Математика (стр. 3 )

Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: у0=2 при х0=0. Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:

2=(0+С) е0, так как е0=1, то С=2.

Подставляя найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:

у=(х+2)е2х.

Ответ:

у=(х+С)е2х – общее решение дифференциального уравнения;

у=(х+2)е2х – частное решение дифференциального уравнения.

Пример 2.

Ищем решение в виде у=uv.

Найдем производную: y/=u/v+uv/.

Подставим в исходное уравнение у и у/:

Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:

Подберем вспомогательную функцию v(x) из условия:

Тогда уравнение примет вид:

Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение v(x), соответствующее С=0.

Таким образом, - общее решение данного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: , подставив их в найденное общее решение:

Подставим С=-2, в общее решение уравнения:

- искомое частное решение.

Ответ:

- общее решение;

- частное решение.

Пример 3.

Ищем решение в виде у=uv, тогда y/=u/v+uv/.

Подставим у и у/ в данное уравнение:

Потребуем, чтобы (x2+1)v`+xv = 0, тогда (x2+1)u`v=1.

Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при С=0.

Так как y=uv, то

  - общее решение исходного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям х0=1; у0=2 и подставим их в найденное общее решение:

Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение С=20/3:

Ответ:

- общее решение;

- частное решение.

Замечание.

Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получиться верное равенство (тождество).

Числовые ряды

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Пример 1. Написать пять первых членов ряда, -ый член которого имеет вид: .

Первые пять членов ряда имеют порядковые номера, соответственно, . Подставляя эти значения в формулу общего члена, получим:

Пример2. Написать -ый член ряда .

Так как все члены ряда с четными номерами отрицательны, а с нечетными – положительны, то в записи общего члена будет .

Величина под квадратным корнем в числителе отличается от порядкового номера на 1: при имеем , при имеем , при имеем . Следовательно, в общем случае, при имеем .

В знаменателе, очевидно, будет стоять факториал некоторой величины. Напомним, что

.

Тогда при имеем в знаменателе , при имеем , при имеем . Тогда, в общем случае, при имеем .

Получаем общий член ряда в виде:

.

Пример 3. Используя необходимый признак сравнения, исследовать сходимость ряда .

Согласно необходимому признаку сходимости ряда, если числовой ряд сходится, то предел его общего члена при будет равен нулю:

.

В нашем примере общий член ряда

.

Найдем предел общего члена:

.

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

Отметим, что, так как данный признак является необходимым, но не достаточным, то из равенства предела общего члена нулю, еще не следует сходимость данного ряда. В этом случае нужно применить дополнительные методы исследования сходимости рядов.

Пример 4. Используя признак сравнения, исследовать сходимость ряда:

Согласно признаку сравнения рядов, если для двух рядов с неотрицательными членами и для всех n выполняется неравенство , то из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а из расходимости первого ряда, следует расходимость второго.

Для того, чтобы воспользоваться признаком сравнения, нужно выбрать для сравнения один из эталонный рядов:

1. - гармонический ряд. Этот ряд расходится.

2. - обобщенный гармонический ряд. Сходится при , расходится при .

3. - геометрический ряд. Сходится при , расходится при .

В нашем случае для сравнения выберем геометрический ряд

, следовательно, эталонный ряд будет сходящимся.

Каждый член исходного ряда будет меньше соответствующего члена эталонного ряда , т. е. .

Поэтому исходный ряд тоже будет сходиться.

Пример 5. Используя признак сравнения, исследовать сходимость ряда: .

В качестве эталонного ряда выберем для сравнения гармонический ряд .

Так как, начиная со второго члена (), каждый член исходного ряда будет больше соответствующих членов расходящегося эталонного ряда

,

то исходный ряд тоже будет расходиться.

Пример 6. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд .

Согласно признаку Даламбера, если предел отношения -го члена ряда к -му

будет меньше единицы, то ряд сходится, если же этот предел больше единицы, то ряд расходится. Если такой предел окажется равным единице, то о сходимости данного ряда судить на основании этого признака нельзя.

В нашем примере:

Составляем предел:

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд будет сходиться.

Пример 7. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

По признаку Лейбница, знакочередующийся ряд будет сходиться, если выполняются два условия:

Члены ряда убывают по абсолютной величине: Предел общего члена при равен нулю: .

Проверим заданный ряд на выполнение этих условий.

1.

- каждый последующий член ряда меньше предыдущего, поэтому первое условие признака Лейбница выполняется.

2.

(При нахождении этого предела мы свели предел числителя и знаменателя ко второму замечательному пределу и учли, что

Следовательно, и второе условие признака Лейбница выполняется, поэтому данный ряд будет сходиться.

Пример 8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременный ряд

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда.

Исследуем заданный ряд на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из модулей членов исходного ряда:

Для исследования сходимости применим признак Даламбера:

Тогда

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 9. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременный ряд

Сначала исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Составляем ряд из модулей членов данного ряда:

Для исследования сходимости полученного ряда, применим признак сравнения. В качестве эталонного ряда для сравнения используем гармонический ряд: :

.

Так как члены нашего ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, то наш ряд не будет иметь абсолютной сходимости.

Исследуем ряд на условную сходимость. Так как ряд знакочередующийся, то применим признак Лейбница:

1.

- каждый последующий член ряда меньше предыдущего, поэтому первое условие признака Лейбница выполняется.

2.

Второе условие признака Лейбница также выполняется: предел общего члена ряда равен нулю. (Отметим, что предел находили, используя правило Лопиталя).

Следовательно, ряд будет условно сходящимся.

Пример 10 Найти область сходимости степенного ряда: .

Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

По признаку Даламбера этот ряд сходится при тех значениях , при которых выполняется условие:

В нашем случае

Тогда:

По признаку Даламбера, чтобы ряд сходился, должно выполняться условие

Таким образом, исходный ряд сходится на промежутке .

Исследуем сходимость этого ряда на концах промежутка.

При ряд принимает вид:

Это гармонический ряд , который расходится. Поэтому при наш ряд будет расходящимся.

При ряд принимает вид:

Это знакочередующийся ряд, исследуем его на абсолютную и условную сходимость.

Составляем ряд из абсолютных значений:

Получили опять расходящийся гармонический ряд. Следовательно абсолютной сходимости нет. Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница:

1.

- каждый последующий член ряда меньше предыдущего, поэтому первое условие признака Лейбница выполняется.

2.

Второе условие признака Лейбница также выполняется: предел общего члена ряда равен нулю. Поэтому данный ряд будет условно сходиться.

Таким образом, область сходимости исходного ряда будет: .

Пример 11. Разложить функцию в ряд Маклорена.

1 способ.

Используем формулу непосредственного разложения функции в ряд Маклорена:

Находим производные заданной функции:

функции и производных при :

Подставляем полученные значения в формулу для разложения функции в ряд Маклорена:

2 способ:

Представим

Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена для функции :

Тогда разложение функции будет:

Имеем для заданной функции:

Нетрудно видеть, что результат, полученный обоими способами, совпадает.