Основные типы уравнений

математической физики

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

уравнение теплопроводности

и уравнение Лапласа

Уравнение колебаний струны.

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

u(0,t)=0, u(l, t)=0.

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

u(x,0)=f(x).

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

при начальных условиях

, ,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

dx – adt=0 и dx + adt=0,

интегралами которых служат прямые

x – at=C1, x + at=C2.

Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

Вычисляя производные

, ,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству . Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Интегрируя последнее равенство, получим:

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

находим

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

или

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение при начальных условиях , .

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

(метод Фурье)

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(0,t)=0, u(l, t)=0, (10), (11)

u(x,0)=f(x), . (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

u(x, t)=X(x)·T(t).

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (15)

Общее решение этих уравнений

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и .

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

откуда,

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная , можем записать

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

, 0<x<1, 0<t<∞,

удовлетворяющее начальным условиям u(x,0)=x(x-1),

и граничным условиям u(0,t)=0, u(1,t)=0.

Так как , то согласно формуле (16) решение заданного уравнения ищем в виде

Коэффициенты Cn и Dn найдем по формулам (17). При вычислении интегралов используем формулу интегрирования по частям.

Итак, искомое решение уравнения имеет вид

Уравнение распространения тепла в стержне

Рассмотрим однородный стержень длины l. Предположим, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Если стержень предоставить самому себе, то заключенное в нем тепло будет протекать от более нагретых мест к менее нагретым, и температура стержня с течением времени станет выравниваться. На этот процесс будет влиять также режим, который поддерживается на концах стержня. Задача состоит в том, чтобы, зная этот режим и распределение температуры в начальный момент времени t=0, найти это распределение в последующие моменты.

Ось Ox располагают так, что один конец стержня совпадает с точкой x=0, а другой – с точкой x=l. Обозначим через u(x,t) температуру в сечении стержня с абсциссой х в момент времени t.

Функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению

Это уравнение и называется уравнением распространения тепла (уравнением теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения было определенно, функция u(x,t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Так называемая первая краевая задача для 0≤t<∞, 0<x<l заключается в следующем:

u(x,0)=φ(x), u(0,t)=ψ1(t), u(l,t)=ψ2(t). (18), (19), (20)

Начальное условие (18) соответствует тому, что при t=0 в различных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Граничные условия (19) и (20) соответствуют тому, что на концах стержня при x=0 и x=l поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.

Решение уравнения теплопроводности

Пусть в начальный момент времени задана температура в различных сечениях стержня. Концы стержня погружены в тающий лед, т. е. в них поддерживается постоянная температура равная нулю. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. Таким образом, нужно найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=φ(x), u(0,t)=u(l,t)=0.

Применяя к решению поставленной задачи метод разделения переменных можно получить решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, в виде

. (21)

Коэффициенты Аn выбираются так, чтобы удовлетворялось начальное условие, согласно которому будем иметь

Заметим, что из равенства (21) следует, что при t→+∞ функция u(x,t)→0. Физический смысл этого соотношения ясен: с течением времени в стержне установится температура льда, в который погружены его концы.

Если стержень очень длинный, то на процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает начальное распределение температуры. В задачах такого типа стержень считается бесконечным. Краевые условия при этом не учитываются, и на искомую функцию u(x,t) накладывают только начальное условие

u(x,0)=φ(x), (22)

где функция φ(x) определена на всей числовой оси. Задача решения уравнения теплопроводности при условии (22) называется задачей Коши.

Метод разделения переменных позволяет найти решение уравнения в следующем виде

Функции А(λ) и В(λ) выбирают так, чтобы выписанное решение удовлетворяло начальному условию (22). Полагая в последнем равенстве t=0, получим

Сравнивая интеграл в правой части равенства с интегралом Фурье для функции φ(x):

видим, что

Подставляя найденные выражения А(λ) и В(λ) в функцию u(x,t) и преобразовывая ее, окончательно получим

Краевые задачи для уравнения Лапласа

К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных, т. е. не меняющихся во времени процессов различной физической природы. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа

Например, если имеется однородная пластина, занимающая область D, ограниченную линией L, то можно показать, что температура в различных точках пластины должна удовлетворять уравнению

Если процесс установившийся, т. е. температура не зависит от времени, а зависит только от координат точек пластины, то и, следовательно, температура удовлетворяет уравнению Лапласа

. (23)

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций с помощью дополнительного условия, которое чаще всего является краевым. Так, чтобы температура на пластине определялась однозначно, нужно знать температуру на контуре L пластины. Таким образом, требуется найти функцию u(x,y), удовлетворяющую уравнению (23) внутри области D и принимающую в каждой точке M кривой L заданные значения:

. (24)

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (23).

