Истоки системного анализа (стр. 2 )

"Римский Клуб" – международная общественная организация, объединяющая около семидесяти предпринимателей, управляющих, политических деятелей, высокопоставленных служащих, доверенных экспертов, деятелей культуры, ученых из стран Западной Европы, Северной и Южной Америки, Японии, была создана в 1968 г. на встрече организаторов в Академии Деи Линчеи в Риме – отсюда и название клуба. Финансировавшие деятельность Клуба итальянская фирма "Фиат" и западногерманский концерн "Фольксвагенверк" были заинтересованы в систематическом анализе перспектив энергетической и сырьевой проблем, с которыми связаны возможности расширения рынков сбыта автомобилей. Но ученые – кибернетики, экономисты, социологи и др., привлеченные для разработки этих прогнозов, - в своих отчетах охватывали более широкий круг вопросов, связанный с глобальными проблемами.

Вот основные цели, которые поставили перед собой деятели "Римского Клуба":

·  дать обществу методику, с помощью которой можно было бы научно анализировать "затруднения человечества", связанные с физической ограниченностью ресурсов Земли, бурным ростом производства и потребления – этими "принципиальными пределами роста";

·  донести до человечества тревогу представителей Клуба относительно критической ситуации, которая сложилась в мире по ряду аспектов;

·  "подсказать" обществу, какие меры оно должно предпринять, чтобы "разумно вести дела" и достичь "глобального равновесия".

В начале 70-х г. по предложению Клуба Дж. Форрестер (США) применил разработанную им методику моделирования на ЭВМ к "мировой проблематике". Результаты исследования были опубликованы в книге "Мировая динамика" (1971). Ее вывод: дальнейшее развитие человечества на физически ограниченной планете Земля приведет к экологической катастрофе в 20-х г. следующего столетия.

Форрестер предсказывал неизбежность всемирных катастроф, которые наступят по его расчетам в начале XXI века. Эти катастрофы явятся результатом заражения окружающей среды, истощения природных ресурсов, последствий демографического взрыва в развивающихся странах. По сравнению с таким будущим, утверждал автор проекта, качество жизни современного периода гораздо выше и, возможно, конец ХХ в. будет признан впоследствии "золотым".

Чтобы предотвратить надвигающиеся события, Форрестер предлагает сконструированную им модель "глобального равновесия", по которой необходимо затормозить прирост населения земли и установить его численность к концу ХХ в. на уровне 4,5 млрд. человек. Интересно, что еще до выхода "Мировой динамики" и "Пределов роста" в 1968 году в СССР была опубликована работа советского ученого–генетика -Ресовского под названием "Биосфера и человечество". В ней автор предлагал варианты "оптимизации биосферы", связанные с биологической продуктивностью Земли и ростом населения, указывая на важность математического моделирования: "Проблема равновесия, о которой я упоминал, это проблема для математиков и кибернетиков, без их участия ее не разрешить".

После обсуждения "модели Форрестера" исполнительный комитет поручил продолжить исследование. Модель была значительно усовершенствована. По уточненным данным, начало "экологического коллапса", "вселенского мора" было отстрочено на 40 лет. Эта работа, выполненная в Массачусетском технологическом институте (США) под руководством Д. Медоуза, нашла отражение в книге "Пределы роста" (1972). В 1991 г. модель Медоуза была усовершенствована и получила название «Мир 3/91». Она привела к прежним (правда, уточненным) выводам. В модели рассматривалось поведение таких взаимосвязанных элементов как «население», «промышленный капитал», «загрязнение», «пахотные земли». Исследовались пять параметров:

·  численность населения,

·  объем промышленного производства,

·  объем производства продуктов питания,

·  ресурсы,

·  уровень загрязнения окружающей среды.

Суммарное число взаимодействующих переменных равнялось 255, шаг расчета – полугодие, период моделирования – с 1900 по 2100 г. При задании сценария развития модель показывает, к каким последствиям он приведет. На рисунке 2 показан прогноз развития мира при «традиционном» (как сейчас) поведении человечества.

Рисунок 2 - Прогноз развития мира при сценарии потребления.

