Математика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального колледжа

Салаватский индустриальный колледж

Математика

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

Салаватского индустриального колледжа

по специальностям:

2711 «Технология продукции общественного питания»

2902 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

2912 «Водоснабжение и водоотведение»

2004

Одобрена предметной (цикловой) комиссией физико-математических дисциплин. Председатель

Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» по специальностям: 2711 «Технология продукции общественного питания» 2902 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»,2912 «Водоснабжение и водоотведение» Заместитель директора по учебной работе ________________

Составитель:

Преподаватель салаватского индустриального колледжа _______

Рецензенты:

Преподаватель Салаватского индустриального колледжа _______

Преподаватель Салаватского педагогического колледжа _______

Содержание:

1.  Введение…………………………………………………………………….5

2.  Программа учебной дисциплины………………………………………….7

3.  Перечень практических работ……………………………………………..32

4.  Задания для контрольной работы………………………………………….33

5.  Перечень литературы……………………………………………………….39

1.Введение

В процессе изучения математики необходимо прививать навыки и умения работы с вычислительной техникой. От качества математической подготовки студентов, умения пользоваться компьютерной техникой во многом зависит успешное усвоение дисциплин общепрофессионального и специальных циклов.

Математика способствует формированию у студентов диалектико-материалестического мировоззрения, развитию умственных способностей, прививает умение точно и логически мыслить, аргументировать свои утверждения, развивает абстрактное мышление, творческое воображение, пространственные представления.

Программа учебной дисциплины «Математика» предназначена для реализации государственных требований к миниму содержания и уровню подготовки выпускников специальностей 2711; 2902; 2912. В ходе изучения дисциплины «Математика» студент должен

Иметь представление:

о роли и месте знаний по дисциплине «Математика» при изучении обще профессиональных и специальных дисциплин; о роли математики в подготовке специалистов среднего звена (применительно к данной специальности);

усвоить:

основные понятия, утверждения методы, зафиксированные в программе;

знать:

определения и формулировки теоретических факторов (теоремы, формулы, свойства);

уметь:

делать ссылки на ранее изученный материал; проводить несложные дедуктивные и индуктивные рассуждения; формулировать на математическом языке несложные задачи прикладного характера; самостоятельно изучать материал по учебникам; электронным учебникам; кратким курсам лекций; пользоваться справочной литературой; применять символику.

В содержании учебной дисциплины по каждой теме приведены требования к формируемым представлениям, знаниям и умениям.

Усвоение программного материала дисциплины складывается из:

а) самостоятельного изучения учебного материала по рекомендуемой литературе;

б) выполнения одной домашней контрольной работы;

в) выполнения практических работ.

Учебный процесс преподавания данной дисциплины включает: консультативные занятия, лекционные занятия, практические занятия, самостоятельное выполнение контрольной работы.

Основным методом изучения программного материала является самостоятельная работа студента по рекомендуемой литературе в соответствии с методическими указаниями.

Для закрепления теоретических знаний и приобретения необходимых умений программной дисциплины предусматриваются практические работы, которые следует проводить после изучения соответствующей темы.

Контрольная работа выполняется по выданным (в соответствии с вариантом) вопросам, в тетради с титульным листом, с полями, для заметок преподавателя, чёрной пастой. В конце контрольной работы указывается список используемой литературы, государственных стандартов. Выполняемая работа должна содержать конкретные, полные ответы. Особое внимание уделить не только содержанию ответов, но и чётному, разборчивому подчерку. Текст работы пишется через строчку, сокращение терминов использовать только в соответствии с ГОСТ.2.316.

Каждый вопрос, задачу начинать писать с новой страницы. Текст вопроса или условия задачи переписывать полностью.

Решать задачи и примеры контрольной работы, руководствуясь приведёнными примерами. Обязательно проставлять единицы измерения.

Выполненная работа сдаётся в методический кабинет заочного отделения методисту, где делается отметка о сдаче контрольной работы и передаётся преподавателю на рецензирование.

Если в контрольной работе есть замечания, то она возвращается студенту, через методиста, на доработку с указанием замечаний, которые необходимо устранить и вернуть на повторную проверку.

Контрольная работа не зачитывается, если:

нет ответа на один из вопросов;

ответы на вопросы (вопрос) даны не из своего варианта;

неполные ответы или много ошибок, и тогда студент выполняет работу заново с учётом всех замечаний.

В период экзаменационной сессии будут прочитаны обзорные лекции по наиболее важным темам, выполнены практические работы.

Для успешного усвоения данной дисциплины студент-заочник должен уметь самостоятельно изучать учебную литературу, уметь пользоваться справочной литературой.

После изучения полного курса и при получении зачётов по контрольной работе и практическим работам студент-заочник допускается к сдаче экзамена.

Литература записывается по образцу:

1.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. I: Учебное пособие для вузов, - 5-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 19с.: ил.

2.Программа учебной дисциплины.

Тематический план дисциплины

«Математика»

Наименование разделов и тем	Количество аудиторных часов при очной форме
Всего	Прак. раб.
Введение Раздел 1. Математический анализ. Тема 1.1. Теория пределов. Тема 1.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. Тема 1.3. Дифференциальные уравнения. Раздел 2. Основы теории вероятностей и математической статистики. Тема 2.1. Основные понятия комбинаторики. Бином Ньютона. Тема 2.2. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Тема 2.3. Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины. Тема 2.4. Элементы математической статистики. Всего по дисциплине	2 32 6 16 10 20 8 4 2 6 54	2 6 4 4 2 2 20

Содержание учебной дисциплины

«Математика»

Введение

Студент должен:

иметь представление:

-  о содержании дисциплины «Математика»;

-  о месте и роли математики в современном мире;

знать:

-  назначение, содержание дисциплины;

-  основные определения и понятия;

уметь:

проанализировать возможность применения математики как прикладной в

общепрофессиональной деятельности.

Математика и научно-технический прогресс. Роль математики в подготовке специалистов среднего звена.

Методические указания

Приступая к изучению темы, необходимо знать содержание и задачи дисциплины, связь с другими дисциплинами.

Данная дисциплина относится к общеобразовательным.

Раздел 1 Математический анализ.

Тема 1.1. Теория пределов.

Студент должен:

знать: определения функции и последовательности, предела последовательности и функции; непрерывности функции в точке и на промежутке; формулировки свойств предела суммы, произведения и частного последовательности и функций.

уметь: вычислять простые пределы последовательности и функций; определять точки разрыва и характер разрыва.

Функция. Числовая последовательность. Предел последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности. Теоремы предела последовательности и функции. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Практическое занятие.

Вычисление предела последовательности и функции.

Методические указания

Изучение темы следует начать с расширения и углубления знаний о функциях.

При введении понятий предела и непрерывности функций необходимо широко использовать наглядно-описательные представления и графики.

Числовая функция заданная на множестве натуральных чисел или множестве n первых натуральных чисел называется числовой последовательностью.

Число а называется пределом последовательности (хn), если для любого положительного числа Е найдётся такое натуральное число N, что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство | xn-a | < E.

Теоремы о пределах последовательности:

1.

2.

3.

4. с-постоянный множитель.

5. Последовательность (аn) называется бесконечно малой, если .

Примеры. Найти предел

1) 2)

Решение

1) числитель и знаменатель делим почленно

на n с наибольшим показателем, т. е. на n2

2)

Число b называется пределом функции f(x) при ха, если для любого положительного числа Е найдётся такое положительное число , что при всех ха, удовлетворяющих неравенству | x-a | < , справедливо неравенство | f(x)-b | < E. При этом употребляют запись

Теоремы о пределах суммы, произведения и частного.

Если при ха существуют пределы f(x) и g(x), то

1)

2)

3) где

4) k-постоянный множитель.

Из этих теорем вытекает, что предел многочлена Р(х) при хх0 равен Р(х0), т. е.

Примеры. Найти предел функции.

