Параллельность прямых и плоскостей (стр. 1 )

Т1 Параллельность прямых и плоскостей

Задачи для внеаудиторной самостоятельной деятельности:

1. В плоскости а даны прямые a и b, данная точка М не при­надлежит а. Проведите линию пересечения плоскостей, проходя­щих через a и М, b и М.

2. Даны угол ABC и точка М. Проведите линию пересечения плоскостей, проходящих через (АВ) и М, (ВС) и М.

3. Дан треугольник ABC и точка М, не принадлежащая его плоскости. Через М и А проведите плоскость а так, чтобы линия пересечения плоскостей ABC и а: 1) разделила [ВС] пополам; 2) разделила угол ВАС пополам.

4. Дана прямая а и точка М. Через данную точку проведите прямую, пересекающую а под прямым углом.

5. Докажите, что середины ребер AD, АВ, BCt CD тетраэдра ABCD принадлежат одной плоскости. Вершинами какого четырех­угольника служат эти точки?

6. Даны две различные прямые а и Ь. Через данную точку М проведите прямую, скрещивающуюся с каждой из данных прямых, если известно, что данные прямые: 1) параллельны; 2) пересекаются.

7. Даны скрещивающиеся прямые а и b, прямая с пересекает каждую из данных прямых. Докажите, что любая прямая, параллельная с и отличная от этой прямой, скрещивается, по крайней мере с одной из прямых а и b.

8. Дано: а и b – скрещивающиеся прямые, С принадлежит а. Докажите, что плоскость, проходящая через b и С, пересекает прямую а.

9. Даны скрещивающиеся прямые a, b и точка С. Каково вза­имное расположение плоскостей, проведенных через а и С, b и С?

10. Дано: а и b – скрещивающиеся прямые. Через точку М, принадлежащую прямой а, проведите прямую, пересекающую а и скрещивающуюся с b.

11. Верно ли утверждение, что прямая, параллельная плоско­сти, не пересекает ни одной из прямых, лежащих в этой плоскости?

12. Плоскость b пересекает прямую а, параллельную плоскости а. Докажите, что плоскости а и b пересекаются.

13. Дано: а и b – скрещивающиеся прямые. Через прямую а проведите плоскость, парал­лельную прямой b.

14. (Устно.) 1) Одна из сторон параллелограмма принадле­жит плоскости а. Как расположены по отношению к плоскости а остальные стороны?

2) Сторона АС треугольника ABC принадлежит плоскости а. Как расположена по отношению плоскости а прямая, проходящая через середины сторон АВ и СВ?

 

рис.1

15. (Устно.) Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 1). Как расположено ребро AA1 по отношению граней BB1CC1 и CC1 D1D? Ребро DC по отношению граней ABCD и AA1B1В?

16. Из внешней точки А проведен к плос - кости а отрезок АВ (В Ì а). Он разделен точкой С в отношении 3:4 (от А к В), и отсюда про­веден параллельно плоскости а отрезок CD. = 12 см. Через точку D проведен к плоскости а отрезок ADE (Е Ì а). Найти расстояние между точками В и Е.

Даны прямая а и не лежащая на ней точка А. Провести плоскость, проходящую через точку А и параллельную прямой а.

2) Даны параллельные прямые а и b. Провести через прямую а плоскость, парал­лельную прямой b.

Рис.1

18. Докажите, что все прямые, пересекающие две параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

19. Докажите, что все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

20. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1 если АА1 =5м, ВВ1 = 7 м и отрезок АВ не пересекает плоскость.

21. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1 если АА1 =5м, ВВ1 = 7 м и отрезок АВ не пересекает плоскость.

22. Решите задачу 21, если отрезок АВ пересекает плоскость.

23. Дан параллелограмм ABCD и не пересекающая его плос­кость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А1, В1, С1, D1. Найдите длину отрезка DD1, если АА1 — а, ВВ1 = b, СС1 = с.

24. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

25. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, AC и BD, AD и ВС, пересекаются в одной точке.

26. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.

27. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

28. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой a, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая a параллельна плоскости а.

29. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую.

30. Даны две скрещивающиеся прямые. Как провести через них две параллельные плоскости?

