Механика (стр. 3 )

,

где <> – средняя скорость течения; d – характерный размер (диаметр); – кинетическая вязкость.

Переход от ламинарного движения к турбулентному происходит в диапазоне 103 ≤≤ 2·103.

Для определения вязкости используют либо метод Стокса, либо метод Пуазейля.

Метод Стокса основан на наблюдении падения шарика в жидкости с постоянной скоростью. Сила сопротивления (Стокса) равна: ,

где – радиус шарика; – скорость.

Рис. 34.

Условие равенства сил: (рис. 34). ;

отсюда .

Метод Пуазейля использует течение жидкости в тонком капилляре. Уравновешиваются силы трения у стенки трубки тока и сила давления на основания (рис. 35).

.

Рис. 35.

Отсюда находим скорость установившегося течения как функцию расстояния от центра капилляра:

.

При интегрировании считаем, что у стенки трубы скорость равна 0. .

За время t через кольцо шириной dr протекает объем жидкости а через все сечение трубы

= .

Отсюда для динамической вязкости получаем выражение: , в котором все величины макроскопические и легко измеряемые.

V – объем жидкости, прошедшей за время t по трубе радиусом R и длиной L при перепаде давлений на входе и выходе, равном .

22. Подъемная сила крыла, лобовое сопротивление

Уравнение Бернулли позволяет объяснить подъемную силу крыла и лобовое сопротивление (рис. 36).

Рис. 36.

Выбирая сечение крыла таким, чтобы , получаем, что . Возникает сила , толкающая крыло вверх: .

На задней кромке крыла в области завихрений скорости выше, чем в набегающем потоке, а давление ниже, что приводит к возникновению силы, мешающей движению.

.

В идеальной жидкости завихрений нет, поэтому сопротивление отсутствует (парадокс Даламбера).

– качество крыла.

Для вращающегося тела, помещенного в движущийся поток, на-

блюдается эффект Магнуса – возникает сила, перпендикулярная скорости газа (рис. 37).

Рис. 37.

, поэтому возникает сила, направление которой перпендикулярно скорости газа. Эту силу можно использовать, например, вместо паруса.

23. Свободные механические колебания.

Гармонические колебания и их характеристика

Движение, совершаемое по закону или называется гармоническим колебанием.

В этом уравнении x – отклонение точки от положения равновесия в момент времени t;

А – максимальное отклонение (амплитуда);

– циклическая частота (круговая);

Т – период колебаний;

v – число колебаний в единицу времени;

() – фаза колебаний;

– начальная фаза.

Скорость и ускорение согласно определению имеют вид:

, , то есть ско-

рость отличается от x по фазе на , а ускорение – на . Частота одинакова во всех случаях. Результат удобно представить графически (рис. 38).

В общем случае колебания удобно представлять комплексной функцией, используя формулу Эйлера , где , .

Полагая ,

имеем либо .

x1 υ1 a

Рис. 38.

Проводить вычисления с функцией легче, чем с тригонометрическими функциями. В качестве результата берется либо действительная, либо мнимая часть.

24. Маятники (осцилляторы)

В качестве примеров колеблющихся систем рассмотрим следующие варианты:

1)  пружинный маятник,

2)  математический маятник,

3)  физический маятник.

Пружинный маятник – груз, движущийся под действием силы упругости (рис. 39).

Рис. 39.

, – уравнение гармонических колебаний в дифференциальной форме.

, , ,

где определяется начальными условиями.

Математический маятник – груз на длинной нити (рис. 40).

Рис. 40.

, .

Принимаем и ,

– формула Гюйгенса.

Физический маятник – тело произвольной формы, совершающее механические колебания (рис. 41).

Для такого тела или , где , а .

Получаем , откуда

где I – момент инерции относительно точки подвеса, С – центр масс, – расстояние от центра масс до точки подвеса. Если = 0, то тело находится в безразличном равновесии и колебаний нет.

Рис. 41.

Энергию колебаний легко вычислить для пружинного маятника:

;

;

, где .

Отсюда:.

Используя равенства и , получаем, что частота колебаний у и равна Графически результат выглядит следующим образом (рис. 42):

Рис. 42.

Существенно, что энергия зависит не только от массы, но и от частоты и амплитуды.

25. Сложение одинаково направленных колебаний

Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. Рассмотрим случай сложения двух колебаний с одинаковыми частотами, направленных одинаково. Пусть

,

,

.

Упростим выражение, введя новую константу :

.

Для получаем ,

где ,

то есть результирующее колебание совершается вдоль той же прямой с той же частотой, но с иной начальной фазой и амплитудой, лежащей в интервале .

Этот же результат можно получить в рамках векторной модели сложения векторов. Считаем, что А2 и А1 вращаются вокруг некоторой точки 0 с угловой скоростью (рис. 43).

Рис. 43.

Для момента t = 0 имеем (рис. 44).

Рис. 44.

Откуда и , что совпадает с предыдущим результатом.

При сложении колебаний с близкими частотами наблюдаются биения – колебания с изменяющейся во времени амплитудой. Например, при

,

.

Частота биений , т. к. амплитуда берется по модулю и за период достигает максимума два раза (не , а ).

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде ряда или интеграла Фурье:

– ряд Фурье.

– гармоники колебаний.

– интеграл Фурье.

26. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим простейшие случаи. Пусть , , отсюда , т. е. колебания совершаются вдоль прямой линии, направленной под углом определенным равенством (рис. 45).

Рис. 45.

Движение по этой прямой ограничено точками (-A,-B) и (A, B).

Если , , то и вместо двух колебаний мы имеем движение по эллипсу.

В общем случае, когда , сложение взаимно перпендикулярных колебаний дает фигуры Лиссажу, число которых бесконечно велико. Эти фигуры можно наблюдать на экране осциллографа и по виду фигур определять отношение складываемых частот (это отношение числа пересечений фигуры осями 0X и 0Y).

Например, для фигуры, изображенной на рис. 46,

Рис. 46.

Для фигуры, представленной на рис. 47,

Рис. 47.

Полученные результаты применимы в небесной механике, для анализа волнового движения, в атомной и ядерной физике.

27. Затухающие колебания

Если учитывать силы сопротивления, считая их пропорциональными скорости, то II закон Ньютона для пружинного маятника записывается так:

; .

Введем обозначения , и перепишем исходное уравнение следующим образом: . (1)

Будем искать решение в виде .

Производные находим стандартным образом:

, ,

и после подстановки в уравнение (1) получаем:

.

Как уже отмечалось выше, это уравнение гармонических колебаний в дифференциальной форме. Его решение имеет вид:

.

Для Х получаем:

.

То есть при учете сопротивления частота постоянна, меньше собственной:.

Амплитуда, а значит и энергия, зависят от времени – убывают: .

Графически колебания представляются периодической функцией, у которой амплитуда меняется экспоненциально (рис. 48).

Рис. 48.

Обычно , но в принципе возможен и вариант . В этом случае движение перестает быть периодическим (апериодическое движение).

В качестве характеристик затухающего колебания используют:

1)  коэффициент затухания

2)  время релаксации

3)  декремент затуханий

4)  логарифмический декремент

5)  добротность

Коэффициент затухания , т. е. растет с увеличением сопротивления и уменьшается с увеличением массы.

Время релаксации – время, за которое амплитуда убывает в e = 2,7 раза.

.

Декремент затуханий показывает, во сколько раз амплитуда уменьшается за один период.

.

Математически это громоздкая конструкция, поэтому удобно ввести логарифм от :

.

Добротность определяется равенством:

,

где – число колебаний, совершенных за время релаксации.

Реальные колебания совершаются всегда в присутствии сил сопротивления, однако, если сопротивление (затухание) мало, движение приближенно можно считать свободным колебанием. Если же затухание велико, колебания длятся недолго и их трудно использовать (тем не менее, их используют в геофизике и сейсмологии).

Список рекомендуемой литературы

1.  Трофимова, физики / . – М.: ВШ, 2002. – 541 с.

2.  Архангельский, М. М., Курс физики. Механика / . – М.: Просвещение, 1975. – 423 с.

3.  Белонучкин, физики / , , Ю. М Ципенюк. – М.: Физматлит, 2001. – 502 с.

4.  Ковалева, занятия по дисциплине «Физика». Ч. I; ВолгГТУ, Волгоград, 2006. – 54 с.

СОДЕРЖАНИЕ

	Введение...........................................................................................	3
1.	Кинематика точки...........................................................................	4
2.	Прямолинейное движение..............................................................	4
3.	Кинематика вращательного движения.........................................	6
4.	Относительность движения. Сложение скоростей и ускорений....	8
5.	Абсолютно твердое тело...............................................................	10
6.	Динамика материальной точки......................................................	11
7.	Силы в механике.............................................................................	13
8.	Гравитационное взаимодействие...................................................	13
9.	Сила упругости Гука (природа электромагнитная).....................	13
10.	Сложение сил...................................................................................	14
11.	Принцип относительности Галилея..............................................	16
12.	Неинерциальные системы отсчёта................................................	17
13.	Теорема о движении центра масс..................................................	17
14.	Закон сохранения импульса. Реактивное движение....................	18
15.	Основное уравнение динамики вращения....................................	20
16.	Момент инерции. Теорема Штейнера...........................................	21
17.	Закон сохранения момента импульса. Гироскопический эффект...	23
18.	Работа и энергия..............................................................................	25
19.	Гидростатика...................................................................................	28
20.	Гидро(аэро)динамика....................................................................	30
21.	Вязкость...........................................................................................	32
22.	Подъемная сила крыла, лобовое сопротивление.........................	34
23.	Свободные механические колебания. Гармонические колебания и их характеристика.................................................................	35
24.	Маятники (осцилляторы)................................................................	36
25.	Сложение одинаково направленных колебаний..........................	38
26.	Сложение взаимно перпендикулярных колебаний......................	40
27.	Затухающие колебания...................................................................	41
	Список рекомендуемой литературы..............................................	43