1) 2)

3)

Решение

1) Т. к. а то

2) Т. к. - многочлен, то

3) при х=-3 и числитель, и знаменатель обращаются в нуль; поэтому теоремой о пределе частного пользоваться нельзя. Упростим дробь

Вопросы для самопроверки

1.  Что называется: функцией, последовательностью, пределом функции и последовательности?

2.  Какая функция называется непрерывной в точке?

3.  Сформулировать теоремы предела последовательности и функции.

4.  Какая функция называется бесконечно большой?

5.  Какая функция называется бесконечно малой?

6.  Какие неопределённости имеют место при вычислении предела?

Литература [1; 2; 4]

Тема 1.2. Дифференциальное исчисление.

Студент должен:

иметь представление:

-  о производных элементарных и сложных функций;

-  о производных и дифференциалах высших порядков.

знать:

-  определение производной функции;

-  определение дифференциала функции;

-  геометрический и физический смысл производной;

-  правила дифференцирования;

-  определение точек экстремума;

-  определение монотонности функции;

-  формулы производных основных элементарных функций;

уметь:

-  находить производную данной функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования;

-  находить значения производной функции в указанной точке;

-  применять производную при решении различных задач;

-  находить производные второго порядка.

Производная, её геометрический и физический смысл. Производные линейной, степенной, логарифмической, показательной, тригонометрических и обратно тригонометрических функций; суммы, произведения и частного двух функций.

Правило дифференцирования сложной функции.

Вторая производная сложной функции.

Наименьшее и наибольшее значения функции.

Монотонность и экстремум функции. Интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Применение производной к исследованию функции, решению задач.

Методические указания

Дана функция y=f(x);

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения Df(x) функции в точке х0 к приращению аргумента Dх, если Dх0 и предел существует.

(читается: эф штрих от х0).

Если функция y=f(x) имеет в точке х0 производную, то эта функция называется дифференцируемой в точке х0.

Нахождение производной f’(x) от данной функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Таблица производной функций:

1.  (с)’=0; с-const; с0

2.  (kx+b)’=k - производная линейной функции.

3.  - производная суммы функций.

4.  - производная произведения двух функций.

5.  - производная частного двух функций.

6.  - производная степенной функции.

7. - производная показательной функции.

8. - производная логарифмической функции

х>0

9.

10.

11.

12.

13.

14. Производная от сложной функции h(x)=g(f(x)) находится по формуле

Примеры. Найти производные функций

1)

2)

3)

4)

Решение

1)

2)

3)

4)

Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремум. Найти интервалы

выпуклости и точки перегиба графика функции.

y=-x3+3x2-2

Решение

Находим область определения функции:

Д(у(х))=(-)

Находим первую производную: у’=-3х2+6х

y’=0-3x2+6x=0

x2-2x=0x(x-2)=0

x=0 или x-2=0

x=2

x=0; x=2 – критические точки 1-ого рода.

Исследуем знак первой производной, на полученных интервалах.

у’(-1)=-3(-1)2+6(-1)=-9; у’(1)=-3*12+6=3

у’(3)=-3*32+6*3=-27+18=-9

На (-;0)(2;+) – функция убывает,

(0;2) – функция возрастает.

Находим точки экстремума

у(0)=-03+3*02_2=-2(0;-2) – точка min

у(2)= -23+3*22-2=-8+12-2=2(2;2) – точка max.

Находим вторую производную:

у’=-3х2+6х;

y’’=(-3x2)’+(6x)’=-6x+6

y’’=0-6x=6=0

x=1 – критическая точка 2-ого порядка

На полученных интервалах исследуем знак второй производной.

y’’(0)=-6*0+6=6; y’’(2)=-6*2=6=-6

На (-;1) – график функции обращён выпуклостью вниз.

(1;+) – график функции обращён выпуклостью вверх

х=1; у(1)=-13+3*12-2=0(1;0) – точка перегиба

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции, если

x[-3;0]

Решение.

Д(у(х))=R.

у’=0х2+6х+5=0;

х1=-5; х2=-1.

х=-5; х=-1 – критические точки 1-ого порядка

Т. к. -5[-3;0], то в точке –5 значение функции не находим.

