Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях (стр. 2 )

Рис. 1.6. Скорость нарастания тока в катушке

Из уравнения и графика изменения тока в катушке следует, что в момент включения свободный ток в катушке iсв(0)=-I равен по величине и противоположен по знаку принужденному току iпр(0)=I. Поэтому действительный ток в катушке отсутствует (i(0)=0). По окончании переходного процесса свободный ток уменьшается до нуля и действительный ток становится равным принужденному.

Значения тока в катушке, выраженные в процентах от принужденного, для различных моментов времени приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Результаты расчетов

t	0	1	2	3	4	5	6
[i (t)/I] 100 %	0	63,2	86,5	95	98,2	99,3	100

Скорость нарастания тока в катушке определяется величиной постоянной времени цепи =L/R, которая равна длине подкасательной, построенной для любой точки кривой тока i(t). Для точки t=0 постоянная времени изображается отрезком ВС. В результате изменения тока в катушке наводится эдс самоиндукции.

В момент включения ЭДС самоиндукции равна и противоположно направлена приложенному напряжению eL(0)=-U.

(8)

Последнее как раз и объясняет отсутствие тока в катушке в момент включения. В последующем по мере уменьшения ЭДС самоиндукции в соответствии с уравнением (8) увеличивается разность между напряжением источника U и ЭДС самоиндукции eL. Это сопровождается увеличением тока в цепи.

Напряжение на сопротивлении цепи:

в момент включения катушки напряжение равное нулю иа(0) =0, постепенно увеличивается и по окончании переходного процесса достигает величины напряжения источника ипр = U.

На практике рассмотренный переходный процесс имеет место при включении двигателей постоянного тока, в соленоидах приводов масляных выключателей, при измерении сопротивлений постоянному току обмоток электрических машин и трансформаторов.

1.1.3 Переходные процессы в неразветвленных электрических цепях с сопротивлением и емкостью

Общий анализ переходного процесса в цепи r, С

Будем полагать, что цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротивления r и емкости С, подключается к источнику с эдс e(t), Переходный процесс в цепи после подключения ее к источнику описывается уравнением:

(9)

Это уравнение удобно записать относительно напряжения на емкости , так как емкость дает независимое начальное условие. Имеем в виду, что ток в цепи равен:

и подставив значение тока в уравнение (9), получим:

(10)

где, e(t) — эдс источника, в общем случае являющаяся некоторой функцией времени;

ис — действительное напряжение на емкости.

Последнее уравнение (10) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. По своей структуре оно аналогично уравнению (5), описывающему переходный процесс в цепи r, L. Поэтому и характер протекания переходных; процессов в обеих цепях одинаковый с той лишь разницей, что в цепи r, С определяется изменение на­пряжения на емкости uс, а в цепи r, L - изменение тока i.

Общее решение уравнения (10) может быть записано:

Принужденное напряжение uСпр зависит от вида приложенной эдс e(t) и параметров цепи. Поэтому определение его выполнено ниже при рассмотрении конкретных режимов работы цепи.

Свободное напряжение uСсв определяется из решения однородного линейного дифференциального уравнения:

(11)

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид:

,а корень характеристического уравнения равен:

Общее решение однородного дифференциального уравнения (11) может быть записано:

Аналогично цепи r, L зависимость свободного напряжения на емкости uСсв от времени изображается экспонентой с начальным значением, равным А, и коэффициентом затухания . Постоянная времени цепи r, С равна τ=rC. Постоянная времени цепи также измеряется в секундах.

.

Таким образом, общее решение уравнения может быть записано:

Отсюда нетрудно определить и закон изменения тока в послекоммутационной схеме во время переходного процесса:

(12)

Включение под постоянное напряжение цепи с сопротивлением и предварительно заряженным конденсатором

Предположим, что под постоянное напряжение U включается цепь с сопротивлением R и конденсатором с емкостью С, который предварительно заряжен до напряжения Uo. Это напряжение направлено навстречу внешнему, а по величине оно меньше, чем напряжение источника (U0<U).

В предшествующем режиме имеет место ненулевое начальное условие ис (0) = Uo, а принужденное напряжение на емкости после окончания переходного процесса равно напряжению источника (uCnp = U).

Переходный процесс в послекоммутационной схеме опи-­
сывается уравнением:

Общее решение его равно:

Постоянная интегрирования определяется из начального условия:

или

Окончательно закон изменения напряжения на емкости:

Ток в послекоммутационной схеме:

Графики изменения uc(i) и i(t) приведены на рис. 1.7:

Рис. 1.7. График изменения напряжения на конденсаторе и зарядного тока во времени

1.2 Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом

Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

1.2.1 Прямое и обратное преобразование Лапласа

Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

(13)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

Функция вещественного переменного оригинал определяется при помощи обратного преобразования Лапласа:

Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (13) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1.4 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1.4

Изображения типовых функций

Оригинал	А
Изображение

Некоторые свойства изображений:

1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

2.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

С использованием этих свойств и данных табл. 1.4, можно показать, например, что:

В курсе математики доказывается, что если , то , где - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать:

или при нулевых начальных условиях:

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности:

Аналогично для интеграла: если , то

.

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

Тогда:

или при нулевых начальных условиях: ,

откуда операторное сопротивление конденсатора:

1.2.2 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Закон Ома в операторной форме:

Выделим  ветвь m-n (рис. 1.8) из некоторой сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Рис. 1.8. Электрическая цепь

Для мгновенных значений переменных можно записать:

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

Отсюда:

,

(14)

где:

– операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (14) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви можно изобразить операторную схему замещения, представленную на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Операторная схема замещения

Законы Кирхгофа в операторной форме:

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю.

.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура.

.

Рис. 1.10. Электрическая схема

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде:

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 1.9 для двух случаев: 1 –; 2 –.

В первом случае в соответствии с законом Ома:

Рис. 1.11. Электрическая схема

Тогда:

и .

Во втором случае, т. е. при , для цепи на рис. 1.10 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 1.11. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

;

,

Откуда:

,

,

.

1.2.3 Переход от изображений к оригиналам:

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1.  Посредством обратного преобразования Лапласа:

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (13) и сокращенно записывается, как: .На практике этот способ применяется редко.

2.По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями:

Рис.1.12. Электрическая схема

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 1.12 можно записать:

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1.3:

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения:

Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов:

,

Где m <n.

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей:

(15)

где рк- к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов Ак умножим левую и правую части соотношения (15) на (р - рк):

.

При :.

Рассматривая полученную неопределенность типа 0/0 по правилу Лапиталя, запишем:

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем:

(16)

Соотношение (16) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т. е. , то уравнение (16) сводится к виду:

.

В заключение необходимо отметить, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения:

;

.

2. Примеры решения задач

2.1 Примеры расчета переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом

Задача 1. Цепь (рис. 2.1, а) с R1 = 10 и R2 = 25 0м; L2 = 0,2 Гн; R3 = 50 Ом; L3 = 0,1 Гн с помощью рубильника S подключается к источнику с U = = 200 В.

Определить законы изменения и построить графики токов в ветвях цепи.

Решение:

Для определения токов в ветвях цепи составляем систему уравнений Кирхгофа:

(17) (18) (19)

а)	б)
Рис. 2.1 а) электрическая схема, б) графическая зависимость тока от времени

Эти системы решаем относительно тока i2. Из уравнения (19) определяем ток i3 = i1–i2 и подставляем его в (18):

(20)

Решив уравнение (17) относительно тока i1:

(21)

находим его производную:

(22)

После подстановки уравнений (21) и (22) в (20) и дальнейшего преобразования получим:

(23)

или

(24)

Общее решение этого уравнения:

i2 = i2пр + i2св.

Принужденный ток определяется как:

i2пр=

Свободный ток i2св определяется решением однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

р2 + 775р + = 0,