Учебно-методический комплекс по дисциплине физика (стр. 2 )

Таким образом, два слагаемых, входящих в выражение для полного ускорения взаимно перпендикулярны (рис. 1.2.5). При этом одно из них, , называемое тангенциальным ускорением, при увеличении модуля скорости () совпадает по направлению с вектором скорости, а при уменьшении модуля скорости () – направлено противоположно вектору скорости. Другое слагаемое , всегда направлено перпендикулярно к вектору скорости в ту сторону, куда загибается траектория. Поскольку греческое слово перпендикуляр на латынь переводится как нормаль, то такое ускорение называют нормальным.

Теперь необходимо найти модуль нормального ускорения. Поскольку и пройденный путь, и перемещение бесконечно малы (рис. 1.2.6), то можно считать, что движение идёт по окружности радиуса R. Отсюда следует, что по модулю dR = R·dφ. Кроме того, (так как ).

Поскольку , то получаем:

С учетом, что получаем, что .

Величина R носит название радиуса кривизны траектории. Точка O называется центром кривизны траектории, а величина, обратная радиусу кривизны – кривизной траектории. Кривизна траектории в системе СИ измеряется в м‑1.

Таким образом, . Поскольку , то .

Поскольку , то , где – скорость в момент времени t1, t0 – начало отсчета времени. Поскольку , то .

При описании движения тел выделяют два частных случая – когда в ходе движения не меняются либо и модуль, и направление вектора полного ускорения , либо модуль вектора тангенциального ускорения aτ.

В случае, когда :

В случае, когда :

К сожалению, исторически сложилось, что оба этих частных случая носят одинаковое название – равноускоренное движение. В некоторых книгах такие виды движения называют равнопеременным движением тел – но, опять же, одно и то же название применяют к двум разным случаям! Поэтому при решении конкретных задач надо всегда аккуратно выяснять, какой именно случай имеется в виду.

Основной метод решения всех задач кинематики – использование уравнений движения. Уравнение движения – это зависимость радиус-вектора (то есть, координат) от времени. В качестве примера рассмотрим задачу о равноускоренном (в смысле ) движении материальной точки под действием силы тяжести (рис. 1.2.7). Постоянное ускорение в данном случае – это ускорение свободного падения . Пусть в момент начала отсчёта времени материальная точка была брошена с высоты h со скоростью v0, направленной под углом α к горизонту.

Поскольку в данном случае для всего времени движения t, то

.

Исходя из полученных зависимостей координат и скоростей от времени, можно определить все необходимые величины. Например, время падения τ рассчитывается из условия Ry(τ) = 0, дальность полёта L – из условия L = Rx(τ) и т. п.

Один из видов криволинейного движения – движение по окружности (рис. 1.2.8). В процессе такого движения модуль радиус-вектора не меняется. Следовательно, не меняется и кривизна траектории. Поэтому, для того, чтобы однозначно описать положение точки B на этой окружности, достаточно указать угол φ между направлением её радиус-вектора и радиус-вектора некоей фиксированной точки A. В системе СИ все углы измеряются в радианах. Если считать точку A точкой начала движения, то пройденный путь ℓ равен длине дуги AB. Следовательно, .

Чтобы полностью охарактеризовать поворот, необходимо указать направление оси вращения – то есть задать орт оси вращения . Направление выбирают так, чтобы с конца этого вектора поворот от начала движения к концу был виден как поворот против часовой стрелки – то есть по правилу буравчика (правого винта). На рис. 1.2.8 направлен перпендикулярно тексту в сторону читателя. Объединение направления вращения и модуля угла поворота дает вектор угла поворота: .

Поскольку вектор угла поворота описывает положение тела в пространстве, он может служить набором координат. Следовательно, изменение угла поворота с течением времени можно описывать с помощью понятия угловой скорости: . Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением: .

В настоящем курсе мы, как правило, будем рассматривать случай вращения в неизменной плоскости – то есть ситуацию, когда , и лежат вдоль одной оси, перпендикулярной плоскости, в которой находятся радиус-векторы всех точек окружности.

Найдем взаимосвязь линейных и угловых координат. Если рассматривать движение за бесконечно малое время dt, то и угол поворота dφ будет бесконечно малым. В этом случае пройденный путь dℓ становится равным (по модулю) перемещению ds. Из определения вектора видно, что . Поскольку линейная скорость , то

Ускорение

поскольку из рис. 1.2.6

Исходя из направления слагаемых полного ускорения видно, что первое – это тангенциальное ускорение

а второе – нормальное ускорение

При вращении абсолютно твердого тела различные его точки могут обладать разными величинами линейных скоростей и ускорений, но величины угловых скоростей и ускорений для всех точек такого тела будут одинаковыми.

