Механика (стр. 2 )

.

В инерциальной .

В неинерциальной .

Вводя понятие силы инерции для поступательного движения и силы Кориолиса для вращательного движения , мы можем применять II закон Ньютона и вне инерциальной системы отсчёта. Однако при этом следует помнить, что и выражают не взаимодействие тел, а ускорение подвижной системы координат, поэтому их иногда называют фиктивными силами.

Систему отсчёта, связанную с поверхностью Земли, можно приближенно считать инерциальной, однако из-за вращения проявляются силы инерции. В частности, силы Кориолиса вызывают подмывание правого берега рек в северном полушарии и левого – в южном.

13. Теорема о движении центра масс

В реальных условиях не всегда тело (систему точек) можно заменить одной точкой. Поэтому рассмотрим движение системы точек. Запишем для каждой точки II закон Ньютона, разделив силы на внешние и внутренние. Внешние () отражают взаимодействие с телами, не включенными в систему, внутренние () описывают взаимодействие точек системы между собой:

Просуммируем уравнения, учитывая, что согласно III закону Ньютона сумма внутренних сил равна нулю. Получаем:

.

, где – полный импульс системы, а – равнодействующая внешних сил.

, то есть изменение импульса системы равно суммарному импульсу внешних сил.

Используя определение центра масс, получаем: . Обозначим и тогда , следовательно, . Центр масс движется как одна точка с массой M под воздействием силы Это означает, что в отсутствии вращения тела можно заменить одной точкой – центром масс.

14. Закон сохранения импульса. Реактивное движение

Если сумма внешних сил равна нулю или такие силы отсутствуют, то и импульс системы сохраняется. Впрочем, импульс системы может сохраняться, если внешние силы неуравновешены, но время действия сил чрезвычайны мало – удар или взрыв.

В земных условиях из-за действия силы тяжести может не сохраняться вертикальная проекция импульса системы, но сохраняется горизонтальная. Обычно закон сохранения импульса записывается для системы, состоящей из двух тел и имеет вид: , где и – скорости тел в разные моменты времени, либо в виде проекции на ось 0X:.

Этот закон является проявлением теоремы Э. Нётер: каждой симметрии отвечает свой закон сохранения. Импульс сохраняется из-за того, что законы механики симметричны относительно сдвига в пространстве. Из закона сохранения импульса можно получить законы реактивного движения – движения тела переменной массы. Когда m = const, то II закон Ньютона можно записывать в таком виде: и , однако, если m ≠ const, то необходимо введение особой реактивной силы. Считая, что система движется в отсутствии внешних сил, можно записать, что ,

где m – масса тела, | dm | – модуль отделившейся массы, υ – скорость тела, u – скорость (относительная) отделения вещества.

Раскрывая скобки и пренебрегая величинами второго порядка малости (dm·dυ), получаем: ; .

Отсюда , то есть изменение массы движущегося тела (точки) приводит к появлению реактивной силы , где μ – секундный расход топлива, если речь идёт о ракете.

В общем виде при наличии нескольких сил, получаем уравнение Мещерского для движения точки переменной массы: .

Этот закон применим для описания движения ракеты, реактивного самолёта, падения снежинки, движения судна с водомётным двигателем. Масса может, как уменьшаться, так и расти за счёт захвата воды или воздуха. Возникающие силы могут как ускорять, так и замедлять движение. Например, движение самолёта с воздушным реактивным двигателем (ВРД) описывается при горизонтальном полёте уравнением: , где μ1 – масса сгоревшего топлива (< 0); μ2 – масса захваченного воздуха; m – масса самолёта; υ – скорость самолёта; u – скорость истечения газов.

Рассмотрим в качестве примера реактивного движения две задачи Циолковского.

I. Считая, что u ≈ 4 км/с, определить, во сколько раз начальная масса ракеты должна быть больше конечной, чтобы ракета достигла скорости 8 км/с. (полагаем, что F = 0).

; ; ; ;

, т. е. масса полезного груза почти в 10 раз меньше массы топлива.

Для достижения II космической скорости , т. е. одноступенчатая ракета для полёта в космос явно не подходит.

II. Вычислить высоту и скорость ракеты, движущейся вертикально в поле силы тяжести Земли

. . .

Считая , получаем: , то есть высота подъёма зависит от закона сгорания топлива.

Анализируя полученные результаты, Циолковский, обратил внимание на преимущества многоступенчатых ракет перед одноступенчатыми.

15. Основное уравнение динамики вращения

Если тело или система совершает вращательное движение, то вместо II закона Ньютона удобнее использовать следствие из этого закона – основное уравнение динамики вращения. Для получения этого уравнения запишем систему уравнений, характеризующих движение отдельных точек, и домножим каждое уравнение векторно на соответствующий радиус-вектор :

где индексы <i> и <e> соответствуют внутренним и внешним силам.

Учитывая, что , и вводя обозначения – момент импульса точки и – момент силы, получаем систему уравнений типа: .

Суммируя по всем точкам, получаем основное уравнение динамики вращения:

, где – суммарный момент импульса системы, – суммарный момент внешних сил.

Суммарный момент внутренних сил в соответствии с III законом Ньютона обращается в ноль (рис. 18).

Рис. 18.

Момент силы по модулю равен произведению силы на плечо. Плечо – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Таким образом, мы узнали, что скорость изменения момента импульса системы равна моменту внешних сил.

16. Момент инерции. Теорема Штейнера

Момент импульса можно для вращающейся точки записать в следующем виде: , где – радиус вращения, а – угловая скорость.

Для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, , где – момент инерции тела.

Основное уравнение динамики вращения для твёрдого тела принимает вид или , =.

Просматривается явная аналогия со II законом Ньютона: момент инерции I = m – масса, угловое ускорение β = aτ – тангенциальное ускорение, момент силы М(e) =F.

В справочных таблицах величина момента инерции I обычно указывается по отношению к оси, проходящей через центр масс. Если ось смещена относительно центра масс, то момент инерции вычисляется по теореме Штейнера (рис. 19): ,

где I0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; IС – момент инерции относительно оси, сдвинутой на расстояние d (параллельно самой себя.)

Рис. 19.

В этом нетрудно убедиться, вводя подвижную систему координат: (рис. 20).

. Поскольку

= 0, (это координата ц. м.), то , что и требовалось доказать.

Рис. 20.

Приведем примеры вычисления момента инерции для простейших твердых тел.

1. Для кольца .

2. Для диска результат получим, разбивая его на отдельные кольца (рис. 21) и интегрируя по r: .

Рис. 21.

3.  Для стержня длиной ℓ аналогично (рис. 22):

.

Рис. 22.

4.  Для стержня длиной ℓ момент инерции относительно

одного из концов .

17. Закон сохранения момента импульса. Гироскопический эффект

Из основного уравнения динамики вращения имеем при закон сохранения момента импульса. При отсутствии момента внешних сил или . Учитывая, что , момент импульса сохраняется в трёх случаях:

1)

2)

3) .

Следствиями закона сохранения момента импульса являются I и II законы Кеплера. I закон утверждает, что в гравитационном поле орбита планет плоская, так как плоскость орбиты перпендикулярна вектору .

II закон гласит, что секторная скорость (величина её пропорциональна ) планет при движении по траектории сохраняется. Что очевидно из равенства если масса планеты не меняется.

Из основного уравнения динамики вращения следует гироскопический эффект:

1) ось вращения в отсутствии момента внешних сил сохраняет постоянное положение в пространстве;

2) симметричное тело, вращающееся вокруг оси симметрии (гироскоп) под действием момента внешних сил начинает описывать конус – прецессировать, как это наблюдается у детского волчка под действием силы тяжести. Изменение момента импульса ()направлено вдоль , т. е. перпендикулярно силе mg (рис. 23).

Рис. 23.

Гироскопический эффект объясняет смену времен года на Земле, устойчивость движущегося велосипеда или мотоцикла. Этот эффект используется для стабилизации полёта пули, наведения ракет на цель, в автопилотах, успокоителях качки и т. д.

Существуют такие оси вращения твёрдого тела, которые не изменяют своего положения в пространстве без действия внешних сил (т. е. не нужны подшипники, удерживающие ось в определенном положении). Такие оси называют свободными. Из трёх независимых осей вращения, которые возможны для твёрдого тела (X, Y, Z), оси, проходящие через центр масс, являются свободными (главными осями инерции). Вращение вокруг осей с Imax и Imin устойчивое, вращение вокруг оси с промежуточным I – неустойчивое. Именно это свойство свободных осей сохранять своё положение в пространстве используется в гироскопах.

В качестве примера рассмотрим, при каком условии ось с закрепленными грузами будет свободной.

, , где .

Рис. 24.

Если на ось нет горизонтального давления, то ось свободна (рис. 24). Для этого должно выполняться равенство: F1 = F2; . Если m1r1 = m2r2, то ось вращения проходит через центр масс.

Зная основной закон динамики вращения, можно сформулировать условия равновесия твёрдого тела: чтобы не было поступательного движения, aц. м.= 0, υц. м.= 0 (const). Для этого результирующая внешних сил должна равняться 0.

Чтобы не было вращения, необходимо, чтобы момент внешних сил был равен нулю.

18. Работа и энергия

По определению механическая энергия равна , а полная работа . Если сила постоянна, то . Единица работы А =1 H·1 м =1 Дж.

Графически работа равна площади под графиком (рис. 25). .

Рис. 25.

Используя график для силы упругости, получаем, что работа (рис. 26). Мощность (Вт).

Рис. 26.

При вращательном движении ; , где M – момент касательной составляющей силы, а – угол поворота, при котором совершается работа .

Соответственно, мощность при вращательном движении округляется формулой .

Способность тела совершать работу характеризуется энергией (механической). Энергию, связанную с движением, легко получать, используя II закон Ньютона. Домножим на и получим: .

– кинетическая энергия точки. Изменение кинетической энергии точки равно совершенной работе.

Для тела (системы точек) энергия равна сумме энергий отдельных точек (энергия – величина аддитивная). При вращательном движении и поэтому .

Для твёрдого тела энергия вращения округляется равенством , где I – момент инерции.

Полная кинетическая энергия может быть представлена как сумма поступательной энергии центра масс и энергии вращения вокруг центра масс: .

Если работа не зависит от формы траектории (равна 0 на замкнутой траектории), то и , где U – потенциальная функция. Величина – потенциальная энергия. ; ; ; .

Потенциальная энергия связана с положением тела (или его частей). Сумма потенциальной и кинетической энергии называется полной механической энергией: . Очевидно, что в различных системах отсчёта Eк не одинакова. Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной, так как физический смысл имеет работа, равная разности потенциальных энергий, то есть, если , то и результат (A) не изменился.

Примерами потенциальных сил в механике являются сила тяжести и сила упругости.

Из инвариантности законов природы относительно сдвига по времени (законы физики вчера, сегодня и завтра одинаковы) следует (согласно теореме Э. Нётер) закон сохранения энергии, который может быть записан в нескольких версиях.

1.  Если на систему действуют только потенциальные силы (нет диссипативных сил), то полная механическая энергия сохраняется. При этом кинетическая энергия может переходить в потенциальную, и наоборот: E = const, .

2.  Если есть потенциальные силы, то изменение полной механической энергии равно работе потенциальных сил: .

3.  Закон сохранения энергии можно записать, не разделяя силы на потенциальные и непотенциальные: , где А – работа всех сил, которые действуют на точку или систему.

Закон сохранения энергии позволяет решать многие задачи самым компактным образом.

В качестве примера вычислим II космическую скорость – наименьшую, обладая которой тело может улететь с Земли в бесконечность.

Пренебрегая силами сопротивления, записываем:

.