Т. к. -1[-3;0], то у(-1)=-+3-5=-2;

Находим значения функции на концах отрезка

у(-3)= (-27)+3*9-15=-9+27-15=3

у(0)= *0+3*0+5*0=0

Из чисел 0; 3 и -2 выбираем наименьшее и наибольшее.

Литература [2; 3; 4]

Вопросы для самопроверки

1.  Что называется производной функции?

2.  Что называется дифференциалом функции?

3.  В чём состоит геометрический смысл производной?

4.  В чём состоит физический смысл производной?

5.  Какие точки называются точками минимума и максимума?

6.  Какие интервалы называются интервалами выпуклости графика функции?

7.  Что называется точкой перегиба графика функции?

8.  Какие точки называются критическими?

9.  Как следует понимать наибольшее и наименьшее значения функции?

Тема 1.3. Интегральное исчисление.

Студент должен:

иметь представление:

-  о интегральном исчислении;

-  о применении интегрального исчисления при решении геометрических, физических, технических задачах.

знать:

-  определения неопределённого и определённого интегралов;

-  свойства интегралов;

-  основные методы интегрирования;

-  формулу Ньютона-Лейбница;

-  геометрический смысл определённого интеграла.

уметь:

-  находить неопределённые интегралы, сводящиеся к табличным, с помощью основных свойств и простых преобразований;

-  вычислять определённый интеграл с помощью основных его свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

-  находить площади криволинейных трапеций.

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Нахождение неопределённого интеграла. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Методические указания

Функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на [a;b], если в любой точке [a;b] её производная равна f(x):

F’(x)=f(x)dF(x)=f(x)*dx; x[a;b]

Отыскание первообразной функции по заданной её производной f(x) или по дифференциалу f(x)*dx есть действие обратное дифференцированию-интегрирование. Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)*dx называется неопределённым интегралом и обозначается символом .

или d(F(x)+c)=f(x)*dx, где

f(x) – подинтегральная функция;

f(x)*dx – подинтегральное выражение;

с – произвольная постоянная неопределённого интеграла.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1)

2)

3)

4) где k – cost;

k0

Таблица неопределённых интегралов

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20) - интегрирование по частям.

Способы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Случаи:

1)  данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2)  данный интеграл приводится к табличному при помощи свойств или алгебраических преобразований.

Примеры. Найти интегралы

1) 2)

3) 4)

Решение:

1)

2)

3)

4)

Метод подстановки.

Примеры. Найти интегралы

1) 2)

3)

Решение:

1)

2)

3)

Определённым интегралом от функции f(x) на [a;b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Примеры. Вычислить

1) 2)

Решение:

1)

2)

Вычисление площади плоской фигуры.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) у=f(x); f(x)0; y=0; x=a; x=b.

2) y=f(x); f(x)0; y=0; x=a; x=b

 

3) y=f(x); y=g(x); x=a; x=b

Примеры. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1) у=-х2+4; у=0

Решение

у=-х2+4 – график-парабола, ветви вниз, (0;4) – вершина;

у=0 – график ось 0х.

Ответ: Sф.=10ед2

2) у=х2; у=-3х

Решение

у=х2 – график-парабола, ветви вверх, (0;0)-вершина.

у=-3х – график-прямая

х1=0; у1=0

х2=1; у2=-3

Найдём точки пересечения графиков функций: у=х2 х2=-3х

у=-3х х2+3х=0

х(х+3)=0 х=0 или х=-3

Ответ: Sф.=4,5ед2.

Вопросы для самопроверки:

1.  Что называется интегрированием?

2.  Что называется первообразной?

3.  Что называется неопределённым интегралом?

4.  Каким действием можно проверить интегрирование?

5.  Что называется определённым интегралом?

6.  Перечислить свойства определённого и неопределённого интегралов.

7.  Геометрический смысл определённого интеграла.

8.  Формулы для нахождения площадей плоских фигур при помощи определённого интеграла.

9.  Формула для нахождения пути, пройденного телом.

Литература [1; 2; 4]

Тема 1.4. Дифференциальные уравнения.

Студент должен:

иметь представление:

о дифференциальных уравнениях первого и второго порядков.