31. Плоскости а и b параллельны плоскости у. Могут ли плоскости а и b пересекаться?

32. Плоскости а и b пересекаются. Докажите, что любая плоскость у пересекает хотя бы одну из плоскостей а, b.

33. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.

34. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?

35. Докажите, что если параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях, то четырехугольник CDD1C1 тоже параллелограмм.

36. Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость

Самостоятельные работы

Уровень А:

С-1

I вариант

1. Прямая EF, не лежащая в плоскости прямоугольника ABCD, параллельна стороне ВС (рис. 1). Докажите, что прямые EF и AD параллельны.

2. Точка М лежит вне плоскости треугольника ABC (рис, 2). Точки К, P,E,F — середины отрезков MA, AB, МС, ВС. Как рас­положены прямые КЕ и PF?

II вариант

1. Ромб ABCD и трапеция BCMN (ВС — основание трапе­ции) не лежат в одной плоскости (рис. 1). Как расположены прямые MN и AD?

2. Точка M лежит вне плоскости треугольника ABC (рис. 2). Точки К, P,E,F — середины отрезков MA, AB, МС, ВС. Как рас­положены прямые КЕ и PF?

III вариант

1. Треугольник ABC и трапеция АВКР (АВ — основание трапеции) не лежат в одной плоскости (рис. 1). Как распо­ложены прямые РК и MN, где MN — средняя линия треуголь­ника ABC?

2. Точка М лежит вне плоскости параллелограмма ABCD (рис. 2). Точки Р, F, Е, К соответственно середины отрезков MA, MB, MC, MD. Определите вид четырехугольника PFEK.

IV вариант

1. Треугольник ABC и трапеция АВКР не лежат в одной плоскости (рис. 1). MN — средняя линия треугольника ABC, MN = РК. Как расположены прямые МР и NK?

2. Точка М лежит вне плоскости прямоугольника ABCD (рис. 2). Точки Р, F, Е, К соответственно середины отрезков MA, MB, MC, MD. Определите вид четырехугольника PFEK.

С-2

I вариант

1. Прямые а и b лежат в одной плоскости. Могут ли прямые аи b: а) пересекаться; б) быть параллельными; в) скрещи­ваться?

2. Прямые т и п пересекаются. Как расположена прямая т относительно прямой d, если: a) d║n; б) прямые d и п пересекаются?

3. Прямые а и b параллельны. Точки А и В принадлежат прямой а, точки С и D принадлежат прямой b. Лежат ли прямые АС и BD в одной плоскости?

II вариант

1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Как расположены прямые: а) АА1 и ВВ1;б) А1В1 и ВВ1;в) А1А и D1C1

2. Какое положение занимает прямая, лежащая на пло­скости, относительно прямой, пересекающей эту плоскость?

3. Прямые а и Ь лежат соответственно в плоскостях а и b, которые пересекаются по прямой с. Прямые а и с, b и с параллельны. Что можно сказать о взаимном расположении прямых а и b?

III вариант

1. Две параллельные прямые с и Ь соответственно параллельны прямым c и d. Как расположены прямые aиd?

2. Даны скрещивающиеся прямые а и b. Как может быть расположена прямая а относительно прямой с, если: а) с || b; б) прямые с и b пересекаются; в) прямые с и b скрещивающиеся?

3. Даны треугольник ABC и трапеция ABMD (АВ — основа­ние трапеции), не лежащие в одной плоскости. Как расположе­ны средние линии треугольника и трапеции?

IV вариант

1. Прямая EF, не лежащая в плоскости а, параллельна стороне АВ параллелограмма ABCD, расположенного в плос­кости а. Как расположены прямые: a) EF и CD; б) EF и ВС; в) АВ и DE; г) АС и BE; д) ВС и DE?

2. Докажите, что все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

3. Даны скрещивающиеся прямые а и b, точки А и В лежат на прямой а, точки С и D - на прямой b. Докажите, что прямые АС и BD скрещивающиеся.

Уровень Б:

С-1

I вариант

1. Точки А, В и С не лежат на одной прямой МÎАВ; КÎАС; ХÎМК. Докажите, что точка X лежит в плоскости AВС.

2. Плоскости а и b пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в плоскости a и пересекает плоскость b. Пересекаются ли прямые а и m? Почему?

II вариант

1. Прямые а и b пересекаются в точке О; АÎ а, BÎ b, YÎ AB. Докажите, что прямые а и b и точка Y лежат в одной плос­кости.

2. Даны пересекающиеся плоскости а и b. Прямая а лежит в плоскости а и пересекает плоскость b в точке А. Прямая b ле­жит в плоскости b и пересекает плоскость а в точке В. Дока­жите, что АВ — линия пересечения плоскостей а и b.

III вариант

1. В чем ошибка чертежа (рис. 9)? Дайте объяснение. Сделай­те верный чертеж.

2. По данным рисунка 10 постройте:

1) точки пересечения прямой EF с плоскостями AВС и А1 В1С1;

2) линию пересечения плоскостей ADF и EFD;

3) линию пересечения плоскостей EFD и ABC.

C-2

I вариант

1. На рисунке 1 плоскости а и b пересекаются по прямой EF. Пря­мая АВ лежит в плоскости а. В плоскости b через точку С провести прямую так, чтобы она:

1) пересекала прямую АВ;

2) была бы скрещивающаяся с прямой АВ;

3) была бы параллельна прямой АВ.

2. На рисунке 2 AA1||CC1, AA1||BB1, BB1 = CC1. Докажите, что B1C1= BC

II вариант

1. На рисунке 5 плоскости аиb пересекаются по прямой EF. Пря­мая АВ лежит в плоскости а и параллельна EF. В плоскости b через точку С провести прямую так, чтобы она:

1) пересекала прямую АВ;

2) была бы скрещивающейся с прямой АВ;

3) была бы параллельна прямой АВ.

2. На рисунке 6 A1C1=AC, A1C1||AC; A1B1=AB, A1B1||AB, До­кажите, что CC1||BB1.

III вариант

1. Докажите, что прямые AA1 и C1D1, АА1 и B1D, AC и B1D1 являются скрещивающимися (рис.11).

2. Прямая b лежит в плоскости а. Прямая а не лежит в плоскости а и параллельна прямой b. Через точку М, лежащую в плоскости а (МÎb), проведена прямая с, па­раллельная а. Докажите, что с лежит в плоскости а.

Тетраэдр. Параллелепипед.

Задачи на построение сечений, для внеаудиторной самостоятельной деятельности.

1. Докажите, что середины ребер AD, АВ, ВС, CD тетраэдра ABCD принадлежат одной плоскости. Вершинами какого четырех­угольника служат эти точки?

2. Дан тетраэдр ABCD. Выберите в грани ABD точки М и N, а в грани ABC точку Р так, чтобы сечение тетраэдра плоскостью MNC было: 1) треугольником; 2) четырехугольником. Постройте эти сечения.

3. Дан тетраэдр ABCD; точки М и N принадлежат внутренней области треугольника ABC, точка Р принадлежит грани ABD. По­стройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.

4. Дан тетраэдр ABCD, точки М и N принадлежат соответ­ственно ребрам AD и DC. Выберите точку Р в грани BCD так, чтобы сечение MNP было: 1) треугольником; 2) четырехугольни­ком. Постройте эти сечения.

5. Дан тетраэдр ABCD. 1) Постройте его сечение плоскостью, проходящей через вершину D и внутреннюю точку М грани ABC и параллельной ребру АВ. 2) Вычислите площадь сечения, если все ребра тетраэдра имеют длину а, причем ÷СМ÷ : ÷MN÷ = 1, где NÎ[АВ].

6. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1 точки М и N принад­лежат соответственно ребрам АА1 и ВС, Р — внутренняя точка грани A1 B1 C1 D1 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью MNP.

7. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 плос­костью, проходящей через точки М, N, Р, где М Î [BB1] , N и Р — внутренние точки граней ВВ1С1С и А1B1 C1 D1 соответственно.

8. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1. Постройте его сече­ние плоскостью, проходящей через (BD1)и точку М, принадлежа­щую [СС1].

9. Постройте сечение параллелепипеда BCDA1 B1 C1 D1 плос­костью MNP, если точки М, N и Р — соответственно внутренние точки граней: 1) ABCD, АВВ1А1,ADD1A1 2) ABCD, A1B1C1D1, АВВ1А1.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины М, N, Р попарно скрещивающихся ребер. 2) Найдите площадь сечения, если ребро куба равно а.

