Задания С6 из ЕГЭ 2010 по математике

Задания С6 из ЕГЭ 2010 по математике

Решайте с нами, решайте как мы, решайте лучше нас!

Идея написать эту статью возникла у меня на осенних школьных каникулах 2009 года, удлинившихся из-за эпидемии гриппа. Отложив срочные дела на некоторое время, взял я два сборника тренировочных заданий и засел за решение олимпиадных задач С6. Первоначально хотелось вывесить «для затравки» решения нескольких задач на сайте «Математика. Школа. Будущее» (www. ***** ) и пригласить посетителей сайта принять участие в решении остальных задач. Поскольку задачи рассматриваемой тематики я сам решал впервые, то не было уверенности в том, что предложенные мною решения окажутся простыми и понятными, что я решу все задачи.

В решении задачи из варианта 9 использована статья «Олимпиадные задачи с факториалами в тренировочных вариантах ЕГЭ» (Архимед. Научно-методический сборник. Выпуск 6. М.: АНО Институт логики, 2010).

Если у читателя этих строк появится желание упростить или исправить опубликованные решения, то пишите по адресу *****@***ru.

Интересные решения будут вставлены в текст этой статьи на сайте с указанием фамилии приславшего решение. При этом верные первоначальные решения мы сохраним, так как они тоже содержат поучительные идеи.

[1] 1) Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: ЕГЭ: Математика / авт.-сост. , , и др.; под ред. , . – М.: АСТ: Астрель, 2010. – 93, [3] с. – (Федеральный институт педагогических измерений).

2) ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания / , , и др.; под ред. , . — М.: Издательство «Экзамен», 2010. — 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания»).

Комментарии. Поясним, откуда берутся формулы для подсчета числа делителей в случаях а), б) и в).

а) Если некоторое число имеет один простой делитель m кратности k, то оно делится на каждое из чисел 1, m1, m2, … , m k, т. е. это число имеет k + 1 делителей.

б) Если некоторое число имеет t простых делителей первой кратности m1, m2, ..., mt, то оно делится на

1, m1, m2, ..., mt,

m1m2, m1m3, ..., m1mt,

m1m2m3, ..., m1m2, …,

m1m2m3…mt.

в) Если простые делители m и n некоторого числа имеют кратности a и b, то это число делится на каждое из чисел, записанных в следующих двух строках

1, m1, m2, … , m a,

1, n1, n 2, … , n b,

а также на все возможные произведения чисел, взятых по одному из каждой строки. Так как в первой строке a + 1 число, а во второй — b + 1 число, то всего делителей p = (a + 1)(b + 1).