знать:

-  определение дифференциального уравнения;

-  постановку задачи Коши для дифференциальных уравнений первого и второго порядков;

уметь:

-  решать простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x) (с разделяющимися переменными, однородные, линейные);

-  решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;

-  находить общее и частное решение дифференциальных уравнений (задача Коши).

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и линейные.

Дифференциальные уравнения второго порядка: линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Задача Коши.

Методические указания

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию у и её производные или дифференциалы.

F(x; y; y’)=0; F(x; y; y’,…,y(n))=0.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядковым дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Виды дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(*) где р и g – постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (*) составляется характеристическое уравнение k2+pk+g=0, которое получается из (*) заменой на соответствующие степени k, сама функция заменяется 1.

Общее решение уравнения (*) строится в зависимости от корней k1 и k2 характеристического уравнения.

k2+pk+g=0

1)  Д>0, то k1 k2 и

- общее решение

2)  Д=0, то k1=k2 и

- общее решение

3) Д<0, то k1 и k2 – комплексно-сопряжённые, т. е. k1=a+bi; k2=a-bi и тогда

- общее решение.

Вопросы для самопроверки

1.  Что называется дифференциальным уравнением?

2.  Что называется порядком дифференциального уравнения?

3.  Что называется общим решением дифференциального уравнения?

4.  Что называется частным решением дифференциального уравнения?

5.  Перечислить виды дифференциальных уравнений первого порядка?

Литература [1; 2; 4]

Раздел 2. Основы теории вероятностей и

математической статистики.

Тема 2.1. Основные понятия комбинаторики.

Бином Ньютона.

Студент должен:

иметь представление:

-  о элементах комбинаторики; перестановки, размещения, сочетания;

-  о биноме Ньютона;

знать:

-  определение размещения;

-  определение перестановок;

-  определение сочетания;

-  формулу бинома Ньютона и его свойства.

уметь:

-  вычислять перестановки, размещения, сочетания;

-  находить разложение бинома Ньютона;

-  применять свойства бинома при решении примеров;

-  решать комбинаторные уравнения и задачи.

Основные понятия комбинаторики, бином Ньютона и его свойства. Решение комбинаторных уравнений и задач.

Методические указания

Элементы комбинаторики.

Задачи, в которых производится подсчёт всех возможных различных комбинаций, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу называется комбинаторными. Раздел математики, занимающийся их решением называется комбинаторикой.

 

n!=1*2*3*4*…*n; nN (N-натуральные числа)

2!=1*2=2; 3!=1*2*3=6;

0!=1; 1!=1.

Примеры. Вычислить

1) 2)

Решение:

1)

2)

1.Перестановки. Всякий установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов. Pn=n!

2.Упорядоченные множества и размещения. Множество, в котором задан порядок расположения его элементов, называется упорядоченным. Пусть дано конечное множество, состоящее из n элементов. Всякое его упорядоченное m-элементное подмножество (mn) называется размещением из n элементов по m.

nm

Если n=m, то

3.Сочетания. Пусть дано конечное множество, состоящее из n элементов. Всякое его m-элементное подмножество (mn) называется сочетанием из n элементов по m.

nm

Примеры.

1.Упростить:

Решение:

2.Вычислить:

Решение:

Натуральная степень бинома.

(формула Ньютона)

n – любое натуральное число

Коэффициенты - биномиальные коэффициенты.

Основные следствия из формулы Ньютона:

1.  В разложении n-ой степени бинома содержится (n+1) слагаемое.

2.  Разложение бинома – однородный многочлен относительно а и b, т. е. все слагаемые разложения имеют одну и ту же степень n относительно а и b. При этом показатели а последовательно убывают от n до 0, а показатели в последовательно возрастают от 0 до n.

3.  Коэффициенты разложения составляются по следующему закону:

4.  Общий член разложения вычисляется по формуле

5.  Биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от концов разложения, равны между собой.

6.  Если показатель степени бинома чётный, то биномиальный коэффициент среднего слагаемого разложения наибольший; если же показатель степени бинома нечётный, то в разложении имеются два средних слагаемых с одинаковым наибольшим коэффициентом.

