Математика 5 класс, часть 1

Математика 5 класс, часть 1.

Тема урока: «Метод перебора» (работа с задачами 4 типа)

Тип урока: ОНЗ

Основные цели:

1) сформировать представление о методе перебора;

2) сформировать умение решать задачи 4 типа по выведенному алгоритму;

3) повторить и закрепить представление чисел в виде произведения двух множителей, составление моделей задач 4 типа, работу с именованными величинами объема.

Оборудование, демонстрационный материал

1) задания для актуализации знаний:

Таблица.

Математические модели	Работа с математическими моделями
1.  Числовые и буквенные выражения 2.  Уравнения вида: ах + bх = с 3.  Уравнения вида: х(х + а) = с 4.

№ 1. Запишите с помощью фигурных скобок множество делителей числа 48.

№ 2. Представьте число 60 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

2) Алгоритмы

А1

Алгоритм решения уравнений методом перебора. 1.  Проанализировать первое уравнение и найти множество его возможных корней. 2.  Проверить, можно ли сократить количество элементов данного множества за счет использования чисел. 3.  Проверить для каждой пары, которая является корнем второго уравнения. 4.  Записать ответ, выписав все найденные корни.

А2

Алгоритм решения задач 4 типа. 1.  Внимательно прочитать условие и вопрос задачи. 2.  Определить взаимосвязь между входящими в нее величинами (если необходимо, записать их в виде формул, схем, таблиц). 3.  Проверить соответствие единиц измерения величин (при необходимости выполнить их преобразования). 4.  Обозначить неизвестные величины буквами и составить уравнения. 5.  Если возможно, упростить уравнения и решить их методом перебора. 6.  Ответить на вопрос задачи (проверить ответ на соответствие единицам счета или измерения)

3) эталоны

xy = a, (x + b)(y + c) = a

10x + y = xy + a

4) Раздаточный материал

1.  Эталон для самопроверки самостоятельной работы.

Составить таблицу Количество коробок Количество карандашей в 1 коробке Общее количество карандашей х у 36 или ху х – 1 у + 3 36 или (х – 1) (у + 3) Решение: Составить модель ху = 36 (х – 1) (у + 3) = 36 Составить таблицу делителей 36: х 1 2 3 4 6 у 36 18 12 9 6 Для каждой пары проверяем верность второго уравнения: Если х = 2, у = 18, то (2 – 1)(18 + 3) = 36 (ложно) Если х = 3, у = 12, то (3 – 1)(12 + 3) = 36 (ложно) Если х = 4, у = 9, то (4 – 1)(9 + 3) = 36 (истинно) Если х = 6, у = 6, то (6 – 1)(6 + 3) = 36 (ложно) Ответить на вопрос задачи. Значит, было 4 коробки по 6 карандашей в каждой. Записать ответ задачи. Ответ: 4 коробки по 6 карандашей.

2. Карточка для этапа рефлексии.

1.  Я смогу применить новый алгоритм при выполнении домашней работы. 2.  В самостоятельной работе у меня все получилось. 3.  Я нашел место и понял причину своей ошибки в самостоятельной работе. 4.  Я знаю над чем мне надо поработать. 5.  Я доволен своей работой на уроке.

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа: включение учащихся в учебную деятельность и определение её содержательных рамок: продолжение работы с математическими моделями.

Организация учебного процесса на этапе 1:

- Доброе утро, ребята. Я рада вновь вас видеть на уроке математики.

Мы с вами на наших уроках работаем с математическими моделями. Сегодня вам предстоит вспомнить то, что вам известно и узнать что-то новое, ведь вы пришли учиться.

- Что вам нужно сделать сначала для успешной работы сегодня на уроке? (Повторить, что уже умеем выполнять)

- Хорошо! Приступаем к повторению.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности

Цель этапа: актуализировать знания учащихся по различным видам моделей, изученных ранее; зафиксировать затруднение в работе с моделью задач четвёртого типа, невозможности решить уравнение известными способами; сформулировать тему урока в общем виде.

Организация учебного процесса на этапе 2:

- Вспомните, какие основные моменты, связанные с моделями, проверялись в контрольной работе. (Составление моделей трех видов и их решение:

1) числовые и буквенные выражения

2) уравнения вида: ах + bх = с

3) уравнения вида: х(х + а) = с)

На доске появляется таблица, в которой правый столбец пустой и заполняется на уроке по вопросам учителя, как ответы учащихся; в первом столбце отсутствует п. 4.

