям, равным 6 см, 2 см и 4 см.

а) 96 см2; в) 88 см2;

б) 48 см2; г) другой ответ.

4. Найдите площадь сечения кy6a ABCDA1BlClDl плос­костью, проходящей через ребра ВС и АlDlесли реб­ро куба равно 2√2 см.

а) 8 см2; в) 6√2 см2;

б) 8√2 см2; г) другой ответ.

5. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а сторона основания — 2 см. Найдите бо­ковое ребро.

а) 2√3 см; в) 3 см;

б) 3√2 см; г) другой ответ.

6. Найдите боковую поверхность правильной четырех­угольной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании — 60°.

а) 8 см2; в) 16 см2;

б) 8√2 см2; г) другой ответ.

7. Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 2V5 см, а стороны основания 2 см и 4 см. Найдите площадь диагонального сечения.

а)10√6 см2; в) 6√10 см2;

б) 22 см2; г) другой ответ.

Т4 – Векторы в пространстве

Задачи для внеаудиторной самостоятельной деятельности:

1. 1) ОАСВ - квадрат (черт. 27). Что можно ска­зать о векторах ОА и ВС? ОВ и СA?

2) ОАСВ - квадрат; ОА = а, ОВ = b. Выразить через а и b

векторы AC, ВС, СА и СВ.

2. АВ и CD - два диаметра окружности O. Показать на чертеже векторы OA, ОВ, ОС и OD. Есть ли среди этих векторов равные? противоположные?

3. Что можно сказать о векторах а и b, если они симметричны относительно: 1) прямой; 2) точки?

4. 1) Начертить два коллинеарных вектора и сложить их. Может ли их сумма равняться нулю?

2) Начертить три коллинеарных вектора и сложить их.

5. 1) Начертить два неколлинеарных вектора. Сложить их двумя способами.

2) Начертить три неколлинеарных вектора. Сложить их.

6. Даны два вектора а и b. Построить вектор: 1) а - b

2) - a + b; 3) - a - b. .

7. ОАСВ — прямоугольник, ОА = а, ОB = b. Выразить век­торы ОС, СО, АВ через а и b.

8. Векторы а и b взаимно перпендикулярны, |а| = 3, |b| = 4. Найти |а + b| и |а — b|.

9. 1) На прямой взяты точки А, В, К так, что КА = 3КВ. Выразить АВ через КВ.

2) На прямой взяты точки А, В, К так, что КА = -2KB.

Выразить АК через АВ.

На прямой взяты последовательно точки А, В, С; М -

середина отрезка АВ, N — середина отрезка ВС. Выразить MN че­рез АС.

2) На прямой взяты последовательно точки А, В, С; М - середина отрезка АС, N - середина отрезка АВ. Выразить NM через ВС.

В треугольнике ABC ВС=а, СА=b; К, L и М - середины сторон ВС, СА и АВ. Выразить через а и b векторы KL, LM и МК

2) В треугольнике ABC ВС=а, СА=b. Выразить все векторы-медианы через а и b.

12. Найти скалярное произведение векторов а и b, образующих угол ф, если: 1) а = 3, b = =2, ф = 45°; 2) а = 4, b = 5, ф = 120°; 3) а = 6, b = 7, ф = 90°.

13. Сравнить скалярное произведение векторов а и b со скалярным произведением векторов За и 5b.

14. В ромбе ОАСВ принять ОА = а, ОВ = b. Выразив через а и b векторы ОС и АВ, доказать, что ОС ^ АВ.

15. Даны вершины треугольника А (1; 1), В (4; 1), С (4; 5). Найдите косинусы углов треугольника.

16. Найдите углы треугольника с вершинами А (0; √3),

В (2; √3), С (3:2; √3:2).

17. Докажите, что векторы а (т; п) и b (-n; m) либо пер­пендикулярны, либо равны нулю.

18. Даны векторы а (3; 4) и b (т; 2). При каком значении т эти векторы перпендикулярны?

19. Даны четыре точки: А (0; 0), В (-1; 1), С (0; 2), D (1; 1). Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.

20. Сколько векторов задают всевозможные упорядоченные пары точек, составленные из вершин: 1) треугольника; 2) парал­лелограмма; 3) тетраэдра; 4) параллелепипеда?

21. На рисунке 70 изображены равнобедренная трапе­ция ABCD и правильный треугольник АВМ. Из точек А, В, С, D, М составьте две различные упорядоченные пары, задающие: 1) векторы равной длины; 2) сонаправленные векторы; 3) про­тивоположно направленные векторы. Есть ли среди всех этих векторов равные?

22. Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов:

1) AB + BD + DC; 2) AD + CB+ DC; 3) AB + CD + BC + DA.

23. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.Найдите сумму векторов: 1) АВ + BB1 + +В1С1; 2) СВ+ В1А1 + AD1;3)AC1 + D1A + BD1; 4) D1C + AA1 + CB + C1C.

24. Дан ненулевой вектор ОА. Отложите от точки О векторы: 1) 0,5ОA;A;

3) (-2:3)ОA; 4) √2OA; 5) -√3 ОА.

25. В треугольнике ABC медианы AA1,BB1,CC1 пересекаются в точке М. Найдите множитель k, если: 1) A1C = kBC; 2) C1B = kC1A; 3) AM=kMA1 4) CC1 = kC1M 5) MB1=KB1B 6) MA = kAA1

26. Медианы грани ABC тетраэдра ОАВС пересекаются в точке М. Разложите вектор ОА по векторам ОВ, ОС, ОМ.

27. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Разложите по векторам а= =ОА, b = ОВ, с = ОС векторы: 1) ОМ, где M = (AC)Ç(BD); 2) OD; 3) OK, где К - середина [AD].

28. Длина каждого из ребер тетраэдра ABCD равна а, точки М, N, Р являются серединами ребер АВ, AD, DC. Вы­числите скалярные произведения: 1) АС×АВ; 2) AD×DB; 3) PN×AC; 4) MN×ВС; 5) NP×BA; 6) РМ×РВ.

Самостоятельные работы

С-1

1. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки К и М - середины ребер AD и DD1 соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) противоположно направлены вектору КМ;

2) сонаправлены с вектором DC;

3) имеют длину, равную длине вектора А1В.

2. Пусть плоскость у пересекает плоскости а и b по прямым а и b соответственно: АÎа, ВÎа, CÎb, DÎb. Могут ли векторы АВ и CD быть коллинеарными? Если да, то укажите хотя бы одну из таких возможностей.

С-2

1. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме BC + +C1D1+A1A+DB1.

2. Докажите, что векторы -DE+DF-KF и МС-МК-ЕС противоположны.

С-3

1. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, М -точка пересечения

DC1 и D1C; AB = a, AD = b, АА1 - с. Разложите вектор AM по векторам а, b и с.

2. В тетраэдре DABC М - точка пересечения медиан треуголь­ника ABC. Разложите вектор DM по векторам СА, СВ и CD.

Контрольная работа

I-вариант

1. ABCDA1B1C1D1 —параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) AC1 + DA1 + B1B + BA;

2) ВА - В1C1

2. В тетраэдре DABC М — точка пересечения медиан грани

BDC, Е — середина АС. Разложите вектор ЕМ по векторам АС, АВ и AD.

3. Даны три неколлинеарных вектора a, b и с. Найдите зна­чения р и q, при которых векторы

m = pa + qb + 8c и h = а + pb + qc коллинеарны.

4. В тетраэдре DABC точки М и Н — середины соответст­венно ребер AD и ВС. Докажите, используя векторы, что прямые АВ, HМ и DC параллельны одной плоскости.

II-вариант

1. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) B1C1 + AB + CC1 + B1A

2) DC - CB1.

2. В тетраэдре DABC точка Е — середина ребра AD, а точка М — пересечение медиан грани BDC. Разложите вектор ЕМ по векторам АВ, АС и AD.

3. Докажите, что векторы m = a + b - c, h = 2a – b + c и р = 8a – b + c компланарны.

4. В тетраэдре DABC точки М и К — середины АВ и CD соответственно. Докажите, что середины отрезков МС, MD, NA и NB являются вершинами параллелограмма.

III-вариант

1. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) BC + CD + BB + DA;

2) d1c1 - a1b.

2. В тетраэдре DABC точка Е — середина DB, а точка М - пересечение медиан грани ABC. Разложите вектор ЕМ по векто­рам DA, DB и DC.

3. Даны три не коллинеарных вектора a, b и с. Найдите зна­чение k, при котором векторы m = ka + k2b + 2c и п = а + кb + с коллинеарны.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки Е и F — середины отрезков BD и С1С. Докажите, используя векторы, что прямые ВС1, EF и DC параллельны одной плоскости.

IV-вариант

1. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

1) AB + B1B + CD + DA

2) DB-AB1

2. В тетраэдре DABC точка М - пересечение медиан грани

ACD, а К — середина АВ. Разложите вектор КМ по векторам

ВА, ВС и BD.

3. Докажите, что векторы m = a +2b + 3c, n = 2a - b - с и

p = 3a - 4b - 5с компланарны.

4. В пространстве расположен параллелограмм ABCD и про­извольный четырехугольник

A1B1C1D1. Докажите, что точки пере­сечения медиан треугольников A1BB1, B1CC1, C1DD1

и A1AD1 являются вершинами параллелограмма.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3