7.  сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n, где n – показатель бинома.

Примеры.

1.Записать разложение бинома (3а2-2b)5

Решение:

2.Найти 7-ой член разложения

Решение:

Ответ:

3.В разложении найти член, не зависящий от х.

2k-8=0

k=4

Ответ:

Вопросы для самопроверки:

1.  Что называется перестановками?

2.  Какое принято обозначение перестановок из n – элементов?

3.  Как обозначается произведение n – первых натуральных чисел?

4.  Как в комбинаторике называются конечные упорядоченные множества?

5.  Как обозначается число размещений из х по у?

6.  Как обозначается число сочетаний из х по у?

7.  При каких значениях n верна формула Ньютона?

8.  Напишите формулу общего члена разложения бинома.

9.  Сколько содержится слагаемых в разложении по формуле Ньютона:

а) (a+b)6; б) (x-y)3; в) (x-y)k?

10.  Выпишите все биномиальные коэффициенты формулы Ньютона.

Литература [1;2]

Тема 2.2. Теория вероятностей и математическая

статистика.

Студент должен:

иметь представление:

-  о случайных событиях и их вероятности;

-  о функциях распределения случайных величин;

-  о задачах математической статистики.

знать:

-  определение вероятности событий;

-  определения видов событий;

-  определения операций над событиями;

-  формулировки теорем сложения и умножения вероятностей;

-  виды случайных величин;

-  способы задания случайной величины;

-  определения дискретной и непрерывной случайной величины;

-  закон распределения вероятностей дискретной случайной величины;

-  задачи математической статистики.

уметь:

-  оценить по относительной частоте события вероятность его появления или не появления;

-  находить вероятность события, пользуясь классическим определением вероятности и простейшими комбинаторными схемами;

-  вычислять вероятности суммы несовместных событий, произведения независимых событий;

-  строить ряд распределения;

-  находить функцию распределения случайной величины;

-  решать простейшие задачи.

Опыт. События. Виды событий. Случайные события. Виды случайных событий. Относительная частота появления события. Классическое определение вероятности события.

Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Противоположные события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Случайная величина. Функция распределения случайных величин.

Задачи математической статистики. Функции выборки. Некоторые важнейшие распределения. Случайная выборка, понятие генеральной совокупности.

Методические указания

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытанием). Всякий исход или результат испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие непременно должно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, -

невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из них не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т. е.

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т. е. 0Р(А) 1. Невозможному событию соответствует вероятность Р(А)=0, а достоверному – вероятность Р(А)=1.

Задача. Среди 1000 новорождённых оказалось 512 мальчиков. Найти вероятность

рождения девочки.

Решение:

m – число родившихся девочек

m==488

n – число всех новорождённых (n=1000)

Событие А – родилась девочка.

или Р(А)=48,8%

Ответ: Р(А)=48,8%.

Задача. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 чёрных шара, вынимают один шар.

Найти вероятность того, что шар окажется чёрным.

Решение. Событие А – появление чёрного шара. Общее число случаев n=5+3=8. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, равно 3. Получим

или Р(А)=37,5%

Ответ: Р(А)=37,5%.

Теорема сложения вероятностей несовместных

событий.

Вероятность одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Пример. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причём пять из них стандартные. Рабочий берёт наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А).

Решение:

1)  По крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдёт любое из трёх несовместных событий: В – одна деталь стандартная, две нестандартные; С – две детали стандартные, одна нестандартная и Д – три детали стандартные.

Событие А можно представить в виде суммы этих трёх событий: А=В+С+Д.

Р(А)=Р(А)+Р(С)+Р(Д). Находим вероятность каждого из этих событий:

2) Событие А (хотя бы одна из трёх взятых деталей оказалась стандартной) и (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположными; поэтому Р(А)+Р()=1Р(А)=1-Р().

тогда

или Р(А)60,1%.

Ответ: Р(А)60,1%.

