VI всероссийский турнир математических боёв

VI ВСЕРОССИЙСКИЙ ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЁВ

4 тур, 15 апреля 2009 г.

1.  Вычислить предел .

2.  На доске записано выражение xn + * xn – 1 + * xn – 2 + … + * x + *. Двое играющих по очереди пишут на месте звездочек в порядке их следования числа из набора 2, 4, … , 2п, каждое число используется по одному разу. Задача первого – добиться, чтобы в итоге получился многочлен, который нельзя разложить в произведение двух целочисленных многочленов положительной степени; задача второго – ему помешать. Может ли первый игрок добиться своей цели?

3.  Две стороны треугольника равны а и b, угол между ними g. Найдите биссектрису, выходящую из вершины этого угла.

4.  Определим на множестве нечетных натуральных чисел преобразование h2 по следующему правилу. Пусть имеем каноническое разложение числа п на простые множители: n = . Полагаем по определению h2(n)= ; h2(1) = 1. Докажите, что для любого n при некотором натуральном m композиция (h2)m(n) будет полным квадратом.

5.  Среди 12 монет одна фальшивая, отличается по весу от остальных. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти ее и определить, легче или тяжелее она остальных?

6.  Докажите, что если функции f(x), g(x), h(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b), то существует точка сÎ(a, b) такая, что = 0.

7.  Из чисел 1, 2, … , 200 выбрали 101 число. Докажите, что среди выбранных чисел есть пара таких, что одно делится на другое.

8.  Найдите площадь фигуры, задаваемой на координатной плоскости Оху системой

9.  В однокруговом турнире участвовали 8 шахматистов. Все они набрали разное количество очков. Занявший второе место набрал столько же очков, сколько набрали вместе шахматисты, занявшие места с 5-го по 8-е. Как сыграли между собой занявшие 3-е и 5-е место?

4 тур. Решения задач

1. Рассмотрим функцию f(x) = xx. Имеем f(1) = 1. Замечаем, что =, это и есть искомый предел. Имеем , и .

2. Может. На своих ходах первый игрок должен писать числа вида 4k, пока такие числа остаются. Тогда к последнему ходу останется четное число, не делящееся на 4, и получившийся многочлен будет неприводим над полем рациональных чисел по критерию Эйзенштейна.

3. Найдем площадь треугольника: S = ab sin g. Пусть х – длина гипотенузы. Найдем S как сумму площадей треугольников, на которые исходный треугольник разбивается гипотенузой:

S = . Отсюда x = .

4. Имеем h2(n2) = (h2(n))2), поэтому если на некотором шаге применения преобразования получим полный квадрат, то и на следующих шагах будут полные квадраты. Далее, h2(n1n2) = h2(n1) h2(n2), поэтому утверждение достаточно доказать для простых чисел. В паре простых чисел – близнецов меньший назовем нижним близнецом, больший – верхним. Если p – нижний близнец, то h2(p) = p + 2 также является простым числом, верхним близнецом. В противном случае p + 2 является составным числом и разлагается в произведение простых множителей, каждый из которых меньше p. Для нижнего близнеца р > 3 за два шага получаем (h2)2(p) = p + 4. Это также составное число, которое разлагается в произведение простых множителей, каждый из которых меньше p. Поэтому в результате последовательного выполнения преобразования простые множители в разложении получающихся чисел уменьшаются, и через некоторое число шагов придем к числу, в разложение которого входят только множители 3, 5, 7. Это число имеет вид с некоторыми неотрицательными , , . На следующих шагах последовательно получим , , = , то есть полный квадрат.

5. Первым взвешиванием кладем на чашки по четыре монеты. Если они окажутся в равновесии, то все они настоящие, а фальшивая монета среди оставшихся четырех. Кладем на левую чашку две из них, на правую одну и еще одну настоящую. Если будет равновесие, то фальшивая монета четвертая, и третьим взвешиванием сравниваем ее с настоящей. Если левая чашка перевесит, то третьим взвешиванием сравниваем две монеты с нее. Если будет равновесие, то фальшивая монета – неизвестная с правой чашки, и она легче настоящей. Если одна монета перевесит, то она и будет фальшивой.

Если ли на первом взвешивании одна чашка перевесит, то четыре оставшиеся монеты – настоящие. Вторым взвешиванием кладем на левую чашку три монеты с тяжелой чашки и две с легкой, на правую – одну с тяжелой и четыре настоящих. Рассматриваем случаи:

1) Перевесила левая чашка. Тогда фальшивая монета среди трех тяжелых, определяем ее третьим взвешиванием.

2) Перевесила правая чашка. Тогда фальшивая монета либо тяжелая на ней, либо одна из двух легких с левой чашки. Сравнив их друг с другом третьим взвешиванием, определяем фальшивую.

3) Весы оказались в равновесии. Тогда фальшивая монета одна из двух оставшихся с легкой чашки. Сравниваем их друг с другом третьим взвешиванием и определяем фальшивую.

6. Рассмотрим функцию . Имеем j(а) = j(b) = 0, и по теореме Ролля существует точка сÎ(a, b) такая, что j¢(с) = 0. Так как при вычислении определителя получается линейная комбинация функций f(x), g(x), h(x), то . Отсюда следует утверждение задачи.

7. Представим каждое число в виде 2k×т, где т – нечетное. Имеется 100 различных значений т. Значит, среди выбранных чисел найдутся два с одинаковыми значениями т. Одно из них кратно другому.

10.  Найдите площадь фигуры, задаваемой на координатной плоскости Оху системой

8. Для построения фигуры, задаваемой первым неравенством, раскрываем модули, рассматривая все комбинации знаков выражений под модулями. Получаем шестиугольник, изображенный на рисунке. Он симметричен относительно прямой y = x. Можно точно определить всю область F, задаваемую системой неравенств (на рисунке она заштрихована; криволинейная граница задается уравнением y = 1/x). Но в этом нет необходимости. Если точка (x0, y0) удовлетворяет второму неравенству, то симметричная ей относительно прямой y = x точка (y0, x0) не удовлетворяет, и наоборот. Поэтому в шестиугольнике заштрихованная и незаштрихованная части симметричны относительно прямой y = x и имеют равные площади, равные половине площади шестиугольника, то есть 24.

9. Максимальное количество очков, которое мог набрать шахматист, – 7. Если второй набрал 6,5 очков, то он сыграл вничью с первым и набрал с ним одинаковое число очков. Значит, второй набрал не более 6 очков. Последние четверо между собой сыграли 6 игр и набрали при этом вместе 6 очков. Значит, больше очков они не набрали и всем остальным проиграли. Отсюда третий выиграл у пятого.