Математические модели	Работа с математическими моделями
1.  Числовые и буквенные выражения 2.  Уравнения вида: ах + bх = с 3.  Уравнения вида: х(х + а) = с 4.  ху = а (х + b)(у + с) = а	Упрощение выражений и нахождение их значений Решение уравнений, используя распределительное свойство Метод проб и ошибок

- Какую работу вы умеете выполнять над этими моделями? (Составлять выражения, уравнения, решать их.)

- Какие способы решения моделей трех типов вам известны? (1) Упрощение выражений и нахождение их значений; 2) Решение уравнений, используя распределительное свойство; 3) Метод проб и ошибок.)

- В составленной таблице указаны все модели текстовых задач, которые мы рассматривали? (Нет.)

- Какие модели вы еще знаете? (Два уравнения с двумя переменными и уравнение с двумя переменными.)

- Откройте тетради с домашними работами и посмотрите, на какую модель была задача? (Модель задачи состояла из двух уравнений с двумя переменными.)

Через проектор идет проверка решения задачи.

Задача. Для проведения праздника надо было изготовить 48 подарков. Эту работу поручили выполнить нескольким работникам. Если бы работников было на 2 больше, то подарков каждому пришлось бы сделать на 4 меньше. Сколько было работников и сколько подарков собрал каждый из них? Решение: Количество работников Количество подарков на 1 работника Общее количество подарков х у 48 или ху х + 2 у - 4 48 или (х + 2)(у – 4) ху = 48 (х + 2)(у – 4) = 48

Модель данной задачи написана и на доске, но закрыта до определенного момента урока.

- Ребята есть другие варианты решения? Чем они отличаются от данной модели? (Если есть другие варианты, то выслушиваются ответы учащиеся.)

- Что помогло вам в составлении модели к этой задаче? (Алгоритм построения математической модели к задачам 4 типа.)

- Проговорите шаги данного алгоритма.

Алгоритм вывешивается на доску.

- Какая модель к задачам 4 типа существует в общем виде? Выберите ее из предложенных карточек

xy = a, (x + b)(y + c) = a

10x + y = xy + a

В таблице заполняется четвертая строка 1 столбца.

- Вы знаете, как работать с такими моделями? (Нет.)

- Какая цель сегодняшнего урока? (Научиться решать модели, в которых два уравнения с двумя переменными.)

- Какая тема урока? (Решение двух уравнений с двумя переменными.)

На доске открывается тема урока, учащиеся записывают ее в тетрадь: «Решение двух уравнений с двумя переменными».

- В ходе урока мы с вами уточним тему урока.

-Ребята, что помогает вам на уроках в освоении нового материала? (Повторение изученного материала.)

- Готовы к дальнейшему повторению? (Да.)

- Рассмотрим следующее задания.

Задания подготовлены на боковых досках и были закрыты.

№ 1. Запишите с помощью фигурных скобок множество делителей числа 48. Решение. {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

№ 2. Представьте число 60 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами. Решение: 60 = 1 ∙= 4 ∙ 15 60 = 2 ∙= 5 ∙ 12 60 = 3 ∙= 6 ∙ 10

- Как называются множители произведений для числа 60? (Делителями.)

- Молодцы.

- Какую цель вы поставили? (Научиться решать модели, состоящие из двух уравнений с двумя переменными.)

- Вернемся к модели из домашней работы. Запишите в тетрадях модель:

ху = 48 (х + 2)(у – 4) = 48

Модель открывается на доске, учащиеся записывают ее в тетрадях.

- Посмотрите на доску в таблицу, где вы повторили модели решения задач. И еще раз проговорит какие способы решения уравнений вы знаете. (1) Упрощение выражений и нахождение их значений; 2) Решение уравнений, используя распределительное свойство; 3) Метод проб и ошибок.)

- Какой еще способ решения уравнений вам известен? (Нахождение неизвестного компонента.)

- Что вы сейчас повторили? (Известные способы решения моделей задач - уравнений.)

- Решите записанную модель уравнения одним из известных вам способом.

- Для работы даю вам 2-3 минуты.

По истечению времени учитель просит продемонстрировать результаты работы учащихся.

Вариант первый: нет правильных решение, нет решений.

-Что показало выполнение этого задания? (Мы не смогли решить, так как не знаем способа решения таких уравнений. Не хватило времени, а решить надо было два уравнения.)

Вариант второй: есть правильные решения.

- Докажите, что вы решили уравнение верно. (Не можем, нет алгоритма решения таких уравнений.)

