МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Кафедра автоматизированных систем управления
УТВЕРЖДАЮ
Зав. кафедрой АСУ
профессор, д-р. техн. наук
___________
«12» марта 2013 г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ, ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
По дисциплине «Прикладная математическая статистика»
Уровень основной образовательной программы магистратура
Направление подготовки: Прикладная математика и информатика 010400
Магистерская программа Математическое и программное обеспечение вычислительных комплексов и компьютерных сетей
Разработчик
Профессор кафедры АСУ
__________
Томск 2013
Методические указания по практическим занятиям и самостоятельной работе по дисциплине «Прикладная математическая статистика» составлены в соответствии с программой и включают в себя тематику практических занятий и лабораторных работ, их содержание, список тем предложенных для самостоятельного изучения, список вопросов для подготовки к экзамену и рекомендуемую литературу. Методические указания предназначены для магистров по направлению 010400 «Прикладная математика и информатика».
1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ
Тема 1. Введение в прикладную статистику;
Тема 2. Основы численного моделирования;
Тема 3. Оценка параметров распределений вероятностей;
Тема 4. Методы анализа законов распределения вероятностей случайных величин;
Тема 5. Проверка гипотез о значениях параметров распределений;
Тема 6. Методы исследования связей между случайными величинами
Тема 7. Спектральный анализ случайных процессов;
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ (18 часов)
Практическое занятие№1 (2 часа, самостоятельная работа 3 часа)
Тема: Распределения вероятностей случайных величин: нормальное, Пирсона, Стьюдента, экспоненциальное, равномерное, биномиальное, Пуассона.
Содержание занятия:
1. Законы распределения случайных величин: равномерное, нормальное, экспоненциальное, Пирсона, Стьюдента, биномиальное, Пуассона;
2. Аппроксимации распределений и асимптотики, области применения распределений при решении практических задач математической статистики;
3. Вычисление вероятностей попадания случайных величин с заданными законами распределения в данный интервал 
, использование асимптотических форму, таблиц, пакета Mathcad;
Практическое занятие№2 (2 часа, самостоятельная работа 3 часа)
Тема: Предварительная обработка выборочных данных: порядковые статистики, гистограммы, выборочные моменты, эмпирическая функция распределения.
Содержание занятия:
1. Изучение возможностей пакета Mathcad для предварительной обработки выборочных данных. Формирование порядковых статистик, гистограмм, вычисление выборочных моментов, построение эмпирических функций распределения;
2. Получение выборочных данных с заданным законом распределения и их предварительная обработка в среде Mathcad.
Практическое занятие№3 (2 часа, самостоятельная работа 3 часа)
Тема: Реализация алгоритмов численного моделирования случайных величин с заданным законом распределения.
Содержание занятия:
1. Метод обратных функций для моделирования случайных величин с заданным законом распределения, реализация метода для заданного закона распределения;
2. Изучение возможностей пакета Mathcad для моделирования случайных величин с типовыми законами распределений (нормальное, экспоненциальное, Стьюдента, равномерное);
3. Контрольная работа. Тема «Предварительная обработка выборочных данных».
Практическое занятие№4 (2 часа, самостоятельная работа 3 часа)
Тема: Реализация алгоритмов моделирования гауссовских случайных процессов
Содержание занятия:
1. Реализовать три алгоритма моделирования гауссовских случайных величин (Астафуров операций: методические указания по выполнению лабораторных работ.− Томск: ТУСУР, 2007. − 58 с).
2. Сформировать три выборки независимых нормальных случайных величин с помощью реализованных алгоритмов, для каждой выборки построить гистограммы, найти оценки среднего и дисперсии. Сравнить полученные результаты.
Практическое занятие№5 (2 часа, самостоятельная работа 20 часов)
Тема: Точечные и интервальные оценки.
Содержание занятия:
1. Обсуждение теоретического материала;
2. Обсуждение материалов тем, предложенных для самостоятельного изучения: «Оценка параметров экспоненциального распределения», «Оценка параметров биномиального распределения».
Практическое занятие№6 (2 часа, самостоятельная работа 20 часов)
Тема: Критерии согласия.
Содержание занятия:
1. Обсуждение теоретического материала;
2. Обсуждение материалов тем, предложенных для самостоятельного изучения: «Критерий числа пустых интервалов, квартильный критерий Баректта-Эйсена», «Двухвыборочные критерии согласия»
3. Контрольная работа. Тема «Критерии согласия».
Практическое занятие№7 (2 часа, самостоятельная работа 13 часов)
Тема: Проверка гипотез о параметрах нормального и экспоненциального распределений.
Содержание занятия:
1. Обсуждение теоретического материала;
2. Обсуждение материала темы, предложенной для самостоятельного изучения: «Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными, но равными дисперсиями»;
Практическое занятие№8 (2 часа, самостоятельная работа 14 часов)
Тема: Дисперсионный и корреляционный анализ
Содержание занятия:
1. Обсуждение теоретического материала;
2. Обсуждение материала темы, предложенной для самостоятельного изучения: «Методы сглаживания экспериментальных данных»
Практическое занятие№9 (2 часа, самостоятельная работа 19 часов)
Тема: Спектральный анализ случайных процессов: оценка вероятностных и спектральных характеристик случайного процесса, получаемых по дискретным данным. Контрольная работа 3..
Содержание занятия:
1. Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье (БПФ);
2. Алгоритмы ПБФ, их реализация, использование окон при спектральном анализе.
3. Обсуждение материала темы, предложенной для самостоятельного изучения: «Алгоритмы вычисления оценок спектральной плотности мощности случайных процессов».
4. Контрольная работа. Тема «Оценки числовых и спектральных характеристик случайных процессов»
3. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ (18 часов)
Лабораторная работа №1 (4 часа, самостоятельная работа 7 часов)
Тема: Точечные и интервальные оценки параметров распределений вероятностей.
Содержание работы:
1. Реализация точечных и интервальных оценок параметров нормального распределения в среде Mathcad:
· Реализовать одну из точечных оценок среднего (оценка максимального правдоподобия, оценка с помощью медианы, оценка с помощью порядковых статистик). Сформировать выборку и найти для нее оценку среднего. Сравнить полученный результат с точным значением.
· Реализовать одну из точечных и интервальных оценок стандартного отклонения. Сформировать выборку и найти для нее оценки. Сравнить полученный результат с точным значением
2. Подготовка и защита отчета.
Лабораторная работа №2 (6 часов, самостоятельная работа 7 часов)
Тема: Применение критериев согласия для анализа выборочных данных.
Содержание работы:
1. Получить выборку с заданным законом распределения и проверить с помощью критерия Колмогорова-Смирнова гипотезу о том, что закон распределения выборки не противоречит исходному распределению. Изменить гипотетическое распределение или его параметры и проверить гипотезу о соответствии исходной выборки этому распределению;
2. Получить две выборки с разными законами распределения. Проверить с помощью двухвыборочного критерия Колмогорова-Смирнова гипотезу о согласии эмпирических распределений полученным по этим выборк
3. Подготовка и защита отчета.
Лабораторная работа №3 (4 часа, самостоятельная работа 7 часов)
Тема: Проверка гипотез о параметрах нормальных распределений
Содержание работы:
1. Сформировать две выборки независимых нормальных случайных величин. На основе выборочных данных установить наличие значимой разницы в средних двух совокупностей, из которых извлечены выборки, т. е. проверить нулевую гипотезу 
против одной из альтернатив 
, 
, 
.
Рассмотреть один из случаев:
Сравнение при известных дисперсиях;
Сравнение при неизвестных равных дисперсиях;
Сравнение при неизвестных неравных дисперсиях. Критерии Сатервайта и Уэлча.
2. Сформировать две выборки независимых нормальных случайных величин. На основе выборочных данных проверить гипотезу равенства дисперсий, опираясь на их выборочные дисперсии.
Рассмотреть критерий Фишера или критерий отношения размахов.
3. Подготовка и защита отчета.
Лабораторная работа №4 (4 часа, самостоятельная работа 7 часов)
Тема: Оценка коэффициентов корреляции выборочных данных и коэффициентов регрессии.
Содержание работы:
1. Реализовать алгоритм моделирования двумерной гауссовской случайной величины с заданным коэффициентом корреляции;
2. Сформировать выборку для двумерной нормальной случайной величины;
3. Найти оценку коэффициента корреляции и сравнить с исходным значением;
4. Проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции с помощью критериев Кенуя или Кокс-Стюарта.
5. Подготовка и защита отчета.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (162 часа)
Таблица 4.1
№ п/п | № тем дисциплины | Тематика самостоятельной работы | Трудо-емкость (час.) | Контроль выполнения работы |
1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
1. | 1 | Проработка лекционного мате-риала и подготовка к практичес-ким занятиям. | 6 | Опрос на практическ-их занятиях |
2. | 2 | Проработка лекционного мате-риала и подготовка к практичес-ким занятиям. | 6 | Опрос на практических занятиях. Контрольная работа. |
3. | 3 | Проработка лекционного мате-риала и подготовка к практичес-ким занятиям. | 12 | Опрос на практических занятиях, отчета по лаб. работе |
Подготовка к лабораторным работам. | 7 | |||
Самостоятельное изучение тем: «Оценка параметров экспонен-циального распределения», «Оценка параметров биномиального распределения». | 8 | |||
4. | 4 | Проработка лекционного мате-риала и подготовка к практичес-ким занятиям. | 12 | Опрос на практических занятиях, отчета по лаб. работе. Контрольная работа. |
Подготовка к лабораторным работам. | 7 | |||
Самостоятельное изучение тем: «Критерий числа пустых интервалов, квартильный крите-рий Баректта-Эйсена», «Двухвы-борочные критерии согласия». | 8 | |||
5. | 5 | Проработка лекционного мате-риала и подготовка к практичес-ким занятиям. | 8 | Опрос на практических занятиях, отчета по лаб. работе |
Подготовка к лабораторным работам. | 7 | |||
Самостоятельное изучение темы «Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с не-известными, но равными диспер-сиями». | 5 |
Продолжение таблицы 4.1
1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
6. | 6 | Проработка лекционного мате-риала и подготовка к практичес-ким занятиям. | 9 | Опрос на практических занятиях, отчета по лаб. работе |
Подготовка к лабораторным работам. | 7 | |||
Самостоятельное изучение темы «Методы сглаживания экспери-ментальных данных». | 5 | |||
7. | 7 | Проработка лекционного мате-риала и подготовка к практичес-ким занятиям. | 12 | Опрос на практических занятиях, отчета по лаб. работе. Контрольная работа. |
Самостоятельное изучение темы «Алгоритмы вычисления оценок спектральной плотности мощнос-ти случайныхо процессов». | 7 | |||
8. | 1─7 | Подготовка и сдача экзамена. | 36 | Оценка за экзамен |
Список тем, предлагаемых для самостоятельного изучения (33 час.)
1. Оценка параметров экспоненциального распределения;
2. Оценка параметров биномиального распределения;
3. Критерий числа пустых интервалов, квартильный критерий Баректта-Эйсена;
4. Двухвыборочные критерии согласия;
5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с не-известными, но равными дисперсиями;
6. Методы сглаживания экспериментальных данных;
7. Алгоритмы вычисления оценок спектральной плотности мощности.
Проработка лекционного материала (39 часов)
Самостоятельная работа с материалами лекций и литературой для более глубокого и детального изучения разделов дисциплины, подготовка к их обсуждению на практических занятиях.
Подготовка к практическим занятиям (26 часов)
Самостоятельная работа с материалами лекций и литературой по темам практических занятий, выполнение практических заданий.
Подготовка к лабораторным работам (28 часов)
Самостоятельная работа с материалами лекций и литературой по темам лабораторных работ, подготовка и оформление отчетов.
Подготовка к экзамену (36 часов)
Список вопросов к экзамену по курсу «Прикладная математическая статистика»
1. Математическая статистика. Что это за дисциплина, с решением каких задач она связана?
2. Понятие выборки и формы ее записи. Группированный статистический ряд, полигон частот, гистограмма.
3. Эмпирическая функция распределения.
4. Понятие сходимости по вероятности последовательности случайных величин. Терема Чебышева и следствия из нее.
5. Оценка неизвестных параметров закона распределения.
6. Понятие состоятельности, несмещенности и эффективности оценки.
7. Метод моментов. Оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины. Их свойства.
8. Функция правдоподобия и оценка максимального правдоподобия. Приближенное решение уравнения правдоподобия.
9. Оценки параметров нормального распределения:
10. Метод наименьших квадратов оценки неизвестных параметров распределения.
11. Оценки параметров нормального распределения, оценки: максимального правдоподобия, с помощью медианы, с помощью порядковых статистик.
12. Оценки параметров нормального распределения: оценки Диксона, Огавы, Пирсона-Тьюки, быстрые оценки Кенуя, устойчивая оценка Ходжеса-Лемана по средним Уолша, упрощенная оценка по шаблону.
13. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал.
14. Оценки среднего при известной и неизвестной дисперсии, оценка по выборочному размаху, по интерквартильной широте, 50%-го доверительного интервала по вероятному отклонению.
15. Оценки дисперсии и стандартного отклонения нормального распределения. Точечные оценки: максимального правдоподобия, по выборочной дисперсии, по среднему абсолютному отклонению, по выборочному размаху, упрощенная оценка по шаблону.
16. Оценки дисперсии и стандартного отклонения нормального распределения. Оценки с помощью порядковых статистик: оптимальная линейная оценка, оценка Огавы, линейная оценка Даутона, оценка по сумме подразмахов, оценка Джини, оптимальные комплексные оценки использующие общий набор порядковых статистик.
17. Оценки дисперсии и стандартного отклонения нормального распределения. Интервальные оценки: оценка по размаху, по среднему абсолютному отклонению, интервальная оценка основанная на точечной оценке.
18. Оценка параметров экспоненциального распределения.
19. Оценка параметров биномиального распределения.
20. Задачи статистической проверки гипотез. Понятие гипотезы. Простые и сложные гипотезы.
21. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы. Ошибки первого и второго рода.
22. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при известной и неизвестной дисперсии (случаи равных и неравных дисперсий).
23. Модифицированный критерий Стьюдента, парный t-критерий сравнения средних, критерий Уолша, основанный на порядковых статистиках.
24. Сравнение нескольких средних: модифицированный критерий Стьюдента, критерий стьюдентизированного размаха, дисперсионный критерий.
25. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нормальных распределений: критерии Фишера и Романовского.
26. Сравнение нескольких дисперсий: критерии Бартлетта, Кохрана и Неймана Пирсона.
27. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события.
28. Понятие критерия согласия. Распределение Пирсона. Критерий согласия Пирсона, основанный на сравнении теоретической плотности распределения и гистограммы.
29. Критерий числа пустых интервалах и квартильный критерий Барнетта-Эйсена.
30. Критерии, основанные на сравнении теоретической и эмпирической функции распределения−постановка задачи.
31. Критерии Колмогорова-Смиронова и Смирнова-Крамера-фон Мизеса.
32. Двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирнова и критерий Катценбайссера-Хакля.
33. Критерии нормальности распределения (модифицированный критерий 
, критерий типа Колмогорова-Смирнова) и специальные критерии нормальности (критерий Шапиро-Уилка).
34. Критерии согласия для равномерного распределения (критерии Шермона и Морана).
35. Линейный корреляционный анализ. Оценка коэффициентов регрессии и оценка корреляционного отношения.
Основная литература
1. Свешников методы теории вероятностей. ─ Санкт-Петербург: Лань, 2012. − 480 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://e. /
2. , Крупин вероятностей и математическая статистика ─ Санкт-Петербург: Лань, 2011. − 320 с. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://e. /
3. , , Елизарова вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов. − Ростов н/Д: Феникс, 2008. − 318 с. (3 экз. в библиотеке ТУСУР)
Дополнительная литература
4. Гмурман вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. ─ М.: Юрайт, 2010. − 480 с. (1 экз. в библиотеке ТУСУР)
5. Справочник по прикладной статистике. Т. 1. Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, ─ М.: Финансы и статистика, 1989. − 508 с. (7 экз. в библиотеке ТУСУР)
6. Справочник по прикладной статистике. Т. 2. Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, ─ М.: Финансы и статистика, 19экз. в библиотеке ТУСУР)
7. Вентцель вероятностей: Учебник для вузов/ 10-е изд., стереотип. − М.: Высшая школа, 2005. − 576 с. (228 экз. в библиотеке ТУСУР)
8. Соболь методы Метод Монте-Карло. ─ М.: Наука, 1973. − 312 с. (2 экз. в библиотеке ТУСУР)
9. Статистические выводы и связи. Пер с англ. / Под ред. Колмогорова А. Н. ─ М.: Наука, 1973. − 900 с. (2 экз. в библиотеке ТУСУР)
Учебно-методические пособия
1. Астафуров операций: методические указания по выполнению лабораторных работ. − Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2007. − 58 с. (75 экз. в библиотеке ТУСУР)