11. Дан параллелепипед ABCDA1 B1C1D1;точка М принадлежит грани ABCD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью:

1) проходящей через точку М и параллельной грани АВВ1А1;

2) проходящей через точку М и параллельной (ABC1).

12. В кубе ABCDA1B1C1D1 провести сечение: 1) через ребра AD и В1С1; 2) через ребро АВ и середину ребра DD1;3) через сере­дины ребер АВ и ВС параллельно ребру ВВ1; 4) через середину ребра AA1 параллельно ребрам ВС и C1D1

13. В треугольной пирамиде SABC провести сечение через се­редину ребра АВ параллельно ребрам: 1) АС и AS; 2) BS и CS; 3) ВС и CS; 4) ВС и AS; 5) АС и ВS.

Самостоятельные работы

С-1

I вариант

1. Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки Р, М и К, где PÎAD; MÎBD и КÎВС, причем AP=PD и DM=MB.

2. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD—квад­рат со стороной, равной 8 см, остальные грани — прямоуголь­ники. Боковое ребро равно 3 см. Е — середина А1В1. Построй­те сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через АС и точку Е, и найдите периметр сечения.

II вариант

1.В тетраэдре DABC DA=DC=13, AС=10, E - середина ВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку Е параллельно плоскости ADC, и найдите площадь сечения.

2.В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 PÎA1D1 и КÎВ1С1. Пост­ройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р и К и параллельной АА1.

III вариант

1. В тетраэдре DAВС точка М — середина AD, PÎDC и DP:PC = 1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и Р и параллельно ВС. Найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.

2. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1 B1C1D1 плос­костью, проходящей через точки М, Р и Е, где МÎВ1C1, PÎCC1 и EÎAB

С-2

I вариант

1. Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плос­костях и имеют общую сторону AD. Прямая m, параллельная ВС, пересекает плоскости ABE и DCF соответственно в точках Н и Р. Докажите, что HPFE — параллелограмм.

2. Плоскости а и b параллельны, а||а1, (рис. 53). Прямая а пересекает плоскости а и b соответственно в точках А и В, а пря мая а1 пересекает плоскость а в точке А1. Постройте точку пере­сечения а1 с плоскостью b. Поясните.

3. В тетраэдре DABC ÐDBA = ÐDBC= 90°, DB=6, AB=ВС = 8, AС= 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, про­ходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения.

II вариант

1. Вне плоскости а расположен треугольник ABC, у которого медианы АА1 и ВВ1 параллельны плоскости ее. Через вершины В и С треугольника проведены параллельные прямые, которые пе­ресекают плоскость а соответственно в точках Е и F. Докажи­те, что ECBF — параллелограмм.

2. Плоскости а и b параллельны (рис. 55). Прямая а пере­секает плоскости а и b соответственно в точках А и В, а прямая b — в точках С и D, Найдите взаимное положение прямых а и b. Поясните.

3. Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 квадраты со стороной а. Через середину ребра AD параллельно плоскости DA1B1 проведена плоскость. Найдите периметр сечения.

Математический диктант

I вариант

1. В каком случае три точки в пространстве не определяют по­ложение плоскости, проходящей через эти точки?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку?

3. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводят­ся прямые, пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости?

4. Каково взаимное положение прямых (рис. 61):

1) AD1 и MN; 2) AD1 и ВС1 3) MN и DC?

5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b пересекаться?

6. Прямая а параллельна плоскости а. Существуют ли на плос­кости а прямые, не параллельные а? Если да, то каково их взаимное положение?

7. Прямые тип пересекаются в точке М (рис. 62), АÎт, ВÎп, b лежит в плоскости а, а||b. Каково взаимное положение пря­мых b и c?

8. Даны треугольник AВС и плоскость а, АВ||а, АС||а. Каково взаимное положение прямой ВС и плоскости а?

9. Плоскости а и b параллельны (рис. 63). Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскости а в точках А и С, а b — в точках В и D, AM:AB=2:3 Найдите отношение MC:MD

10. Плоскость а пересекает только боковые ребра параллелепи­педа. Определите вид сечения.