Теорема сложения вероятностей совместных

событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Задача. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется

кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратное 3, а В – в том, что оно кратно 5. Найдём Р(А+В). Т. к. АиВ – совместные события, то

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Всего 90 двузначных чисел: 10; 11;…; 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события А); 18 кратными 5 (благоприятствуют наступлению события В) и 6 – кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события АВ).

т. е.

или

Ответ:

Теорема умножения вероятностей независимых

событий.

Вероятность совместного появления (или произведения) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Задача. В одной урне находятся 4 белых и 8 чёрных шаров, а в другой – 3 белых и 9

чёрных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба

шара окажутся белыми.

Решение:

Событие А – появление белого шара из первой урны.

Событие В – появление белого шара из второй урны.

События А и В независимы.

или

Ответ: .

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления (или произведения) двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго при условии первого:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)* Р(А/В)

Задача. В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берёт

наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали

окажутся стандартными.

Решение:

Событие А – первая взятая деталь стандартная;

Событие В – вторая взятая деталь стандартная.

Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь

тогда

Ответ: Р(А*В)0,424.

Задачи математической статистики:

1.Указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статических сведений.

2.Разработать методы анализа статических данных в зависимости от целей исследования.

Изучение тех или иных явлений методами математической статистики служит средством решения многих вопросов, выдвигаемых наукой и практикой (правильная организация технологического процесса, наиболее целесообразное планирование и др.)

Итак, основная задача математической статистики в создании методов сбора и обработки статических данных для получения научных и практических выводов.

Генеральная и выборочная совокупности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборкой с возвращением называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Выборкой без возвращения называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

На практике применяют различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1)  Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части, к нему относятся:

а) простой случайный бесповторный отбор;

б) простой случайный повторный отбор.

2) Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части, к нему относятся:

а) типический отбор;

б) механический отбор;

в) серийный отбор.

Вопросы для самопроверки:

1.  Какие события называются совместными?

2.  Какие события называются противоположными?

3.  Дайте классическое определение вероятности.

4.  Сформулировать теоремы сложения вероятностей: а) несовместных событий;

б) совместных событий.

5.  Чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий?

6.  Что называется условной вероятностью события?

7.  Сформулировать теоремы умножения вероятностей: а) независимых событий;

б) зависимых событий.

8.  В чём заключается задача математической статистики?

9.  Что называется выборкой?

10.  Дайте определение генеральной совокупности и объёма совокупности.

11.  Как различаются выборка с возращением и выборка без возвращения?

12.  Охарактеризуйте возможные способы выбора.

Литература [1; 3; 5]

3.Перечень практических работ

№ темы	Названия практических работ
1.1. 1.2. 1.2. 1.3. 1.4. 1.4. 2.1. 2.1. 2.2. 2.3.	Пределы последовательности и функций. Производная и её приложения. Исследовать функцию и построить график. Интеграл и его приложения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия комбинаторики. Бином Ньютона и его свойства. Теория вероятностей. Элементы математической статистики.

4.Задания для контрольной работы.

Таблица выбора вариантов контрольной работы

по дисциплине «Математика».

Выбор номеров вопросов определяется буквами фамилии, имени и отчества студента, которые записываются в виде таблички, где буква в Ф. И.О. определяет строку вариантов, а порядковый номер буквы Ф. И.О. укажет номер вопроса в данной строке (номер столбца).

О.	Номера вопросов
1	2	3	4	5	6
А, Б, В Г, Д, Е Ё, Ж, З, Ь И, Й, К Л, М, Н О, П, Р, Ы С, Т, У Ф, Х, Ц Щ, Ч, Ш Я, Э, Ю, Ы	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	41 42 43 44 45 46 47 48 49 50	51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

И	В	А	Н	О	В	А	Р	Т	Ё	М
4	11	21	35	46	51

Ц	Ы	П	Л	И	Н	А	Е	Л	Е	Н	А
8	16	26	35	44	55

Задания к контрольной работе.

1.Теория пределов.

Вычислить пределы:

1.  а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

2.Производная и её приложения.

11.

11.1.Найти производные функций:

а) б)

11.2.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

12.

12.1.Найти производные функций:

а) б)

12.2.Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

13.

13.1.Найти производные функций:

а) б)

13.2.Исследовать функцию на монотонность

у=х3-3х2

14.

14.1.Найти производные функций:

а) у=х2*Lnx; б) y=Lntgx

14.2.Исследовать функцию на экстремум

у=х3-12х2

15.

15.1.Найти производные функций:

а) y=arcsin x + arсcos x; б) y=e2x+4

15.2.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

y=x2-2x+5; x[-2;2]

16.

16.1.Найти производные функций:

а) б)

16.2.Исследовать функцию на монотонность:

у=х2-2х+5

17.

17.1Найти производные функций:

а) у=Cos x+Sin x; б) y=Ln(3-2x)

17.2.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

у=х3-3х2

18.

18.1.Найти производные функций:

а) б)

18.2.Исследовать функцию на монотонность:

у=х3-3х

19.

19.1.Найти производные функций:

а) б)

19.2.Исследовать функцию на экстремум:

у=х3-3х

20.

20.1.Найти производные функций:

а) б)

20.2.Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

y=-x2+2x+5 x[-2;2]

3.Неопределённый интеграл.

Найти интегралы:

21. а) б)

22. а) б)

23. а) б)

24. а) б)

25. а) б)

26. а) б)

27. а) б)

28. а) б)

29. а) б)

30. а) б)

4.Дифференциальные уравнения.

Решить уравнение:

31. С разделяющимися переменными:

(x+1)*dy=(y+1)dx

32. Линейное первого порядка:

33. Однородное первого порядка:

x*dy-y*dx=y*dy

34. Однородное первого порядка:

(x+y)dx+x*dy=0

35. С разделяющимися переменными:

36. Линейное первого порядка:

37. С разделяющимися переменными:

(1+y)dx-(1-x)dy=0

38. Однородное первого порядка:

39. Линейное первого порядка:

40. С разделяющимися переменными:

(1+x)y*dx+(1-y)x*dy=0

5.Бином Ньютона. Комбинаторика.

41.  а) Вычислить:

б) Найти 7-ой член разложения бинома:

(х2-у)10

42. а) Упростить:

б) Найти средний член разложения:

(х2-у)10

43. а) Упростить:

б) Найти разложение бинома:

(х2-у)4

44. а) Вычислить:

б) Найти 9-ый член разложения:

(х2+х)14

45. а) Вычислить:

б) Найти средний член разложения:

46. а) Упростить:

б) Найти разложение бинома:

(х-х2)4

47. а) Вычислить:

б) Найти разложение бинома:

(2х-1)4

48. а) Вычислить:

б) Найти средний член разложения бинома:

(2х-1)4

49. а) Вычислить:

б) Найти сумму биномиальных коэффициентов разложения:

(х+у)10

50. а) Вычислить:

б) Найти 7-ой член разложения:

(2х+1)9

6.Теория вероятностей.

51. В урне 30 шаров: 10 красных, 8 синих и 12 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

52. Стрелок стреляет по мишени, разделённой на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт либо в первую, либо во вторую область.

53. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

54. У сборщика имеются 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

55. Среди 1000 новорождённых оказалось 512 мальчиков. Найти вероятность рождения мальчиков.

56. В урне находятся 7 белых и 5 чёрных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется чёрным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся чёрными.

57. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара – белые?

58. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара – чёрные?

59. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

60. три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

5.Перечень литературы.

Основная.

1.  , Самойленко : Учебник для ССУЗ ов – М: Дрофа, 2002.

2.  Богомолов занятия по математике – М.: Высшая школа, 2003.

3.  Пехлецкий : Учебник – М: Мастерство, 2001.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. В двух частях – М: Высшая школа, 1996.

5.  Гмурман вероятностей и математической статистики: Учебное пособие для вузов – 8-е издание, стер. – М.: Высшая школа, 2002.

Дополнительная.

1.  Филимонова : Учебное пособие для средних специальных учебных заведений – Ростов Н/Д: Феникс, 2003.

2.  Шипачев математика: Учебник для вузов – М.: Высшая школа, 2003.