К оценке вероятностных характеристик случайных процессов (стр. 1 )

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

Председатель – д. ф.-м..н.

К ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
,

Московский государственный университет прикладной биотехнологии

Многие процессы, связанные с телеизмерением и обработкой информации, например, выделение сигналов из шумов, оптимальная фильтрация, помехоустойчивость передающих устройств и т. д. требуют знания вероятностных характеристик сигналов и помех. Эти характеристики могут быть получены методами статистического оценивания параметров случайных процессов. Однако, многие из применяемых методов статистического оценивания различных характеристик сигналов имеют определенные недостатки. К их числу можно отнести следующие: наличие ошибок, обусловленных квантованием процесса на конечное число уровней; потеря информации, обусловленная дискретной выборкой; узкая полоса частот исследуемых сигналов; необходимость аппроксимации графических изображений искомых характеристик для получения их аналитических выражений и др.

В некотором смысле свободны от указанных недостатков методы оценивания вероятностных характеристик, основанные на использовании отсчетных значений характеристической функции этого процесса. Использование оценок характеристических функций целесообразно при определении статистических характеристик смесей сигналов и помех. Вместо сложных и громоздких интегралов свертки, имеющих место при определении закона распределения смеси, мы получаем произведение характеристических функций аддитивных составляющих. Как известно, с помощью характеристической функции проще находить моменты распределений, используя которые можно определить интересующие нас вероятностные характеристики случайных процессов.

С этой целью рассмотрим расчетные алгоритмы получения оценок этих моментов, основанных на отсчетных значениях характеристической функции сигнала. При этом здесь будут приведены алгоритмы только для начальных моментов, так как центральные моменты могут быть выражены через начальные.

Как известно, начальный момент распределения вероятностей случайного сигнала порядка “p” представляется соотношением [1]:

, (1)

где – плотность вероятностей случайного сигнала.

В свою очередь, плотность вероятностей случайного сигнала выражается следующим образом через одномерную характеристическую функцию того же сигнала:

, (2)

где – аргумент характеристической функции.

Очевидно, что реальные случайные сигналы имеют ограниченные мгновенные значения. Следовательно, плотность вероятностей реальных сигналов можно считать с вероятностью сколь угодно близкой к единице, заключенной в некотором конечном промежутке значений “”

(3)

Учитывая, что функция на промежутке удовлетворяет условиям Дирихле, её можно разложить на этом промежутке в сходящийся ряд Фурье. Коэффициенты разложения являются элементарными функциями оценок отсчетов характеристической функции через интервалы , равные

. (4)

Тогда в качестве оценки плотности вероятностей случайного сигнала примем выражение [3]

, (5)

где – некоторая оценка отсчетов одномерной характеристической функции, которая получается в результате измерения либо вычисления на ЭВМ по реализациям случайного сигнала [2]; – отсчетные значения аргумента характеристической функции, определяемые выбранным интервалом отсчетов и их количеством “”:

. (6)

Представив оценку в виде действительной и мнимой части, выражение (5) можно записать в виде

, (7)

где и – оценки отсчетных значений соответственно действительной и мнимой составляющих характеристической функции.

Выражение (7) можно использовать в качестве алгоритма для расчета плотности распределения вероятностей случайных сигналов с помощью вычислительных средств. При этом предварительно рассчитываются оценки и по реализациям сигналов.

В силу свойства (4) за оценки моментов распределения можно принять функционал

. (8)

Подставив (7) в соотношение (8), получим выражение для оценки начальных моментов в виде

,(9)

где – число выбранных отсчетов случайного сигнала.

Если ввести нормировку значений сигнала вида и , то оценка (7) примет вид

. (10)

Из представления (9) следует, что все четные моменты определяются только действительной, а все нечетные – только мнимой частью характеристической функции. В частности, оценки для первых двух моментов имеют вид

, (11)

. (12)

Важнейшей статистической характеристикой случайного сигнала является его корреляционная функция. Она позволяет установить схему связей всех параметров сложной системы. В связи с этим возникает задача получения оценок корреляционных функций случайных сигналов. При отсутствии специализированных корреляторов нахождение оценок корреляционных функций может быть выполнено с помощью вычислительной техники.

Получим алгоритм вычисления оценки корреляционной функции, выраженной через отсчетные значения характеристической функции.

Известно, что корреляционная функция случайного сигнала связана с двумерной плотностью вероятностей того же сигнала следующим соотношением:

. (13)

Учитывая условие (3), в качестве оценки корреляционной функции случайного сигнала примем функционал

, (14)

где – оценка двумерной плотности вероятностей сигнала , а , .

По аналогии с одномерной плотностью выразим оценку двумерной плотности вероятностей через отсчетные значения двумерной характеристической функции того же сигнала

, (15)

где и – оценки соответственно действительной и мнимой составляющих двумерной характеристической функции, вычисленные по реализациям сигналов; , – отсчетные значения характеристической функции; , – интервалы отсчетов характеристической функции.

Далее подставим (15) в соотношение (14), в результате будем иметь

. (16)

Найдем отдельно двойные интегралы:

Вычислим внутренний интеграл

.

Найдем интеграл :

.

Вычисляя аналогично второй интеграл в выражении (16), можно показать, что он равен нулю, т. е.

. (18)

Тогда с учетом (17) и (18) оценка (16) примет вид

. (19)

Оценка действительной части двумерной характеристической функции стационарного сигнала, удовлетворяющего условиям эргодичности, может быть представлена в виде

, (20)

где T – промежуток усреднения.

Дискретным аналогом оценки (20) является алгоритм

, (21)

который можно использовать для расчета на ЭВМ отсчетных значений двухмерной характеристической функции по реализациям сигналов. Нетрудно убедиться, что оценки (20) и (21) являются состоятельными и несмещенными. Оценка корреляционной функции стационарного сигнала, выраженная через оценку (20), имеет вид

. (22)

Оценка (22), являющаяся элементарной функцией оценок отсчетных значений двухмерной характеристической функции, очевидно, является состоятельной. В общем случае она при реальной усредняющей системе является смещенной. Относительная систематическая ошибка определяется характеристической функцией сигнала и её можно сделать сколь угодно малой при неограниченном увеличении числа отсчетов.

Дисперсия оценки, характеризующая её статистическую точность, равна

, (23)

где – оценка действительной части четырехмерной характеристической функции случайного сигнала.

Таким образом, полученные алгоритмы (11), (12), (23) могут быть использованы для расчета на ЭВМ математического ожидания, дисперсии корреляционной функции случайного процесса.

ЛИТЕРАТУРА

Измерение и анализ случайных процессов. – М.: Мир, 1971. Мирский определение характеристик случайных процессов. – М.: Энергия, 1972. , Шириков точности статистической оценки характеристических функций сигналов и помех. Сб. Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами. – Тула: ТПИ, 1982.

О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НА ОСНОВЕ БЕССЕТОЧНЫХ МЕТОДОВ В ЗАДАЧАХ  ПРОЧНОСТИ
,

Тульский Государственный Университет,

Московский Государственный Университет

Описываются бессеточные методы, пригодные для решения нелинейных задач теории упругости. Дается сравнение алгоритмов бессеточного метода и метода конечных элементов. Обсуждаются достоинства и недостатки применения этих методов для нелинейных задач теории упругости. Подробно рассматривается один из бессеточных алгоритмов, основанный на использовании метода Галеркина с применением аппроксимации перемещений методом наименьших квадратов. Рассматривается его использование для решения плоской задачи теории упругости [1,2].

Суть алгоритма заключается в следующем. По области и по границе произвольным образом распределяются точки, для которых будут искаться перемещения (узлы). В области и на границе распределяются «квадратурные» точки, которые используются в квадратурных формулах вычисления интегралов. Далее для всех квадратурных точек находятся значения функций формы, реализующие аппроксимацию перемещений по узлам методом наименьших квадратов. Подстановка аппроксимированных значений перемещений в выражение вариации работы приводит его к системе нелинейных (для нелинейной задачи) алгебраических уравнений, решение которой даёт перемещения в узлах. Затем с помощью найденных функций формы определяются перемещения, деформации и напряжения в квадратурных точках.

Приводятся примеры решения тестовых задач, дается их сравнение с решением задач другими методами. Обсуждается использование метода для динамических задач при отколе части тела.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Liu Giu-Rong. Mesh free methods: moving beyond the finite element method. CRC Press. New York, 2003.

Fracture and crack growth by element free Galerkin methods T. Belytschko, L. Gu, Y. Y.Lu // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. – V.2, N.3A(01). – PP.519-534, 1994 , , Копченова методы для инженеров: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1994.

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНЫХ СВОЙСТВ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ И ИХ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИИ
, ,

Тульский Государственный Университет, Тверской Государственный Университет,

Московский Государственный Университет

Рассматриваются методы и алгоритмы оценки эффективных свойств пористых материалов при конечных деформациях и их перераспределении. Определение эффективных свойств основывается на осреднении по ансамблю [3]. Данное осреднение применялось для нелинейно-упругого материала. Для вязкоупругого материала эффективные свойства определяются в течение времени деформирования тела. При разработке методов учтены результаты, полученные для нелинейно-упругого пористого материала [4,6,8,9]. Для постановки и решения задач используется аппарат теории многократного наложения больших деформаций [3,7].

Анализируются результаты решения задачи для несжимаемого вязкоупругого материала в виде модельного определяющего соотношения. Данное соотношение представляет собой «обобщение» соотношений нелинейной теории упругости. Ядром является четырехпараметрическое ядро Колтунова [2].

Конкретные расчеты проведены с использованием специализированного программного комплекса «Наложение», для которого разработан программный модуль для определения эффективных свойств (программная реализация в среде Delphi 7.0) [5,6]. Также применялся пакет символьных вычислений Mathematica 5.0. В качестве исходного материала использовались соотношения, предложенные для полидибууритана [1].

Анализируется влияние начальных данных задачи (свойства исходного материала, пористость, параметры осреднения по ансамблю) на время получения результатов, ресурсы вычислительной техники.

ЛИТЕРАТУРА

1.  , , Шардаков прикладной вязкоупругости. – Екатеринбург: УрО РАН, 20с.

2.  Колтунов и релаксация. – М.: Высшая школа, 197с.

3.  Левин наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука, Физматлит, 19с.

4.  , О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Доклады РАН, 2002. – Т. 382, № 4. – С. 482.

5.  А, , (Под редакцией ) Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. – М.: Физматлит. 20с.

6.  , , Бредихин свойства упругих материалов, содержащих поры и включения, при конечных деформациях и их наложении // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2006. – Т. 12. – Вып. 2. – С.75.

7.  , , (Под редакцией ) Избранные нелинейные задачи механики разрушения. – М.: Физматлит, 20с.

8.  Levin V. A., Lokhin V. V., Zingerman K. M. Effective elastic properties of porous materials with randomly disposed pores. Finite deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2000. Vol. 67. №4. P. 667-670.

9.  Levin V. A., Zingerman K. M. Effective constitutive equations for porous elastic materials at finite strains and superimposed finite strains // Trans. ASME. (The American Society of Mechanical Engineers). Journal of Applied Mechanics. 2003. V. 70, No. 6. р. 982-985.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ

Ошский государственный университет

Создание математических моделей реальных процессов является важным направлением современной прикладной математики. Для анализа этих моделей часто используются асимптотические методы. В настоящее время асимптотические методы имеют достаточно развитую теорию. В работе сделан анализ развития теории возмущений на примере сингулярно-возмущенного уравнения вида

(1)

при ε→+0. Здесь A(t) – квадратная матрица порядка n. Матрицу A(t) структурно можно представить в одном из следующих направлений:

I., например, .

Матрица диагонализуема, её собственные значения меньше нуля. Асимптотическое решение уравнения (1) содержит функции exp{} и ставится начальная задача. Это направление изучено в работах , ,

, , и других.

II. λk(t)=λ(t), k=1,…,n, Re λ(t)< 0, напр. ;

Матрица жордановой структуры имеет кратное собственное значение меньше нуля. Асимптотическое решение уравнения (1) содержит функцию (1/)exp{} и ставится начальная задача. Это направление изучено в работах , У. Трджинского, ,

, , и других.

III.напр.;

Матрица диагонализуема, её собственные значения – различного знака. Асимптотическое решение уравнения (1) содержит функций exp{-t/e}, exp{(t-1)/e} и ставится краевая задача. Это направление изучено в работах и и других.

IV. λ1(t) ≡λ2(t)=λ(t), Re λ(t) ≡0, например, .

Матрица жордановой структуры имеет кратное чисто мнимое собственное значение. Это направление ранее не было изучено. Начальная и краевая задачи не ставились. В данной работе впервые показано, что устойчивость краевой задачи зависит от функций вида exp{-t/Ö(e)}, exp{(t-1)/Ö(e)}, и поставлена краевая задача.

Пусть изучается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка с кратным спектром

(2)

с краевым условием

(3)

при ε→+0.

Введя обозначения из задачи (1), (2) переходим к дифференциальному уравнению

(4)

с краевым условием

, (5)

где ,

, .

Пусть выполнены следующие условия:

10. ;

20. Спектр матрицы A(t) при каждом удовлетворяет требованиям:

1) ; 2)

30. Матрица A(t) имеет собственные векторы , и присоединенные векторы , , для которых

Производные от собственных и присоединенных векторов разложим по базису: Тогда .

Потребуем, чтобы выполнялось условие

40. .

Для асимптотического интегрирования краевой задачи (4), (5) при выполнении условий введем дополнительные независимые переменные по формулам:

где пока неизвестные функции. Обозначим и вместо искомого решения y(t,ε) задачи (3), (4) будем изучать новую “расширенную” функцию такую, что

Выделим две точки и введя обозначения , для определения функции поставим следующую задачу

(6)

(7)

при ε → 0. Так как задача (6), (7) является регулярной по ε при ε→0, то естественно ее решение будем определять в виде ряда

(8)

с коэффициентами из пространства безрезонансных решений

В пространстве безрезонансных решений U зададим следующие операторы

(9)

Используем операторы (9) и расширенную задачу (6), (7) перепишем в виде

. (10)

Степенной ряд (9) подставим в задачу (11) и получим следующие итерационные задачи для определения коэффициентов ряда (9):

(11)

(12)

(13)

Для задач (11)-(13) доказаны теоремы о нормальной и об однозначной разрешимости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев интегрирование краевой задачи с кратным чисто мнимым спектром // Сб. научн. тр. – М.: МЭИ. № 000. – С.30-34, 1987.

2. Джураев интегрирование сингулярно возмущенных задач с кратным спектром. Ош, 1999.

3. Dzhuraev A. M. A problem with a multiple pure imaginary spectrum // Ist Turkish world mathematics symposium. Elazig: Firat University. – Р. 124, 1999.

9. Джураев задача для систем двух сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений с кратным чисто мнимым спектром // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. № 3 (36). – С. 34-42, 2005.

ОБ ОДНОМ НОВОМ КЛАССЕ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ МАТРИЦ
В.

Московский институт энергобезопасности и энергосбережения

Имеется оператор:

,

,

.

Рассмотрим оператор

,

.

Тогда его ядро

,

где .

Аппроксимируем непрерывное ядро матрицей, используя простейшее разбиение отрезка [0,1]:

, ; , , , .

В этом случае элементы матрицы :

,

где .

Для упрощения умножим все элементы матрицы на , что не изменит ее основных свойств:

, матрица (n+1)-го порядка.

Рассмотрим структуру матрицы :

Первая и последняя строка, а также первый и последний столбец матрицы нулевые, т. к. K(0,j) = K(n,j) = K(i,0) = K(i,n) = 0, все остальные элементы отрицательные.

Элементы справа от главной диагонали (включая саму диагональ) вычисляются по формуле , т. к. в этой области , значит, они возрастают по модулю по строкам и столбцам от краев к главной диагонали (показано стрелками).

Элементы под главной диагональю () вычисляются по формуле .

Построим матрицу К* для некоторых значений n:

n = 4 :

,

n = 5 :

.

Легко заметить, что эти матрицы симметричны относительно побочной диагонали, т. е. , что проверяется подстановкой.

Справедливо и более общее утверждение о симметричности ядра: . Действительно:

.

Для дальнейшего исследования упростим матрицу К*. Уберём окаймляющие нули (матрица станет (n–1)-го порядка) и умножим на –1 (элементы матрицы станут положительными). Новую матрицу назовем – матрица (n–1)-го порядка.

, , .

.

Разделим все строки матрицы на , а столбцы – на , получим матрицу М: . Элементы матрицы вычисляются по формуле:

,

.

Это матрица (n–1)-го порядка.

Например:

, , :

, , :

Заметим, что помимо симметрии относительно побочной диагонали, в этой матрице наблюдается еще одно замечательное свойство: её элементы под главной диагональю возрастают при приближении к главной диагонали, т. е.