3. Выявление места и причины затруднения.

Цель этапа: зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.

Организация учебного процесса на этапе 3:

- Какую модель вы должны были решить? (Два уравнения с двумя переменными.)

- Какой из известных способов вы пытались применить? (Метод проб и ошибок.)

- Возможно, найти решение этим способом? (Да, но это займет много времени.)

- Как же быть? (Надо найти другой способ, который позволит найти решение этой модели, и не будет вызывать сомнений, все ли решения найдены.)

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа: Составление плана для реализации выхода из затруднения; фиксация во внешней речи основных правил, алгоритмов, повторенных на уроке.

Организация учебного процесса на этапе 4:

- Что теперь будем делать? (Находить новый способ, составлять алгоритм.)

- Что поможет вам в достижении цели? (Известные алгоритмы, правила, повторенные на уроке вопросы.)

- Проговорим известные алгоритмы.

- Решение таких уравнений сложный вопрос и я вам помогу достичь поставленной цели, для этого мы с вами составим план решения новых уравнений.

- Проанализируем уравнения, входящие в модель.

Проанализируем первое уравнение.

Проанализируем второе уравнение

Найдем общее решение модели: двух уравнений с двумя переменными.

5. Реализация построенного проекта.

Цель этапа: Построение алгоритма решения двух уравнений с двумя переменными методом перебора по намеченному плану; построение алгоритма решения задач 4 типа.

Организация учебного процесса на этапе 5:

- Чтобы найти более простое решение, что необходимо провести с моделью? (Анализ.)

- Рассмотрим первое уравнение: ху = 48.

-Что вы можете сказать о нем? (В левой части два множителя, произведение которых равно 48.)

- Сможем найти все такие варианты? (Да.)

- Что составим? (Пары чисел, произведения которых равны 48.)

- Рассмотрим второе уравнение модели: (х + 2)(у – 4) = 48.

- Что вы скажите про это уравнение? (В левой части тоже произведение двух множителей, но они другие, а произведение так же равно 48.)

- Какой вывод можно сделать о корнях первого и второго уравнений? (Они должны быть одинаковыми числами.)

- Каким может быть значение переменной х? (Больше 1 и делителем числа 48.)

- Каким может быть значение переменной у? (Больше 4 и делителем числа 48.)

-Составим и заполним таблицу для х и у, которые являются делителями числа 48.

Учитель оформляет таблицу на доске, ученики в тетрадях:

х 1 2 3 4 6 у 48 24 16 12 8

- Все варианты перебрали? (Да.)

- Могут ли другие числа быть решениями первого уравнения? (Нет, так записаны все делители числа 48.)

- Что будем делать дальше? (Проверять, какие из указанных пар являются решениями второго уравнения.)

- Как это сделать? (Перебирать все пары, подставляя во второе уравнение.)

- Выполним подстановку.

Учитель оформляет решение на доске, ученики в тетрадях:

Если х = 1, у = 48, то (1 + 2)(48 – 4) = 48 (ложно) Если х = 2, у = 24, то (2 + 2)(24 – 4) = 48 (ложно) Если х = 3, у = 16, то (3 + 2)(16 – 4) = 48 (ложно) Если х = 4, у = 12, то (4 + 2)(12 – 4) = 48 (истинно)

-Можно на этом прекратить проверку пар? (Нет, а если есть еще решения.)

- Продолжим.

Если х = 6, у = 8, то (6 + 2)(8 – 4) = 48 (ложно)

- Что будет являться решением уравнения? (Пара чисел 4 и 12.)

-Можно утверждать, что других решений нет? (Да, у первого уравнения других решений нет, а во втором мы проверили все пары.)

- Молодцы.

- Проговорим еще раз все шаги решения уравнения.

Ученики проговаривают шаги.

- Если наши действия пошаговые, что можно составить? (Алгоритм.)

- Как можно назвать этот алгоритм? (Алгоритм решения уравнений методом перебора.)

- Молодцы.

На доске вывешивается алгоритм.

- Все согласны с шагами алгоритма? (Да.)

- На ваших столах в папках лежат данные алгоритмы, в конце урока вы заберете их с собой.

Алгоритм решения уравнений методом перебора. 1.  Проанализировать первое уравнение и найти множество его возможных корней. 2.  Проверить, можно ли сократить количество элементов данного множества за счет использования чисел. 3.  Проверить для каждой пары, которая является корнем второго уравнения. 4.  Записать ответ, выписав все найденные корни.

- Уточним тему урока и допишем ее: «Решение двух уравнений с двумя переменными методом перебора».

- Вы достигли поставленной цели? (Да.)

- Что помогло вам в этом? (Знания, полученные ранее, умение анализировать, сопоставлять, умение делать выводы.)

- Молодцы!

- Сможете вы теперь решить задачу 4 типа из домашней работы? (Да.)

- Что значить решить задачу, после того как решена ее модель? (Ответить на вопрос задачи.)

- Прочитайте вопрос задачи? (Сколько было работников и сколько подарков собрал каждый из них?)

- Завершим решение задачи.

Учитель оформляет на доске, ученики в тетрадях:

Значит, было 4 работника и каждый собрал по 12 подарков. Ответ: 4 работника, 12 подарков.

- Для решения задач 4 типа составлен алгоритм, посмотрите на него. Вы согласны с его шагами? (Да.)

- Берем его для работы? (Да.)

На доске, вывешенный алгоритм, открывается и проговариваются его шаги.

Алгоритм решения задач 4 типа. 1.  Внимательно прочитать условие и вопрос задачи. 2.  Определить взаимосвязь между входящими в нее величинами (если необходимо, записать их в виде формул, схем, таблиц). 3.  Проверить соответствие единиц измерения величин (при необходимости выполнить их преобразования). 4.  Обозначить неизвестные величины буквами и составить уравнения. 5.  Если возможно, упростить уравнения и решить их методом перебора. 6.  Ответить на вопрос задачи (проверить ответ на соответствие единицам счета или измерения)

- Что необходимо выполнить на следующем шаге урока? (Потренироваться вместе.)

- Молодцы.

6. Первичное закрепление во внешней речи

Цели этапа: тренировать способность к построению моделей текстовых задач четвёртого типа и тренировать способность к использованию метода перебора в работе с математическими моделями, организовать проговаривание изученного содержания во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 6:

- Выполним задание № 000(2).

Один ученик выполняет задание у доски, проговаривая свои действия и используя составленный алгоритм.

Задача. В секции фигурного катания 60 человек. Для занятий их разделили поровну на несколько групп. Если бы групп было на одну больше, то в каждой группе было бы на 3 человека меньше. Сколько было групп и сколько человек в каждой группе? Решение: Количество групп Количество человек в 1 группе Общее количество человек х у 60 или ху х + 1 у - 3 60 или (х + 1)(у – 3) ху = 60 (х + 1)(у – 3) = 60 х 1 2 3 4 5 6 у 60 30 20 15 12 10 Если х = 1, у = 60, то (1 + 1)(60 – 3) = 60 (ложно) Если х = 2, у = 30, то (2 + 1)(30 – 3) = 60 (ложно) Если х = 3, у = 20, то (3 + 1)(20 – 3) = 60 (ложно) Если х = 4, у = 15, то (4 + 1)(15 – 3) = 60 (истинно) Если х = 5, у = 12, то (5 + 1)(12 – 3) = 60 (ложно) Если х = 6, у = 10, то (6 + 1)(10 – 3) = 60 (ложно) Значит, было 4 группы по 15 человек в каждой. Ответ: 4 группы, 15 человек.

- Молодцы!

- Что необходимо выполнить теперь? (Потренироваться каждому.)

- Что будете выполнять? (Самостоятельную работу с самопроверкой.)

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа: провести самостоятельную работу, провести самопроверку по готовому эталону для самопроверки, учащиеся зафиксируют затруднения, определяют причины ошибок и исправляют ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 7:

- Для самостоятельной работы вам необходимо выполнить задание № 000(1).

- Прочитайте задание. Вы решали такие задания? (Да.)

- Готовы к работе? (Да.)

-Выполняйте. Я уверена, что вы справитесь с данной работой.

Задача. 36 карандашей разложили поровну в несколько коробок. Если бы коробок было на 2 меньше, то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше. Сколько было коробок и сколько карандашей в каждой коробке? Решение: Количество коробок Количество карандашей в 1 коробке Общее количество карандашей х у 36 или ху х – 1 у + 3 36 или (х – 1) (у + 3) ху = 36 (х – 1) (у + 3) = 36 х 1 2 3 4 6 у 36 18 12 9 6 Если х = 2, у = 18, то (2 – 1)(18 + 3) = 36 (ложно) Если х = 3, у = 12, то (3 – 1)(12 + 3) = 36 (ложно) Если х = 4, у = 9, то (4 – 1)(9 + 3) = 36 (истинно) Если х = 6, у = 6, то (6 – 1)(6 + 3) = 36 (ложно) Значит, было 4 коробки по 6 карандашей в каждой. Ответ: 4 коробки по 6 карандашей.

