МИНистерство ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА «ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ»
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Методические указания к выполнению курсовой работы
по дисциплине: «Теоретические основы электротехники»
Волгоград
2011
УДК 621.3.
Р 24
расчет переходных процессов в линейных электрических цепях: методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Теоретические основы электротехники» / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2011. – 42 с.
Содержатся теоретические положения по расчету переходных процессов в линейных электрических цепях классическим и операторным методами, приводятся типовые задачи на расчет переходных процессов.
Предназначены для студентов направления 140200 «Электроэнергетика», специальности 140211 «Электроснабжение».
Ил. 18. Табл. 6. Библ.: 5 назв.
Рецензент: к. п. н., доцент
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Ó Волгоградский
государственный
технический
университет, 2011
Содержание
Введение……………………………………………………………... | 4 | ||
1. | Теоретические положения………………………………………….. | 5 | |
1.1 | Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом………………………………... | 5 | |
1.2 | Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом………………………………… | 20 | |
2. | Примеры решения задач……………………………………………. | 30 | |
2.1 | Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом………………………………... | 30 | |
2.2 | Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом………………………………… | 34 | |
3. | Задание…………………………………………………………......... | 38 | |
Список рекомендуемой литературы……………………………….. | 41 |
Введение
Настоящие методические указания предназначены для студентов очной формы, обучающихся по направлению 140200.62 «Электроэнергетика» и специальности 140211.65 «Электроснабжение» и выполняющих курсовую работу по дисциплине «Теоретические основы электротехники» на тему «Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях». В результате выполнения данной курсовой работы студент знакомится с природой переходных процессов и основными методами анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. В данных методических указаниях более подробно рассматривается расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим и операторным методами как с помощью приведенных теоретических положений, так и с помощью конкретных примеров решения задач.
Методические указания содержат задание на курсовую работу, включающее в себя расчет классическим и операторным методами линейной разветвленной электрической цепи, содержащей в общем виде сопротивление и индуктивность, а также расчет линейной разветвленной электрической цепи, содержащей в общем виде сопротивление, индуктивность и емкость.
В результате изучения данного материала студенты получат полное представление об анализе переходных процессов в линейных электрических цепях классическим и операторным методами, а также приобретут навыки расчета неразветвленных и разветвленных электрических цепей.
Требования, предъявляемые к оформлению курсовой работы:
1. Курсовая работа выполняется на листах формата А4. На титульном листе должны быть указаны: дисциплина, тема курсовой работы, группа, фамилия и инициалы студента, выполнившего курсовую работу, а также фамилия и инициалы преподавателя, проверяющего курсовую работу.
2. Текст задания, исходные данные и электрическая схема оформляются на отдельном листе.
3. Решение начинается со следующего листа и записывается только на одной стороне каждого листа. Все листы должны быть пронумерованы.
4. Все основные решения должны иметь подробные пояснения, иллюстрироваться схемами, чертежами, векторными диаграммами и т. д.
5. Графическая часть работы должна быть выполнена аккуратно с соблюдением ГОСТа на основные графические обозначения. Графики диаграммы выполняются с обязательным соблюдением масштаба.
6. Курсовая работа должна содержать выводы и использованную литературу.
1. Теоретические положения
При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т. п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.
При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.
Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:
ü Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
ü Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
ü Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
ü Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
ü Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).
1.1 Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом
Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.
В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Законы коммутации
Название закона | Формулировка закона |
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления) | В любой цепи с катушкой индуктивности, сцепленный с ней магнитный поток и проходящий по ней ток не могут изменится скачком. В момент коммутации и после нее ток и магнитный поток равен току и магнитному потоку, которые были в предшествующем режиме, т. е. перед коммутацией. |
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда) | В любой цепи с конденсатором заряд и напряжение на емкости не могут изменится скачком. В момент коммутации заряд и напряжение равно заряду и напряжению, которые были в предшествующем режиме, т. е. перед коммутацией. |
Более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы, представленные на рис. 1.1 а, б. Переходные процессы, возникающие в них, относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).
|
|
а) | б) |
Рис. 1.1 Электрические схемы: а) с конденсаторами; б) с катушками индуктивности |
Так, при переводе ключа из положения 1 в положение 2 (рис. 1.1, а), трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного напряжения в конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа: 
.
Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 1.1,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа 
. Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:
При анализе переходных процессов необходимо знать начальные условия, т. е. значения токов и напряжений на отдельных участках цепи в момент коммутации. Они могут быть зависимыми и независимыми. Независимыми начальными условиями называются значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях, которые были непосредственно перед коммутацией, и которые не изменили своих величин как в момент коммутации так и сразу после нее. Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для 
.
1.1.1 Общие принципы анализа переходных процессов
Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом сводится к составлению и решению системы уравнений, записанных на основе законов Кирхгофа для мгновенных значений электрических величин применительно к послекоммутационной схеме.