II вариант

1. Что можно сказать о взаимном положении двух плоскостей, имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

3. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не прохо­дящая через точку М, пересекает прямые а и b. Лежат ли все эти прямые в одной плоскости?

4. Каково взаимное положение прямых (рис. 64): 1) A1D и MN; 2) A1D и В1С; 3) MN и A1В1?

5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

6. Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то каково их взаимное положение?

7. Прямые m и n параллельны (рис. 65). Точки A и В соответ­ственно принадлежат прямым m и п; b лежит в плоскости а, а||b. Каково взаимное положение прямых b и с?

8. Даны четырехугольник ABCD и плоскость а. Его диагона­ли АС и BD параллельны плоскости а. Каково взаимное по­ложение АВ и плоскости а?

9. Плоскости а и b параллельны (рис. 66). Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскость а соответ­ственно в точках В и A, а плоскость b — в точках Е и F, EM:MF=2:5. Найдите отношение MB:MA

10. Плоскость а проходит через диагональ основания параллеле­пипеда и середину одной из сторон верхнего основания. Оп­ределите вид сечения.

Тест

I вариант

1. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Выберите верное утверждение:

а) прямая АВ параллельна прямой CD;

б) прямая АВ пересекает прямую CD;

в) прямая АС пересекает прямую BD;

г) прямые АС и BD — скрещиваются.

2. Сторона АВ треугольника ABC принадлежит плос­кости a, точка D, не принадлежащая прямой АВ, — проекция точки С на плоскость а. Точка Т — середи­на АВ. Выберите верное утверждение:

а) прямые СТ и АВ не пересекаются;

б) прямые СТ и АВ параллельны;

в) прямые ВТ и AD пересекаются;

г) прямые AT и BD скрещивающиеся.

З. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плос­кость а и точку С — середину этого отрезка, проведе­ны параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А1, В1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка СС1, если АА1 = 12 см, а ВВ1 = 6 см.

а) 6 см; в) √72 см;

б) 9 см; г) другой ответ.

4. Плоскость а, параллельная стороне ВС треугольни­ка АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках М и N соответственно. Найдите длину отрезка ВС, если MN равен 6 см, а АМ:МВ = 3:5.

а) 16 см; в) 12 см;

б) 4,8 см; г) другой ответ.

5.Через концы отрезка АВ и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие не­которую плоскость а в точках А1, B1 и С1 соответствен­но. Найдите длину отрезка CC1 если АА1 равен 6 см, ВВ1 равен 13 см, a АС:СВ = 2:5. Отрезок АВ не пересе­кает плоскость а.

а) 9,5 см; в) 8 см;

б) 7 см; г) другой ответ.

6.Точки М, N и Р — параллельные проекции точек А, В и D на плоскость а, причем точка D принадле­жит отрезку АВ. Найдите АВ, если: MN = 12см, NP = 8см, а BD = 14см.

а) 21 см; в) 24 см;

б) 28 см; г) другой ответ.

7. Выберите верное продолжение фразы: проекция трапеции на плоскость при параллельном проектиро­вании может быть...

а) параллелограммом или трапецией;

б) только трапецией;

в) отрезком или трапецией;

г) ромбом или трапецией.

II вариант

1. Точки A, В, С и D лежат в одной плоскости. Выбе­рите утверждение, которое не может быть верным:

а) прямая АВ параллельна прямой CD;

б) прямая АВ пересекает прямую CD;

в) прямая АС пересекает прямую BD;

г) прямые АС и BD — скрещиваются.

2. Сторона KМ треугольника КМВ принадлежит плос­кости а, точка Р, не принадлежащая прямой КМ, — проекция точки В на плоскость а. Точка N — середи­на MB. Выберите неверное утверждение:

а) прямые МР и NP пересекаются;

б) прямые MB и NP пересекаются;

в) прямые KB и NP пересекаются;

г) прямые КР и NP пересекаются.

3. Через концы отрезка MN, не пересекающего плос­кость а, и точку К — середину этого отрезка проведе­ны параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках M1, N1 и К1 соответственно. Найдите длину отрезка NN1,если ММ1 = 16 см, а КК1 = 9 см.