Выполнятся самостоятельная работа. После выполнения работы проводится проверка по эталону.

Проверяя решения, учащиеся отмечают «+» правильное решение «?» не верное решение. Проводится анализ и исправление ошибок. Дети, допустившие ошибки, должны объяснить причину, по которой они не правильно выполнили задание

- Подними руки, кто из вас не справился с составлением модели?

Дети поднимают руки, учитель фиксирует результаты на доске.

- Подними руки, кто из вас нашел не все делители числа 60?

Дети поднимают руки, учитель фиксирует результаты на доске.

- Подними руки, кто из вас неверно выполнил проверку для второго уравнения?

Дети поднимают руки, учитель фиксирует результаты на доске.

- Поднимите руки те, кто не записал ответ к задаче?

Дети поднимают руки, учитель фиксирует результаты на доске.

8. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: тренировать способность к построению моделей текстовых задач четвёртого типа; повторить и закрепить выполнение заданий с именованными величинами, связанными с единицами измерения площадей; тренировать способность к устным и письменным вычислениям.

Организация учебного процесса на этапе 8:

- Откройте дневники и учебнике на стр. 52.

Запишите и проанализируйте домашнее задание.

Дома п. 2.4 (с. 47,48, задача 4) № 000 (решение задачи 4 типа – новый способ) № 000 (Повторение: делители числа и диаграмма Вена) № 000(любые два на разные виды действий) (Работа с именованными величинами.)

- Что будем выполнять теперь? (Тренироваться в применении нового способа действия и повторять изученное ранее.)

- Составим модель к задаче № 000(3) и заполним таблицу делителей для первого уравнения.

Задача. Петя взял у друга интересную книгу и обещал ее вернуть через несколько дней. Однако он успевал читать в день на 10 страниц больше, чем предполагал, и поэтому сумел вернуть книгу на день раньше срока. За сколько дней Петя прочитал книгу, если в книге 120 страниц? Решение: Количество дней Количество страниц, прочитанных за 1 день Общее количество страниц х у 120 или ху х – 1 у + 10 120 или (х – 1) (у + 10) ху = 120 (х – 1) (у + 10) = 120 х 1 2 3 4 5 6 8 10 у 120 60 40 30 24 20 15 12

- На повторение выполним задание № 000(1,3,5,7)

- Какого вида задание? (Работа с именованными величинами – объема.)

Один ученик выполняет на доске, остальные в тетрадях.

Оформление на доске:

№ 000. 1)  8 дм3 36 см3 + 964 см3 = 8 дм3 1000 см3 = 9 дм3 3) 4 см3 – 2 см3 219 мм3 = 3 см3 1000 мм3 – 2 см3 219 мм3 = 1 см3 781 мм3 5) 43 см3 800 мм3 ∙ 5 = 215 см3 4000 мм3 = 219 см3  7) 18 дм3 : 16 = 18000 см3 : 16 = 1125 см3 = 1 дм3 125 см3

9. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 9:

- Наш урок подходит к концу. Подведем его итоги.

- Какую основную цель вы ставили на урок? (Вывести способ решения модели, состоящей из двух уравнений с двумя переменными.)

- Достигли вы цели? (Да, получили алгоритм.)

- Назовите метод решения новых моделей. (Метод перебора.)

- Чем этот метод отличается от метода проб и ошибок? (Необходимо анализировать уравнения, входящие в модель, перебираются все возможные варианты ответов, не надо доказывать, что других решений нет.)

- Я предлагаю оценить вам свою работу на уроке.

Учащимся выдается таблица с вопросами, на которые они отвечают постановкой знаков « + » или « - ». Затем учитель фиксирует результаты.

1.  Я смогу применить новый алгоритм при выполнении домашней работы. 2.  В самостоятельной работе у меня все получилось. 3.  Я нашел место и понял причину своей ошибки в самостоятельной работе. 4.  Я знаю над чем мне надо поработать. 5.  Я доволен своей работой на уроке.

- Подсчитайте ваши «+». Если у вас их 3-4, то вы молодцы. Остальным учащимся дома еще раз необходимо проговорить и повторить основные вопросы урока по тетрадке и учебнику.

- Спасибо всем. Урок окончен. Отдыхайте. Успеха вам на следующих уроках.