Уравнения, составленные на основании первого закона Кирхгофа для каждого независимого узла, имеют вид:
,
уравнения, составленные на основании второго закона Кирхгофа для каждого независимого контура, имеют вид:
Таким образом, система уравнений, описывающая переходный процесс в сложной электрической цепи, состоит из (q—1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и из (р—q+1) уравнений — по второму закону Кирхгофа. Она является системой интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами rк, Lк, Mк и Cк.
Совместное решение этих уравнений относительно какого-либо переходного тока (напряжения) приводит к дифференциальному уравнению, n-ого порядка для искомой величины, которое в общем виде может быть написано:
, (1)
где aк – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров электрической цепи;
f (t) – известная функция времени, определяемая приложенными напряжениями или э. д. с. источников.
Порядок этого уравнения равен числу независимых начальных условий для необъединяемых индуктивностей и емкостей эквивалентной послекоммутационной схемы. Так, например, для определения порядка уравнения, описывающего переходный процесс в электрической цепи (рис. 1.2), производим замену данной цепи эквивалентной схемой (рис. 1.3).
|
Рис. 1.2 Электрическая схема |
В данной схеме индуктивности неразветвленного участка объединяются в эквивалентную индуктивность L1 = Ll' + L1"±2M (в зависимости от способа включения катушек), а эквивалентная емкость участка равна:
.
В эквивалентной схеме имеется две необъединяемых индуктивности и одна емкость, т. е. число независимых начальных условий равно трем. Поэтому порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи (рис. 1.2), также равен трем.
Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (1) сводится к нахождению общего интеграла его, который определяет закон изменения рассматриваемого тока (напряжения) во времени в течение переходного процесса.
Как известно из математики, общий интеграл неоднородного линейного дифференциального уравнения может быть представлен в виде суммы, состоящей из частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения такого же дифференциального уравнения без свободного члена, т. е. однородного уравнения.
|
Рис. 1.3 Электрическая схема |
Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения выражает принужденный режим работы цепи inp (t) имеющий место после окончания переходного процесса, т. е. для момента времени t=∞. Принужденный режим определяется характером эдс (напряжения) источника питания и параметрами послекоммутационной схемы.
Если в послекоммутационной схеме действуют постоянные или гармонические эдс, то принужденный режим одновременно будет и установившимся. Установившиеся процессы рассчитываются методами, принятыми для расчета цепей постоянного или переменного токов.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения выражает свободный режим работы цепи iсв(t) при переходном процессе. Свободный ток iсв определяется из уравнения:
.
Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
.
Если характеристическое уравнение не содержит сопряженных комплексных корней, то общее решение имеет вид:
, (2)
где А1, А2,….., Аn – постоянные интегрирования;
p1, p2……, рп – корни характеристического уравнения;
е – основание натурального логарифма.
При наличии сопряженных комплексных корней, например, р12=-а± jω, в общем решении удобнее соответствующую пару экспонент заменить функцией
, (3)
где А и θ – постоянные интегрирования, заменившие постоянные А1,и А2;
α – коэффициент затухания.
Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения описывает поведение цепи в продолжение переходного процесса при отсутствии в цепи внешних источников энергии. Возникающий при этом свободный режим является следствием наличия запаса энергии в электрических и магнитных полях отдельных элементов. Причем количество запасенной энергии определяется начальными условиями.
Так как все реальные электрические цепи обладают сопротивлениями, на которых происходит рассеяние энергии, то свободный режим всегда является затухающим и продолжается он до тех пор, пока весь запас энергии не будет полностью израсходован. После этого в цепи наступает принужденный режим.
Поскольку скорость затухания свободного, режима зависит от интенсивности рассеяния энергии на сопротивлениях, то изменением параметров цепи можно регулировать как продолжительность свободного, так и переходного процессов.
Так как закон изменения свободной составляющей зависит от параметров электрической цепи, то при наличии в цепи помимо сопротивлений или одних индуктивностей или одних емкостей свободные составляющие токов или напряжений всегда затухают по показательному закону. Если же в цепи имеются, и индуктивности и емкости, то при определенном соотношении параметров возможно появление затухающих колебаний, при которых энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля и наоборот.
Общий интеграл неоднородного линейного дифференциального уравнения (1), определяющий действительный ток в цепи при переходном процессе, может быть записан:
(4)
Такое разложение действительных токов (напряжений) на принужденную и свободную составляющие является расчетным приемом, облегчающим анализ переходных процессов. В реальных цепях имеют место только одни действительные токи (напряжения).
В состав общего интеграла (4) входят постоянные интегрирования А1 А2,…,Ап, число которых равно порядку дифференциального уравнения.
Для определения постоянных интегрирования производится расчет предшествующего режима работы цепи и определяются все токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, которые имеют место непосредственно перед коммутацией, т. е. iL,(0) и uс,(0).При числе постоянных больше одной, что имеет место при дифференциальных уравнениях второго и больших порядков помимо начальных значений iL (0) и ис (0) необходимо определить еще величины производных от токов и напряжений также в момент коммутации, т. е.:
Затем производится расчет принужденного режима послекоммутационной схемы, для которого определяются значения токов индуктивностях и напряжений на емкостях, а также их производных во времени в момент коммутации, т. е.:
Затем составляется система n-уравнений, позволяющая определить как начальные значения свободных токов (напряжении) и их производных, так и все постоянные интегрирования.
