Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях (стр. 3 )

корни р1,2 = – 387,5 ± = – 387,5 ± 223,46.

Отсюда:

р1 = – 163,5 1/с; р2 = – 611,5 1/с.

Следовательно,

i2св = A1е-163,57t +A2e-611,5t

и действительный ток:

i2 = 5 + А1е-163,5t + A2e-611,5t. (25)

Решив совместно уравнения (18) и(19) относительно тока i3 и использовав уравнение:

после преобразований, аналогичных рассмотренным, получим:

(26)

или

(27)

Действительный ток:

(28)

В уравнения (28) и (25) входят четыре постоянных интегрирования А1, А2, В1, В2. Для их определения используем два независимых начальных условия:

i2(0)=0=5 + A1+A2; (29)

i3 (0) = 0 = 2,5 + B1 + B2. (30)

Дополнительные два начальных условия получаем исходя из того, что i1 (0) =0. Поэтому в момент включения цепи к зажимам катушек будет приложено напряжение, равное на­пряжению источника. А уравновешено оно будет ЭДС само­индукции, которые наводятся в катушках:

или

0,2(–163,5А1–611,5А2) = –32,7А1– 122А2 = 200; (31)

0,1 (–163,5В1 – 611,5В2) = – 16,35В1–61,15В2 = 2

Решив совместно уравнения (29) и (31), найдем А1=4,59; А2 = –0,41, а из совместного решения (30) и (32) определим В1=–3,55 и В2=1,05.

Подставив постоянные интегрирования в уравнения (25) и (28), получим токи в ветвях:

i2 = 5 – 4,59e-163,5t –0,41e-611,5tA;

i3 = 2,5 – 3,55е-163,5t + 1,05e-611,5t A

и ток в неразветвленной части цепи:

i1 = 7,5 – 8,14е-163,5t + 0,64e-611,5t А.

Графики изменения токов в ветвях цепи показаны на рис. 2.1,б.

Задача 2. Цепь с R1 = 20 и R2 = 30 Ом; R3 = 10 Ом и С3 = 50пФ, с помощью рубильника S подключается к источнику с U = 200 В (рис. 2.2, а).

а)	б)
Рис. 2.2 а) электрическая схема, б) графическая зависимость тока от времени

Определить законы изменения напряжения на конденса­торе и токов в ветвях цепи.

Решение. Чтобы найти напряжение uC и токи в вет­вях, составляем систему уравнений Кирхгофа:

i1= i2 + i3

R1i1 + R2i2 = U

R2i2 = R3i3 + UC

Ток в третьей ветви:

i3 = C3

Выразив токи i1 и i2 через напряжение uC и его производную, получим:

Подставим их во второе уравнение системы:

или

Общее решение уравнения:

uC= uC пр + uC св.

Принужденная составляющая напряжения:

uC св== 120 В.

Свободная составляющая напряжения:

uC св=,

где р – корень характеристического уравнения, р= – 9,09 х 108 1/с.

Действительное значение напряжения:

uC = 120 +.

Постоянная интегрирования А определяется с помощью начального условия uC(0) = 0 = 120 + A; А= – 120.

Тогда:

uC = 120 (1– ) В.

Токи в ветвях цепи:

Графики изменения напряжения токов в ветвях приведены на рис. 2.2,б.

2.2  Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом

Задача 1. Цепь (рис. 2.3) с R1 = 15 Ом и R2 = 60 Ом; L2 = l Гн; R3 = 20 Ом; L3 = 2 Гн подключается к источнику U=150 В.

Определить законы изменения токов в ветвях цепи после ее включения.

Рис. 2.3. Электрическая схема

Решение.

Находим операторное сопротивление:

Операторный ток:

Ток i1(t) определяем с помощью теоремы разложения:

F2 ()=p2 + 92,5 p + 1200 = 0;

p2,3 = – 46,25 = – 46,25 30,64;

p1,= 0; p2 = – 15,6 1/с; р3 = – 76,89 1/с;

F1( ) = 75 (3p+ 80); F2 (О) = 1200;

F1(0) =6000; F`2 () = 2p + 92,5;

F1 (2) = 75 [3(–15,6) + 80] = 2487,8;

F`2 (2)= 2 (–15,61)+ 92,5 = 61,28;

F1 (3) = 75 [3 (–76,89) + 80] = –11 300;

F`2(3) =2(–76,89) + 92,5 = – 61,28;

Операторный ток во второй ветви:

F1() =75(2p+20); F1(0)=1500;

F1(2) =75(2(–15,61)+20)=–841,5;

F1(3) =75(2(–76,89)+20)=–10033,5.

Токи во второй и третьей ветвях:

Задача 2. Цепь (рис. 2.4) с R1 = 80 и R2 = 100 Ом; С2 = 50 мкФ; R3 = 50 Ом; С3 = 25 мкФ подключается к источнику с U = 500 В.

Определить законы изменения токов в ветвях цепи.

Рис. 2.4. Электрическая схема

Решение.

Находим операторное сопротивление цепи:

Операторный и действительный токи в первой ветви:

F2 () = p2+576,5p+47*103=0;

p1 = –98 1/c; p2= –478 1/c;

F1() = 4,41(p+400); F`2()=2p+576,5;

F1(1) = 1332; F`2(1)=380,5;

F1(2) = –344; F`2(2)= –380,5;

Операторный и действительный токи во второй и третьей ветвях:

F 1() = 1,47(p+800); F1(1) = 1032; F2(2) = 473,3.

3. Задание

Задание №1.

Исходные данные:

Цепь, изображенная на рис. 3.1 имеет параметры, приведенные в табл. 3.1.

Определить: токи во всех ветвях цепи после подключения ее к источнику с постоянным напряжением U. Построить графики токов.

Рис. 3.1. Электрическая схема

Таблица 3.1

Исходные данные для задания № 1

№ опыта	U, B	R1, Ом	L1, Гн	R2, Ом	L2, Гн	R3, Ом	L3, Ом
1	120	24	-	15	1	10	2
2	200	10	-	25	0,2	50	0.1
3	220	20	-	10	1	-	4
4	220	-	0,002	20	-	5	0,001
5	150	15	-	60	1	20	2
6	100	20	1	10	-	20	1
7	250	20	-	20	0.5	25	0.4
8	220	10	0,01	20	-	10	0,001
9	200	10	-	25	0.2	50	0,4
10	200	10	2	10	-	-	1
11	110	5	-	10	0,002	2	0,004
12	220	10	2	-	4	10	-
13	200	12	-	10	1	40	2
14	220	5	0,02	10	-	-	0,04
15	100	4	-	10	2	15	1
16	300	15	-	20	1	60	1
17	200	20	-	50	2	100	1
18	220	5	0,002	10	-	-	0,004
19	200	18	-	20	1	30	5
20	220	20	1	9	-	-	4

Продолжение таблицы 3.1