1.3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела.

Инертность тел. Масса. Импульс. Взаимодействие тел. Сила. Законы Ньютона. Виды сил в механике. Силы тяготения. Реакция опоры и вес. Сила упругости. Сила трения. Деформация упругих твердых тел. Основные виды деформации. Одноосное растяжение и сжатие. Деформация сдвига, кручения и изгиба. Упругие деформации. Законы Гука. Модуль Юнга и модуль сдвига. Пластическая деформация твердых тел. Предел прочности.

Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Силы инерции при поступательном и вращательном движении. Принцип эквивалентности сил инерции и силы тяжести (инертной и гравитационной масс).

Лекция 3

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

1.3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела.

1.3.1. Инертность.

Жизненный опыт свидетельствует, что одно и то же воздействие вызывает различное изменение в параметрах движения различных тел. Так, порыв ветра подхватывает и сильно ускоряет воздушный шарик, немного разгоняет футбольный мяч и практически не вызывает никаких видимых изменений в поведении камня – притом, что указанные три предмета имеют одинаковые размеры и форму. Экспериментально доказано, что отличительный признак, определяющий различие в изменении скорости – это масса: чем она больше, чем изменение скорости меньше при одном и том же внешнем воздействии. То есть величина одинакова для всех тел, подвергшихся одинаковым по интенсивности и продолжительности воздействиям. Склонность тела сохранять параметры своего движения называется инертность. Таким образом, масса есть мера инертности тела.

В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг). Один килограмм – это масса эталона, хранящегося в Палате мер и весов в Севре (Франция), одна двенадцатая от суммарной массы 6,022·1026 атомов изотопа углерода‑12 или масса 1·10‑3 м3 воды при температуре +40C.

Произведение массы тела на его скорость именуется импульсом тела: . В системе СИ импульс измеряется в кг·м/с.

Следует отметить, что сказанное про массу и изменение скорости верно не во всех системах, а только в тех, где при отсутствии внешних воздействий скорость движения тел не меняется. Такие системы отсчета, в которых не меняются вектора скорости всех тел, которые не испытывают внешних воздействий (или внешние воздействия скомпенсированы) называются инерциальными. Понятие инерции введено Галилео Галилеем в 1632 году.

1.3.2. Законы Ньютона

Исаак Ньютон постулировал, что существуют инерциальные системы отсчёта. Это утверждение называют первым законом Ньютона. Этот закон не даёт указаний, сколько таких систем, как их искать, но заявляет сам факт их существования.

Внешнее воздействие на любое тело, о котором говорилось выше, следует как-то измерять. Величина, именуемая силой, вводится в качестве меры интенсивности воздействия. Второй закон Ньютона гласит, что величина силы, действующей на тело, равна быстроте изменения импульса этого тела: . Если записать это выражение как и назвать величину импульсом силы, то формулировка второго закона Ньютона будет: импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса тела.

На одно и то же тело может одновременно оказываться несколько воздействий. В этом случае принцип суперпозиции гласит, что силы складываются как вектора (рис. 1.3.1).

Опыт показывает, что во всех случаях воздействие на какое-либо тело оказывает другое тело (или несколько тел), и это другое тело также подвергается воздействию со стороны первого тела. То есть любое воздействие является взаимодействием. Третий закон Ньютона гласит, что силы, с которыми воздействуют друг на друга взаимодействующие тела равны по величине и противоположны по направлению.

1.3.3. Виды сил в механике

Некоторые виды сил следует рассмотреть подробнее.

1.3.3.1. Сила тяготения

Закон всемирного тяготения гласит, что любые тела (материальные точки) притягиваются с силой, направленной вдоль линии, их соединяющей, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними (рис. 1.3.3):

Можно доказать, что эта же формула верна не только для материальных точек, но и для любых сферически симметричных тел (сфер, шаров, сферических слоёв).

Как видно из формулы, тело с массой m2 характеризуется только самой величиной массы, а всё остальное относится только к телу с массой m1 и пространственному расположению тел. Можно считать, что это всё остальное характеризует поле, предающее воздействие от тела с массой m1 на тело с массой m2. Эта характеристика поля называется напряженностью :

По второму закону Ньютона любая сила, действующая на тело массой m2: , следовательно – напряженность гравитационного поля равна ускорению, с которым будет двигаться тело массой m2 по направлению к телу массой m1, при условии, что других сил нет. Это ускорение называется ускорением свободного падения.

Заметим, что масса как мера инерции, входящая в уравнение для второго закона Ньютона, в точности равна массе как мере гравитации, входящей в закон всемирного тяготения. Это утверждение носит название принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс и подтверждено с высокой точностью многочисленными экспериментами.

1.3.3.2. Сила тяжести

В тех задачах, где изменение расстояния между центрами гравитационно взаимодействующих тел намного меньше самого расстояния, величину изменения обычно можно считать несущественной и принимать для всех точек пространства, описываемых в задаче. Поэтому просто записывают, что сила тяжести

1.3.3.3. Реакция опоры и вес

Если тело находится под действием силы тяжести (силы тяготения), но не падает с ускорением , следовательно, на него действуют и иные силы. Как правило, это сила нормальной реакции опоры , которая всегда перпендикулярна поверхности взаимодействия тел, или сила натяжения подвеса (рис. 1.3.4). Видно, что (рис. 1.3.4 б) и (рис. 1.3.4 г) не всегда направлены вдоль одной прямой с и не всегда равны ей по модулю.

Вес тела – это сила, с которой тело давит на опору или натягивает подвес. Следовательно, вес приложен к опоре или подвесу, равен по модулю и противоположен по направлению силе нормальной реакции опоры ().

1.3.3.3. Сила трения

Под названием сила трения понимают несколько различных по природе и по способу расчёта сил. Выделяют два типа сил трения: сухого и вязкого. Сил сухого трения – три вида.

Во-первых, это сила трения покоя, которая возникает, когда вдоль границы раздела двух тел, неподвижных друг относительно друга (рис. 1.3.6). При этом и скорость, и ускорение равны нулю, поэтому , где – все прочие силы. Когда сила сухого трения скольжения достигает максимально возможной (предельной) величины, то тела начинают двигаться друг относительно друга. Эта предельная величина рассчитывается по формуле

,

где – коэффициент трения покоя, зависящий только от природы контактирующих веществ, качества поверхностей и от температуры.

Во-вторых, это сила сухого трения скольжения. Схема, поясняющая её направление, совпадает со схемой на рис.1.3.6. Величина этой силы рассчитывается по формуле: , где коэффициент трения зависит только от природы контактирующих веществ, качества поверхностей и от температуры. Вообще говоря, обычно , однако в большинстве задач эти коэффициенты считаются равными.

В-третьих, это сила трения качения (рис. 1.3.7). Видно, что перемещению катящегося тела мешает образование углубления под ним и «горки» перед ним. Величина силы трения качения рассчитывается по формуле: , где коэффициент трения зависит только от природы контактирующих веществ, качества поверхностей и от температуры. Обычно .

Природа всех видов сил сухого трения сходная: во-первых, прижатые (например, под действием силы тяжести) тела деформируют свои поверхности и меньшее тело оказывается в некотором углублении (рис. 1.3.8а), во вторых, контактирующие поверхности имеют шероховатости, мешающие взаимному перемещению (рис. 1.3.8б), в третьих, в зонах контакта могут возникать межатомные связи, которые должны рваться при перемещении:

1.3.3.4. Сила упругости и деформация твердых тел

Когда на любое реальное тело оказывается внешнее воздействие, изменяется внутреннее строение этого тела. Для твердого тела характерна некоторая (большая или меньшая в зависимости от условий) направленность связей между соседними атомами. Поэтому, когда небольшие внешние воздействия несильно изменяют направление этих межатомных связей, в теле возникает сила, старающаяся сохранить “status quo” в направлениях связей – сила упругости. Величина этой силы (рис. 1.3.9) подчиняется закону Гука:

,

где – перемещение конца стержня, то есть удлинение стержня, k – жёсткость стержня.

Опыты показали, что для стержня жесткость k зависит как от геометрических размеров: начальной длины l0 и начальной площади поперечного сечения S0, так и от модуля упругости материала E (он же модуль Гука, он же модуль эластичности).

Этот модуль не зависит от геометрических размеров и формы объекта и определяется составом и строением материала. С ростом температуры модуль упругости E уменьшается, причём практически для всех материалов от 0 К до температуры плавления он уменьшается примерно в 2 раза.

Сила упругости: .

Величина называется механическим растягивающим напряжением, измеряется в Паскалях (Па), . Величина называется относительной деформацией, измеряется в долях или процентах.

Упругая деформация после снятия внешней нагрузки полностью снимается. Однако, если внешняя нагрузка достаточно велика, то, во-первых, перестаёт выполняться закон Гука – связь между механическим напряжением и относительной деформацией перестаёт быть линейной, а во-вторых, после снятия внешней нагрузки не вся деформация снимается – часть деформации остаётся. Эта остаточная деформация называется пластической (рис.1.3.9). Когда же прикладываемое напряжение становится равным временному сопротивлению разрыву, происходит так называемое нарушение однородности деформации – в каком-то месте образца образуется сужение (шейка) и при дальнейшем увеличении деформации образец разрушается.

1.3.4. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета

Первый закон Ньютона утверждает, что существуют инерциальные системы отсчёта. Предположим, что нам известна одна инерциальная система отсчёта (нештрихованная – рис. 1.3.10).

Как видно из рисунка 1.2.10: . Поскольку это равенство выполняется всегда, то и производные по времени от обеих частей тоже равны: , – или, что то же самое: .Аналогично, взяв производную от скорости по времени, получаем: .

Предположим, что в инерциальной системе отсчёта на тело A не действуют другие тела. Тогда это тело движется в нештрихованной системе отсчёта равномерно и прямолинейно и . Если штрихованная система отсчёта также является инерциальной, то и , а следовательно и . То есть, система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной поступательно без ускорения (иными словами, равномерно и прямолинейно) сама является инерциальной.

1.3.5. Принцип относительности Галилея и преобразования Галилея

Если у нас обе системы инерциальные (то есть ) и тело A движется с ускорением , то – ускорение инвариантно по отношению к переходу из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Ускорения появляются при наличии силы, действующей на тело A: . То есть, при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую силы, действующие на тела, не меняются. А следовательно, выполняется принцип относительности Галилея: все механические явления в различных инерциальных системах отсчёта протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится ли данная система отсчёта или движется равномерно и прямолинейно. Поскольку , то – преобразование Галилея.

1.3.6. Силы инерции при поступательном и вращательном движении

Если нештрихованная система инерциальная, а штрихованная - енинерциальная (то есть ) и тело A в инерциальной системе движется с ускорением , то . Умножим все части уравнения на массу тела A: . Поскольку , то . Д’Аламбер предложил ввести понятие фиктивной силы инерции . Отличие силы инерции от реальных сил в том, что нет никакого тела, которое действует на изучаемое тело и, следовательно, в отношении силы инерции нельзя говорить о выполнимости третьего закона Ньютона. Однако понятие силы инерции очень удобно, поскольку для расчёта ускорения в неинерциальной системе отсчёта можно пользоваться формулой , понимая под сумму реальных сил и силы инерции.

При поступательном движении неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы ускорение одинаково для всех точек пространства. Если же неинерциальная система вращается, то это не так. Рассмотрим случай, когда оси z и z’ совпадают и штрихованная система вращается относительно инерциальной нештрихованной с постоянной угловой скоростью (рис. 1.3.11). Пусть тело массой m находится в точке A, неподвижной во вращающейся (штрихованной) системе отсчёта. В этом случае радиус-вектор точки A , где R – расстояние от начала координат до точки А. При этом орт координаты x’ , а орт координаты y’ .

Заметим, что , а Скорость точки А: , а ускорение . Следовательно, в инерциальной системе на это тело действует сила , направленная к центру вращения. Поскольку тело A в неинерциальной системе отсчёта неподвижно, то и . Отсюда и направлена от центра вращения. Такая сила инерции называется центробежной .

Рассмотрим случай, когда тело A движется от центра вращения вдоль оси x’ с постоянной скоростью v’. Тогда , , а . Следовательно, в инерциальной системе на это тело действует сила . Поскольку тело A в неинерциальной системе отсчёта движется равномерно и прямолинейно, то и . Отсюда . Значит, кроме центробежной силы на тело, движущееся в неинерциальной системе отсчёта равномерно и прямолинейно действует ещё одна сила инерции – сила Кориолиса: , которая направлена перпендикулярно направлению движения (рис. 1.3.12). Полная сила инерции в этом случае .

1.4. Динамика вращательного движения

Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент силы. Момент импульса относительно точки и оси. Момент инерции твердого тела относительно главных и произвольных осей. Теорема Штейнера.