Олимпиадные задания по математике для учащихся 7-8 классов
1. Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают 25 % стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей 10 %. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?
Решение. Пусть Петя вначале купил 20 карандашей. Ему вернули 25% их стоимости, то есть цену 5 карандашей, да ещё на 10 карандашей у него осталось маминых денег. Купив 15 карандашей, то есть три раза по 5, Петя получил назад 10% их стоимости, то есть стоимость полутора карандашей. За эти деньги он сможет купить ещё один карандаш. Всего получится 36 карандашей.
2. Пете мама тоже дала денег на карандаши. Условия рекламной акции такие же (см. задачу 1). Петя постарался купить как можно больше карандашей и в результате он смог купить на 12 карандашей больше, чем просила мама. На сколько карандашей мама давала денег?
Решение. Пусть мама дала Васе денег на 49 карандашей. Купив вначале 40 карандашей, он на сумму скидки сможет купить ещё 10, да ещё на 9 карандашей у него останется маминых денег. Купив ещё 15 карандашей, он получит назад цену полутора карандашей, и всего у него окажется денег ещё на 5,5 карандашей. Купив ещё 5 карандашей, он получит назад стоимость половины карандаша и сможет купить ещё один карандаш. В итоге его «премия» составит как раз 12 карандашей. Проверьте сами, что если бы у Васи было денег не на 49, а на 48 карандашей, «премия» составила бы 11 карандашей плюс стоимость половины карандаша, на которую карандаш не купить, а если на 50, то «премия» составила бы 15,5 карандаша за счёт того, что Вася смог бы купить не 2, а 3 раза по 20 карандашей. Таким образом, ответ – 49.
3. Закрасьте в квадрате 9 × 9 несколько клеток так, чтобы из центра квадрата не были видны его стороны (то есть любой луч, выходящий из центра, задевал какую-нибудь закрашенную клетку хотя бы по углу). Нельзя закрашивать клетки, соседние по стороне или углу, а также центральную клетку.
Решение (одно из возможных) — на рисунке справа.
4. В вершинах правильного девятиугольника расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, после чего на каждой диагонали пишут произведение чисел, стоящих на её концах. Можно ли так расставить числа в вершинах, чтобы все числа на диагоналях были разные?
Решение. Можно, например, так: -4-5-7. Чтобы понять, как можно придумать такой пример, заметим, что есть только 6 чисел, которые представляются в виде произведения двух однозначных чисел двумя способами: 6 = 1´6 = 2´3, 8 = 1´8 = 2´4, 12 = 2´6 = 3´4, 18 = 2´9 = 3´6, 24 = 3´8 = 4´6, и нам надо лишь позаботиться, чтобы для каждого из этих шести чисел сомножители какого-то из двух его разложений стояли в соседних вершинах девятиугольника. Если это понять, пример легко подбирается.
5. Среди чисел a, b, c есть два одинаковых. А оставшееся число –другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв a, b, c, знаков +, −, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)
Ответ. Например, a+b+c–2
.