Если на границе L температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке кривой, который пропорционален производной функции u по направлению вектора , где - единичный вектор, направленный по нормали к кривой, то вместо условия (24) на границе области будем иметь условие

. (25)

Задача нахождения решения уравнения (23), удовлетворяющего краевому условию (25), называется задачей Неймана или второй краевой задачей.

Если вместо плоской пластины задано однородное тело Т, ограниченное поверхностью σ, то функция u будет функцией трех переменных и должна удовлетворять уравнению

Краевые условия (24) или (25) в этом случае должны выполняться на поверхности σ.

Заметим, что задача Дирихле решается просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция u зависит только от одной из координат.

В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и его решением является линейная функция u=Ax+B. Задача Дирихле в этом случае имеет решение , где u(0)=u0, u(l)=ul.

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Решение задачи Дирихле для кольца

Пусть u(x,y,z) – гармоническая функция. Тогда

или Δu=0.

Рассмотрим цилиндрические координаты

откуда

Заменяя независимые переменные x, y, z на r, φ и z, придем к функции u(r,φ,z). Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, можно доказать, что найденная функция u(r,φ,z) должна удовлетворять уравнению

Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Если функция u не зависит от z, а только от x и y, то функция u(r,φ) будет удовлетворять уравнению

, (26)

где r и φ – полярные координаты на плоскости.

Найдем решение уравнения Лапласа в области D, ограниченной окружностями L1: x2+y2=R12 и L2: x2+y2=R22 , если это решение принимает следующие граничные значения:

, (27)

где u1, u2 –постоянные.

Решим эту задачу в полярных координатах. Целесообразно искать решение, не зависящее от φ, так как граничные условия от φ не зависят. Уравнение (26) в этом случае примет вид

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Интегрируя уравнение, найдем

. (28)

Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий (27)

, .

Подставляя найденные значения С1 и С2 в формулу (28), окончательно получим

Замечание. Фактически мы решили следующую задачу: найти функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): r=R1, r=R2, z=0, z=H, и следующим граничным условиям:

(задача Дирихле-Неймана).

Решение задачи Дирихле

для уравнения Лапласа в круге

Рассмотрим на плоскости xOy круг с центром в начале координат радиуса R. Пусть на его окружности задана некоторая функция r=f(φ), где φ – полярный угол. Найдем функцию u(r,φ), удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

(29)

и на окружности принимающую заданные значения

Решение задачи ищут методом разделения переменных, полагая

Подставляя эту функцию в уравнение (29), получим

или

Левая часть этого равенства не зависит от r, а правая от φ, следовательно, они равны постоянному числу, которое обозначили через -k2. Таким образом, нашли два дифференциальных уравнения

, (30)

. (31)

Общее решение первого из этих уравнений будет

Второе уравнение является уравнением Эйлера. Его решение найдем в виде . Подставив выписанную функцию в уравнение (31), найдем два частных линейно независимых решения rk и r-k. Тогда общее решение уравнения (31) запишется в виде

Итак,

. (32)

Полученная функция будет решением данного уравнения при любом значении k, отличном от нуля. Если k=0, то уравнения (30) и (31) принимают вид

Откуда получаем

Так как решение должно быть периодической функцией от φ с наименьшим положительным периодом 2π, то в найденном выражении для u0 B0=0. Далее функция u(r,φ) должна быть непрерывной и конечной в круге, поэтому D0=0 и Dk=0.

Решение исходной задачи будем составлять в виде суммы решений (32). Сумма должна быть периодической функцией от φ. Для этого k должно принимать целые значения. Итак,

. (33)

Постоянные An и Bn находят так, чтобы выполнялось краевое условие задачи. Подставляя в выражение для u(r,φ) значение r=R, получим

Найденная сумма является рядом Фурье для функции f(φ) на интервале (-π, π). Следовательно, An и Bn должны определяться по формулам

, , . (34)

Таким образом, ряд (33) с коэффициентами, определенными по формулам (34), будет решением поставленной задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по r и φ.

Пример. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа Δu=0 в круге 0≤r<2, принимающее на границе круга значения .