Для тела бесконечно удалённого от Земли и .

Получаем: ; .

Закон сохранения энергии позволяет совместно с законом сохранения импульса описать явление упругого или неупругого удара (столкновение двух или более тел).

Для двух тел удобно ввести коэффициент восстановления , где и – относительные скорости до удара и после.

Если – удар неупругий, если – удар абсолютно упругий.

Удар называется центральным, если тела движутся вдоль прямой, проходящей через центр масс.

При абсолютно упругом ударе сохраняются и импульс системы, и её энергия:

.

Считая, что тела все время движутся в одном направлении, имеем:

Решая систему

получаем .

При неупругом ударе часть энергии (механической) переходит в тепло. Закон сохранения импульса записывается в виде:

, а тепловые потери определяются равенством: .

Аналогично рассматриваются и другие версии соударений.

19. Гидростатика

Газы и жидкости в гидроаэромеханике рассматривают как однородные сплошные среды.

При описании жидкостей и газов важной характеристикой является давление Р.

(Па),

где F – нормальная сила, действующая на поверхность S.

Для несжимаемой жидкости . В этом легко убедиться на примере цилиндрического сосуда (рис. 27).

Рис. 27.

, где (кг/м3) – плотность вещества.

Согласно закону Паскаля, давление на жидкости и газы передается по всем направлениям одинаково. Пример: колесо накачивают через ниппель, а давление во всем одинаково.

Следствием закона Паскаля является закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом при погружении. Убедимся в этом на примере куба (рис. 28).

Рис. 28.

Давление на глубине равно: , .

Давление на глубине равно: , .

Разность сил (F1 – F2) равна силе Архимеда. , где V – объём куба.

Отсюда очевидны условия плавания тел:

< – тело всплывает, = – тело плавает,

> – тело тонет.

При анализе условий плавания тел важным является понятие метацентр (точка пересечения силы выталкивающей и оси симметрии корабля). Если метацентр выше точки центра масс, положение корабля устойчиво, ниже – неустойчиво.

Рис. 29.

Силы, изображенные на рис. 29, возвращают корабль в нормальное положение. Если метацентр ниже центра масс, пара сил перевернет корабль.

20. Гидро(аэро)динамика

При изучении движущейся жидкости (газа) вводятся понятия «линии тока» и «трубка тока».

Линии тока – линии, касательные к которым совпадают с направлением скорости частиц.

Трубка тока – часть жидкости, ограниченная линиями тока.

Легко установить, что при спокойном (ламинарном) течении для жидкости выполняется условие неразрывности струи: , т. к. объем жидкости (несжимаемой), протекающей через сечение S за время t, равен: (рис. 30).

Рис. 30.

Из закона сохранения энергии для ламинарного течения получаем уравнение Бернулли: Е2 - Е1 = А.

.

– объем жидкости, протекающей по трубке тока за время .

Используя , получаем: или – уравнение Бернулли.

, в этом уравнении Р – статическое давление, – динамическое давление.

Для трубки, расположенной на постоянной высоте, полное давление сохраняется.

Экспериментально давление можно измерить следующим образом (рис. 31):

Рис. 31.

Динамическое давление (скорость течения жидкости) можно округлить с помощью трубки Пито-Прандтля (рис. 32).

Рис. 32.

, где – плотность жидкости в манометре.

Уравнение Бернулли позволяет объяснить действие водоструйных насосов и пульверизаторов (карбюраторов).

21. Вязкость

Из-за взаимодействия слоев жидкости, текущей по трубам, возникают силы сопротивления (вязкое трение). Величина этой силы может быть вычислена по формуле Ньютона: ,

где – динамическая вязкость (Па·с); – градиент скорости направленного движения; S – площадь соприкосновения слоев (рис. 33).

Рис. 33.

Коэффициент зависит от температуры. У газов с температурой растет, у жидкостей – падает. Величина позволяет оценить, будет течение ламинарным или турбулентным. Для этого вводят число Рейнольдса: