Механика (стр. 1 )

,

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

,

Механика

Курс лекций по физике

Волгоград

2009

УДК 531

Г 56

Рецензенты: кандидат физико-математических наук ; коллектив учебно-методического совета Камышинского филиала СГА

Гнедов, : курс лекций по физике / , ; ВолгГТУ, Волгоград, 2009. – 44 с.

ISBN 0283-0

Содержится необходимый теоретический материал, относящийся к разделу «Механика».

Предназначается студентам всех направлений.

Ил. 48. Библиогр.: 4 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Юрий Александрович Гнедов

Владимир Борисович Караваев

Механика

Курс лекций по физике

Редактор

Компьютерная верстка

Темплан 2009 г., поз. № 20К.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Лицензия ИД № 000 от 01.01.01 г.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,75. Усл. авт. л. 2,63

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

 

ISBN 0283-0 Ó Волгоградский

государственный

технический

университет, 2009

Введение

Физика изучает самые простые формы движения и взаимодействия тел.

Первая физическая теория (неверная) была сформулирована Аристотелем 2,5 тыс. лет назад, она основывалась на постулате: скорость тела пропорциональна приложенной силе. Эта теория продержалась почти 2000 тыс. лет и была опровергнута лишь в XVII в. благодаря экспериментам Г. Галилея (первого в истории физика-экспериментатора).

До наших дней сохранилась физическая теория, сформулированная первым физиком-теоретиком Ньютоном в 1687 году. На её основе сформировался раздел физики, получивший название классической механики, который правильно описывает движение при соблюдении двух условий:

1.Скорость тела меньше скорости света.

2.Размер тела больше размера атома, но меньше размера галактики.

Около 200 лет назад начинается этап серьезного изучения электрических, магнитных и тепловых явлений, около 100 лет насчитывает теория относительности Эйнштейна и менее 100 лет – квантовая механика и ядерная физика. Таким образом, физика является сравнительно молодой наукой и в ней остаются нерешенные проблемы. В то же время она является фундаментом естественных наук, находит широкое применение в практической деятельности и заслуживает повышенного внимания со стороны тех, кто выбрал своей профессией техническую специальность (электрик, энергетик, механик и т. д.)

1. Кинематика точки

Изучение физики начинается с раздела «Механика», в котором рассматривается только изменение положения тела в пространстве. Часть механики, в которой не интересуются причинами, вызывающими движение, называется кинематикой.

Основные понятия кинематики:

Материальная точка – тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Система отсчета – тело, относительно которого задается положение точки. Математически – это система координат.

Траектория – линия, по которой движется точка (или центр масс тела).

Путь – расстояние, пройденное точкой по траектории.

Радиус – вектор-вектор, проведенный из начала системы координат к движущейся точке.

Перемещение – изменение радиус-вектора.

Средняя путевая скорость <υ> равна отношению пройденного пути ко времени движения.

Мгновенная скорость – производная ко времени от радиус-вектора (или иной вариант – от пути).

Ускорение – производная от скорости ко времени.

2. Прямолинейное движение

Движение, при котором траекторией является прямая линия, называется прямолинейным. Траектория может совпадать с одной из координатных осей (но может быть направлена и произвольно). Оси координат считаются независимыми в том смысле, что движение вдоль оси Х не приводит к перемещению вдоль оси Y. Положение точки М характеризуется либо радиус-вектором либо координатами Xм, Yм, Zм (рис. 1).

Рис. 1.

, где – единичные векторы вдоль осей X, Y, Z.

Скорость по определению:

, , .

(рис. 2). В общем случае .

Рис. 2.

Пройденный путь: , либо , , .

Средняя скорость обычно , однако возможно и иное определение:.

Ускорение материальной точки определяется как , т. е. , , ; .

. Как и в случае скорости, можно ввести углы между осями координат и направлением Зная ускорение, можно вычислить скорость:

, , и соответственно , иногда удобно использовать графическое представление движения. Например, на графике в координатах t (рис. 3): пло-

щадь под графиком равна пройденному пути.

Рис. 3.

На графике в координатах а, t (рис. 4) площадь под графиком равна скорости.

Рис. 4.

3. Кинематика вращательного движения

При вращательном движении точка описывает окружность вокруг неподвижной оси. Такое движение удобно изображать, используя условные переменные: радиус вращения, угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение. Если точка при вращательном движении перешла из положения I в положение II, то скорость изменила свое направление, а радиус повернулся на угол (рис. 5). Пройденный путь равен: , где измеряется в радианах.

Рис. 5.

, где (рад/с).

, где T – период, а – частота вращения.

Угловую скорость принудительно можно сделать вектором, направив по оси вращения либо в соответствии с левым, либо в соответствии с правым буравчиком. Такие вектора в отличие от (полярных) называют аксиальными , если определяется по правилу правого буравчика (направление совпадает с движением правого буравчика, если его ручка вращается вместе с движущейся точкой).

Угловое ускорение: (рад/с2).

При вращательном движении изменение линейной скорости характеризуют два ускорения: (нормальное, центростремительное) и (касательное, тангенциальное). характеризует изменение скорости по направлению, а – по модулю. Количественно результат получим, если представим скорость в следующем виде: , где – единичный вектор в направлении скорости частицы, т. е. по касательной к траектории (рис. 6).

Рис. 6.

; т. к. ,

, где – единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории по нормали и касательной. Таким образом,

, .

(рис. 7).

Можно доказать, что , и мы получаем:

, .

Рис. 7.

Угловую скорость и угол поворота в общем случае находят интегрированием: , . При этом считается, что направление оси вращения остается постоянным.

4. Относительность движения. Сложение скоростей и ускорений

Одно и то же движение в разных системах отсчета выглядит по-разному. Сложное движение иногда можно разбить на два простых, что облегчает анализ. Фактически это означает, что мы вводим две системы координат – неподвижную и подвижную, которая совершает одно простое движение.

Рис. 8.

(рис. 8).

Скорость в неподвижной системе координат: .

Скорость в подвижной системе координат – относительная скорость.

Скорость подвижной системы координат – переносная: ; .

Для ускорения, если подвижная система координат вращается, результат имеет вид: ,

где – ускорение начала подвижной системы координат; – угловая скорость подвижной системы координат. Последнее слагаемое называют Кориолисовым ускорением.

В качестве примера сложного движения рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. Считаем начальную скорость и угол бросания известными. Вычислим траекторию, время полета, максимальную высоту и дальность полета.

Разбиваем сложное движение на два простых: равномерное вдоль оси 0X и равнопеременное вдоль оси 0Y.

Рис. 9.

Определим траекторию движения (рис. 9), связав X и Y:

, , то есть траектория – парабола, у которой ветви направлены против оси 0Y, а вершина смещена в I четверть. Время достижения верхней точки t определяется условием:

.

Полное время полета равно 2t1 (время подъема и падения одинако-

во, если нет сопротивления).

.

Максимальная дальность:

, то есть при фиксированной скорости дальность полета максимальна при α = 450.

Правила сложения скоростей рассмотрим на примере колеса, равномерно движущегося по дороге (рис. 10) .

Рис. 10.

Каждая точка колеса участвует в двух движениях: она движется вместе с подвижной системой и вращается вокруг точки .

В неподвижной системе координат скорость точки А (относительно Земли) равна 0.

.

Скорость точки B:

.

Скорости точек D и С по модулю одинаковы (но отличаются по направлению).

; .

Можно считать, что в данный момент времени колесо вращается вокруг точки А.

5. Абсолютно твердое тело

Произвольное объединение материальных точек – система материальных точек.

Абсолютно твердое тело – система материальных точек, расстояние между которыми при движении не меняется (то есть отсутствует деформация).

Движение, при котором любая прямая в твердом теле движется параллельно себе самой, называется поступательным. Примером такого движения является движение педали велосипеда, которая остается параллельной земле.

Движение, при котором все точки тела движутся по окружностям с центром на одной и той же оси, называется вращательным (ось вращений считается при этом неподвижной).

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного. За ось вращения можно выбрать в принципе любую точку твердого тела, но, как правило, удобнее считать центром вращения центр масс, о котором речь пойдет в дальнейшем. Число независимых движений называют числом степеней свободы. У точки таких движений три (движения вдоль осей координат X, Y и Z являются независимыми). У твердого тела, кроме трёх поступательных движений, возможны три вращательных вокруг осей 0X, 0Y, 0Z.

6. Динамика материальной точки

Основные понятия:

Масса – мера количества материи (мера инертных и гравитационных свойств тела или точки).

Сила – причина изменения скорости (количественная мера воздействия)

Инерциальная система отсчета – система отсчета, в которой выполняется I закон Ньютона. В идеале это неподвижная система (сразу встает вопрос: относительно чего?), лишенная ускорения, однако во Вселенной все тела движутся относительно друг друга и вопрос об инерциальности системы отсчета решается только опытным путем через опытную аксиому ньютоновской механики.

Законы классической механики (аксиомы) сформулированы И. Ньютоном в 1687 г. для астрономических расчетов движения небесных тел.

Первый закон утверждает, что существует система отсчета, в которой материальная точка движется равномерно и прямолинейно или покоится, если на нее не действует сила или действия сил скомпенсированы. Такие системы отсчета называют инерциальными. Аналитического выражения I закон не имеет, математически он следствие II закона Ньютона, но в силу важности выбора инерциальной системы отсчета носит ранг самостоятельного закона.

Второй закон: ускорение материальной точки прямо пропорцио-

нально силе и обратно пропорционально массе. Аналитически ;

.

Перепишем закон в виде и заменим на . Получаем (если непостоянная величина):

, где – импульс.

Таким образом, скорость изменения импульса равна действующей силе. В этом виде закон можно применять не только к точке, но и к текущей жидкости.

называют элементарным импульсом силы, а – импульсом силы.

Изменение импульса точки равно импульсу силы: .

Третий закон утверждает, что при взаимодействии двух тел силы взаимодействия равны по величине, но различны по направлению и приложены к разным телам (рис. 11).

Рис. 11.

Из этого закона следует возможность движения в вакууме – реактивного движения. Именно этот закон также позволяет утверждать, что силы натяжения нити, на которой подвешены разные по массе грузы, одинаковы, если массой блока и нити можно пренебречь.

Рис. 12.

т. к. это сила взаимодействия двух тел. Считать, что силы направлены одинаково (рис. 12) нельзя, потому что веревка является связью, которая делает в пространстве некоторое направление выделенным. Силы противоположны по направлению, т. к. одна вызывает вращение по часовой стрелке, а другая – против.

7. Силы в механике

В настоящее время известны четыре типа взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, слабое ядерное и сильное ядерное. В макромире, где размер тел соизмерим с размером тела человека, существенны лишь два первых (хотя в конце XX в. удалось объединить слабое ядерное и электромагнитное). Два последних можно в механике не учитывать. Электромагнитное воздействие выступает в замаскированном виде. Критерий один: что не гравитационное, то по природе электромагнитное.

8. Гравитационное взаимодействие

Все тела (точки, обладающие массой) притягиваются с силой:

Рис. 13.

, м3/кг·с2,

где r – расстояние между точками (центрами сфер) (рис. 13).

Для тела на поверхности Земли , отсюда следует, что м/с2 – ускорение свободного падения.

(На высоте h ускорение свободного падения .

9. Сила упругости Гука (природа электромагнитная)

Для деформированной пружины ,

где – жесткость пружины, – удлинение пружины (её деформация). Знак «-» означает, что сила упругости препятствует деформации.

Для стержня , ,

где – механическое напряжение, F – сила приложения к стержню, S – площадь поперечного сечения, – длина стержня; – абсолютное удлинение, – относительное удлинение, – модуль Юнга, коэффициент пропорциональности между и .

Сила трения покоя меняется в пределах от 0 до, где – коэффициент силы трения скольжения, а N – сила, прижимающая тело к поверхности скольжения.

Сила трения скольжения равна Обычно сила трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, однако при очень хорошей шлифовке поверхности твердого тела или при расчете сопротивления жидкостей и газов такая зависимость появляется.

Сила трения качения меньше силы трения скольжения, она вычисляется по формуле: , где – коэффициент трения качения, а – радиус тела.

При движении тела в жидкостях или газах сила сопротивления зависит от скорости. где – коэффициент сопротивления, а n зависит от скорости движения. При малых скоростях .

Силы реакции опоры. Аналитического выражения нет, зависят от приложенных сил. Определенным является лишь направление: либо вдоль нити подвеса, либо перпендикулярно опоре.

Замечание. Вес тела – это сила, с которой тела давят на опору или растягивают нить подвеса, то есть, согласно III закону Ньютона, эта сила по модулю равна силе реакции опоры, но при записи II закона Ньютона для тела или точки вес тела не используется. т. к. сила приложена к опоре. Невесомость возникает тогда, когда тело перестает давить на опору. Например, когда тело падает под действием силы тяжести. В невесомости масса тела не изменяется и сдвинуть тело не легче, чем на Земле (если не учитывать сил сопротивления).

10. Сложение сил

Силы являются векторами, и если эти вектора пересекаются, то их складывают либо по правилу параллелограмма (рис. 14), либо многоугольника (рис. 15).

Рис. 14.

Рис. 15.

Если силы параллельны, то можно воспользоваться приемом, позволяющим свести эти силы к пересекающимся. Пусть и параллельны и приложены к телу в точках A и B на перпендикуляре к линии сил.

Рис. 16.

Добавим в точке А силу , а в точке В (рис. 16). Результирующие и имеют точку пересечения D и их сумма . Эту силу можно перемещать вдоль линии DC. Положение точки C на АВ найдем из подобия треугольников:; В качестве примера параллельных сил можно рассматривать силы тяжести для отдельных точек твердого тела. Точку, в которой приложена суммарная сила тяжести, называют центром тяжести (центром масс, центром инерции). Положение этой точки легко получить обобщая формулу для расчета координаты точки С в случае двух сил ().

, то есть в случае n - точек:

; ; .

При вычислении положения центра масс используют метод симметрий, метод разбиения на части, метод отрицательных масс.

В первом методе предполагают, что у симметричных тел центр масс находится в центре симметрии (например, у обода центр масс находится в точке, где вообще нет массы, в центре окружности).

Метод разбиения на части позволяет разбить на части сплошное тело (на конечное число точек) и вычислить центр масс по приведенным выше формулам.

Метод отрицательных чисел используется, если симметричное тело имеет полость. Заполняя эту полость веществом с плотностью и , задачу сводят к двум симметричным телам, одни из которых имеют положительную массу, а другие отрицательную. Если на тело действует система из двух равных по модулю, но противоположно направленных сил, то эта система – пара сил, упростить ее нельзя.

11. Принцип относительности Галилея

Принцип относительности Галилея утверждает, что никакими механическими опытами невозможно определить, покоится система или движется прямолинейно и равномерно. Иными словами, если известна одна инерциальная система отсчёта, то любая система, движущаяся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно, также является инерциальной и в ней выполняется II закон Ньютона. Убедимся в этом. Пусть X, 0, Y – неподвижная система отсчёта, а X', 0', Y' движется относительно X ,0, Y со скоростью |υ0| = const вдоль оси X. Правила перехода от координат одной системы к координатам другой называются преобразованиями Галилея. Очевидно, что проекция точки µ на X и X' (рис. 17).

В классической механике предполагается, что , отсюда ;

, и

Рис. 17.

Поскольку масса и сила от системы отчёта не зависят, то выполняется в обеих системах отсчёта.

12. Неинерциальные системы отсчёта

Если система движется относительно инерциальной с ускорением, то это неинерциальная система и в ней II закон Ньютона можно записать, используя правила сложения ускорений: