ПРОБЛЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ

, к. ф.-м. н., доцент,

Новгородский государственный университет,

*****@***ru

При подготовке специалистов с в области современных информационных технологий необходимо учитывать высокую сложность тех объектов, систем, явлений и процессов, с которыми они столкнуться в своей профессиональной деятельности. Чтобы приблизить содержание проблем и отдельных прикладных задач к соответствующим реалиям, в образовательном процессе необходимо использовать интерактивные ресурсы высокой сложности (ИРВС), отражающие особенности профильных задач со сложным алгоритмическим содержанием.

Практически безальтернативным путем создания ИРВС служит использование систем компьютерной математики (СКМ) MathCad, Maple, Mathematica и др., которые предназначены для решения задач высокой сложности. Многообразие классов задач, решаемых с помощью СКМ, делают их незаменимыми элементами современного образовательного процесса. Это было отмечено на выездной сессии НМС по математике Минобрнауки РФ (Набережные Челны, 27.02.2006, [1]).

Применение вычислительной техники в образовательном процессе в состоянии сбалансировать учебный процесс по составляющей «теория – практика», обеспечить интенсивное приобретение знаний, навыков, умений. Однако компьютер может служить необходимым средством достижения такого баланса, при выполнении, по крайней мере, трех условий:

§  наличия требуемого программного обеспечения для решения задач различных классов;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

§  достаточная подготовленность слушателей к практическому применению компьютеров и использования соответствующего ПО;

§  достаточная подготовленность преподавателей к практическому применению компьютеров и использованию соответствующего ПО.

Для учебного заведения негласно требуется использование лишь лицензионного ПО, поэтому легитимное применение ИРВС во время аудиторных занятий возможно лишь в случае лицензионных систем компьютерной математики. Например, версия MathCad single-user стоит около 1300 USD. В одним из способов решения проблемы может быть использование новых продуктов от разработчиков MathCad – Mathsoft Ehgiheering & Education – MathCad Application Server (MAS) [2]. MAS обеспечивает доступ к интерактивным материалам и расчётам с помощью стандартного ПО, не требуя установки дополнительных программ или модулей. Располагая множеством встроенных функций, MAS позволяет решать широкий спектр прикладных задач, получать численные, символьные и/или графические результаты. И хотя в мире существуют пока единичные экземпляры MAS, этот проект активно развивается и перечень интерактивных ресурсов пополняется.

Следовательно, становится все более актуальным вопрос о достаточной подготовленности слушателей к практическому применению компьютеров и использования соответствующего ПО. С каждым годом возрастает число студентов, которые уже на младших курсах знакомы с теми или иными системами компьютерной математики (СКМ) MathCad, Maple, Mathematica и т. д. и активно используют их при решении разнообразных учебных задач. Естественно, используя компьютер для решения поставленной задачи, наши студенты ошибочно полагают, что задача решена, как только она в достаточной степени формализована

Зачастую пользователи персональных компьютеров склонны преувеличивать возможности техники и не могут ни правильно интерпретировать результаты численных расчетов, ни оценить их достоверность. Такую же трудность вызывают и используемые в математических методах численные оценки погрешности, которые студенты склонны вовсе игнорировать, что зачастую катастрофически отражается на результате.

Хорошая подготовка специалиста в области современных информационных технологий подразумевает умение формализовать практическую задачу, решить соответствующую вычислительную задачу и дать интерпретацию полученных формальных результатов. Другими словами, современный хорошо подготовленный специалист – это в определённой степени (причём немалой) специалист в области математического моделирования. Математическое моделирование информационно обеспечивает оптимальные (или рациональные) характеристики высоких технологий, наукоемких изделий, новых материалов и совершенствование существующих решений.

При использовании численных методов для решения тех или иных вычислительных задач математического моделирования необходимо различать свойства самой задачи и свойства вычислительного алгоритма, предназначенного для ее решения, а также понимать границы адекватности математической модели.

Говорят, что задача поставлена корректно, если решение существует и единственно и непрерывно зависит от входных данных. Последнее свойство называется также устойчивостью относительно входных данных. Однако корректность исходной математической задачи еще не гарантирует хороших свойств численного метода ее решений и требует специального исследования обусловленности задачи, т. е. изучения возможности получения приемлемого решения при существующих неустранимых погрешностях исходных данных. Например, вычисление значения синуса разложением в ряд при больших значениях аргумента, вычисление определённого интеграла с помощью рекуррентных формул – примеры применения некорректных алгоритмов для хорошо обусловленных задач. Отсутствие верного численного результата, гарантированного математическим анализом – ряд сходящийся, интеграл правильный – ставит студентов в тупик

Учитывая распространенность систем линейных алгебраических уравнений (так как часто именно к ним сводится решение многих практических задач), следует особое внимание обратить на количественные характеристики степени неопределённости таких задач. Знание таких характеристик позволит обоснованно судить о корректности применяемой модели, грамотно подбирать методы и строить алгоритмы решения задач, правильно трактовать полученные результаты. Модельные примеры, использующие, как правило, целочисленные коэффициенты, сознательно обходят скользкие места.

Наиболее часто используемые математические методы – методы обработки результатов измерений [3] требуют разработки устойчивых методов решения как корректных, так и некорректных прикладных задач. Практика решения таких классов задач показывает, что некорректные задачи весьма нередки, однако многие специалисты, сталкивающиеся с такими задачами, не только не умеют их грамотно решать, но и не знают о существовании задач такого типа.

Следовательно, крайне важно в преподавании математических дисциплин не столько ознакомить студентов со стандартными численными методами, сколько донести до сознания будущего специалиста, что нельзя пользоваться программным обеспечением вслепую, без понимания того, для какого круга задач он предназначен, без анализа решаемой вычислительной задачи на корректность и обусловленность, без анализа используемых алгоритмов с точки зрения чувствительности к погрешностям входных данных, без оценки погрешности результатов.

Разрыв между общей теорией численного анализа, базирующейся на достижениях математического и функционального анализа, и уровнем практического использования пользователями методов вычислительной математики и численного анализа еще более увеличился в последнее время в результате повсеместного использования компьютеров. Пакеты прикладных программ зачастую используются как чёрный ящик, позволяющий по заданной входной информации получить выходную информацию. Само по себе использование компьютеров не позволяет решить вычислительную задачу, а лишь дает в руки исследователя мощный инструмент познания. Использование вычислительной техники не только не освобождает от необходимости глубоко осмысливать решаемую проблему, но и заставляет уделять докомпьютерному анализу гораздо больше внимания. И при использовании готовых пакетов прикладных программ, а тем более при разработке собственных программ, уверенное владение методами и методологией вычислительной математики являются главной компонентой грамотного решения поставленной задачи.

В постановке задачи, характерной для классической математики, предполагалось, что аргумент функции задается абсолютно точно и ему соответствует единственное абсолютно точное значение функции. Однако в реальных компьютерных вычислениях величины всегда известны с погрешностью, то есть вместо их точного значения задается некоторое множество, к которому принадлежит и интересующее нас точное значение. Соответственно вместо точного значения функции мы должны найти множество ее приближенных значений, близкое (с точки зрения определенных критериев) к точному.

Для того чтобы приближенные вычисления имели практический смысл, необходимо выполнение требования сходимости. Оно заключается в том, что если множество приближенных значений аргумента сходится к его точному значению, то множество приближенных значений функции, вычисленных для приближенного аргумента, также должно сходиться к ее точному значению.

До 60-х годов в математике, как правило, применялись так называемые тривиальные алгоритмы, когда каждому множеству приближенных значений аргумента сопоставлялось множество соответствующих им значений функций. Принципиальный недостаток тривиального алгоритма заключается в том, что он является регуляризующим (удовлетворяющим требованию сходимости) только для непрерывных функций, тогда как практические задачи часто приводят к необходимости приближенного вычисления разрывных функций. Для широкого класса разрывных функций оказалось возможным сконструировать вычислительный алгоритм, опираясь на идеи дескриптивной теории функций.

При этом вычислительная практика, принятая в высшей школе, осталась на прежнем рубеже полувековой давности. Изложение численных методов, линейной алгебры, дифференциальных уравнений, математической физики, концепций современного естествознания ведется так, будто никаких проблем с получением численного решения не существует. Даже магистров по направлению 010500.68 – «Прикладная математика и информатика», имеющих в программе подготовки курс о некорректных задачах, нельзя в достаточной мере ознакомить со способами решения таких задач, так как в программе подготовки магистров (и бакалавров) разделы функционального анализа полностью отсутствуют.

Следовательно, для успешной профессиональной деятельности в области современных информационных технологий необходимыми являются понятия, недостаточно освещаемые в традиционных математических курсах – понятия корректности вычислительной задачи, т. е. выяснение вопроса существования и единственности решения, исследование устойчивости решения к погрешностям входных данных, понятие обусловленности вычислительной задачи, а также понятия корректности и обусловленности вычислительных алгоритмов. Специалисты должны уверенно пользоваться этими понятиями и твердо представлять, что никакие усилия, затраченные на организацию изощрённых вычислений в плохо обусловленной задаче, не помогут получить правильное решение, что плохо обусловленный алгоритм, применяемый для решения хорошо обусловленной задачи, тоже навряд ли даст верный результат.

Литература

1.  И, Значение программных систем компьютерной математики в математическом образовании. Сб. материалов выездного заседания НМС по математике Министерства образования и наукиРФ. Наб. Челны. 2006,с.136-148.

2.  MAS на занятиях по математике, физике, информатике…. Журнал «Компьютерные учебные программы и инновации». №2, 2006.

3.  Сизиков методы обработки результатов измерений. СПб., Политехник, 20с.