Подставляя в эту систему уравнений значения предшествующих (начальные условия) и принужденных токов (напряжений), а так же их производных в начальный момент времени и значения корней характеристического уравнения, находим все постоянные интегрирования А1, A2…, Ап.
После этого постоянные интегрирования подставляются в уравнение (4) и определяются законы изменения действительных токов в электрических цепях при переходных процессах.
Основной трудностью классического метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях является определение постоянных интегрирования по заданным начальным условиям.
1.1.2 Переходные процессы в неразветвленных электрических цепях с сопротивлением и индуктивностью
Общий анализ переходного процесса в цепи r, L
Будем полагать, что цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротивлений r и индуктивности L (рис. 1.4), подключается к источнику с эдс e(t).
|
Рис. 1.4. Электрическая схема |
Переходный процесс в цепи после подключения ее к источнику описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка:
, (5)
где e(t) - эдс источника, в общем случае являющаяся некоторой функцией времени;
i – мгновенное значение тока в цепи.
Согласно (4), общее решение этого уравнения может быть записано:
(6)
Принужденный ток inp зависит от вида приложенной эдс и параметров цепи iпр =F[e(t), r, L]. Поэтому определение его будет выполнено ниже, при рассмотрении конкретных режимов работы цепи.
Свободный ток iсв определяется общим решением однородного линейного дифференциального уравнения:
.
Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид:
r + pL = 0,
а корень характеристического уравнения равен:
.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда имеет только один отрицательный действительный корень.
Общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка (7) может быть записано:
. (7)
Уравнение свободного тока (7) графически изображается затухающей кривой—экспонентой (рис. 1.5), у которой при t = 0 ордината равна постоянной интегрирования А.
Уменьшение свободного, тока в цепи происходит тем быстрей, чем больше отношение сопротивления к индуктивности. Это отношение r/L =
называется коэффициентом затухания. Коэффициент затухания численно равен корню характеристического уравнения.
Величина, обратная коэффициенту затухания 
, называется постоянной времени цепи. Свое наименование она получила потому, что единицей измерения ее является единица времени – секунда:
.
Постоянная времени является таким временем, по прошествии которого, начиная с произвольного момента времени t, свободный ток уменьшится в е раз по сравнению с первоначальным значением его. Действительно, свободный ток в момент времени t+τ равен:
т. е. он в е раз меньше своего первоначального значения.
Если отсчет времени качать в момент t = 0, то:
|
Рис. 1.5. График зависимости тока от времени |
Так как: 
или 
, то графически постоянная времени цепи τ определяется длиной подкасательной в любой точке кривой свободного тока. Если за начало отсчета времени принято t = 0, то постоянная времени изображается длиной подкасательной ОВ (рис. 1.5), которая равна:
Значения свободного тока в цепи, выраженные в процентах от его начального значения icв(0), могут быть определены для различных моментов времени t, которые обычно берутся кратными постоянной времени цепи τ. Результаты такого расчета сведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Результаты расчета
t | 0 | τ | 2τ | 3τ | 4τ | 5τ | 6τ | ∞ |
| 100 | 36,8 | 13,5 | 5 | 1,8 | 0,67 | 0,25 | 0 |
Отсюда следует, что за время t= (3÷5)τ свободный ток в цепи почти полностью затухает. Следовательно, в большинстве инженерных расчетов можно считать, что за время (3÷5)τ переходный процесс практически заканчивается.
Так как продолжительность переходного процесса определяется постоянной времени, которая в свою очередь зависит от параметров цепи, то посредством изменения параметров можно регулировать продолжительность переходного процесса.
Из всего оказанного очевидно, что цепи с сопротивлением r и индуктивностью L являются инерционными цепями. Инерционность цепи состоит в том, что при любом мгновенном изменении параметров цепи или приложенного напряжения ток в цепи изменяется постепенно, т. е. в своем изменении он отстает от напряжения.
Включение цепи с сопротивлением и индуктивностью
под постоянное напряжение
Рассмотрим переходный процесс, возникающий при включении катушки с сопротивлением R и индуктивностью L под постоянное напряжение U.
Очевидно, что в предшествующем режиме ток в катушке отсутствовал, а по прошествии бесконечно большего времени, когда переходный процесс закончится, принужденный ток составит:
Переходный процесс в послекоммутационной схеме описывается уравнением:
общее решение которого:
.
Подставив сюда принужденное значение тока, получим:
.
Постоянная интегрирования определяется из начального условия:
или 
Окончательно закон изменения тока в катушке примет вид:
График изменения его в продолжение переходного процесса приведен на рис. 1.6.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