При этом сценарии на пороге ХХI в. мир постепенно подходит к пределам роста. С 1990 по 2020 гг. объем промышленного производства возрастает на 85%, а темпы потребления невозобновимых ресурсов удваиваются. Если в 1990 г. их запасов хватило бы на 110 лет, то в 2020 г. их остается лишь на 30 лет. После 2000 г. из-за высокого уровня загрязнения серьезно уменьшается плодородие земель. Если с 1970 по 2000 гг. оно уменьшилось всего на 5%, то начиная с 2010 г. уже годовой темп деградации составляет 4,5%. В конечном счете, падает численность населения из-за сокращения продолжительности жизни. При этом совсем не учитываются сопутствующие такому ходу развития социальные потрясения.

На модели удалось подобрать сценарий, при котором развитие мира избегает катастроф и происходит устойчиво (рисунок 3).

Рисунок 3 - Прогноз развития мира при сценарии устойчивого развития

В этом сценарии приняты следующие допущения:

·  удвоенный по сравнению со сценарием потребления запас природных ресурсов,

·  после 1995 г. все семьи ограничатся двумя детьми,

·  объем промышленного производства стабилизируется на уровне $350 на душу населения в год,

·  внедряются технологии, уменьшающие выбросы загрязняющих веществ, эрозию почв, повышающие эффективность использования природных ресурсов.

В результате все параметры стабилизируются, стабильная численность населения составляет 7,7 млрд. чел.

Группа экспертов ООН во главе с известным экономистом В. Леонтьевым критически подошла к анализу и выводам авторов "Пределов роста". Однако проект группы Медоуза можно рассматривать как первую попытку построения компьютерной модели системы: человек – общество – природа. Системный подход, как новая категория, как новый метод, был обозначен и применен.

Второй доклад "Римскому Клубу" был написан в 1974 г. коллективом авторов под руководством американского кибернетика проф. М. Месаровича и директора института теоретической механики в ФРГ Э. Пестеля. В отличие от "Пределов роста", проект Месаровича-Пестеля не предсказывал глобальной катастрофы, вызванной вышеупомянутыми причинами. Они считали неизбежными довольно близкие по времени события катастрофического характера, но в отдельных регионах мировой системы. Таким образом, авторами проекта была предложена идея "органического дифференцированного роста". Модель всемирного мирового хозяйства по Месаровичу и Пестелю состоит из 10 географических регионов. Выделяются Северная Америка, Западная Европа, Япония, другие развитые капстраны, социалистические и развивающиеся страны. Кроме того, вся система включает разные уровни иерархии. Каждый уровень, состоящий из того или иного государства (или блока), находится в соподчиненности от других уровней. Выделяются среды или сферы обитания человека (климатические условия, воды, земля, экологические процессы); техносфера (химические и физические процессы); демографическая, экономическая, общественная сферы; индивидуальная (психологический и биологический мир человека). Включение этих сфер на разных уровнях в иерархическую систему должно позволить, по мнению авторов, прогнозировать их состояние.

В 1976 г. Гудзоновский институт во главе с известным футурологом Г. Каном разработал долгосрочный прогноз: "Грядущие 200. Сценарий для Америки и для мира", дата которого была связана с празднованием двухсотлетия США. В отличие от защитников "нулевого прироста", представители Гудзоновского института, наоборот, считали, что человеческое общество будет развиваться достаточно интенсивно: "на нашей планете достаточно пространства и ресурсов для того, чтобы на ней могли жить от 15 до 30 млрд. человек". Для безбедной жизни такого количества людей следует развивать науки и совершенствовать технологии. Все это возможно в так называемом "постиндустриальном обществе". Сферы "постиндустриального общества" Кана, выделяемые им, выглядят следующим образом:

·  первичная – сельское хозяйство, лесничество, рыболовство, горнодобывающая промышленность;

·  вторичная – обрабатывающая промышленность, строительство;

·  третичная – услуги, транспорт, финансы, управление (менеджмент), образование;

·  четвертичная -- ритуалы, эстетика, создание новых традиций, обычаев, развитие искусств (ради искусства), туризм, игры, праздный образ жизни.

В целом, концепцию Кана можно охарактеризовать, как "крайний технологический оптимизм". В отличие от предшественников, он доказывает ошибочность подсчетов минеральных ресурсов, обосновывает решение продовольственной и энергетической проблем (в частности, по его мнению, в 90-х г. возможно будет использовать систему ядерного синтеза ТОКАМАК, основанную на советском изобретении). Большие надежды возлагаются на производство синтетической пищи, основанное на утилизации органических отходов разных отраслей промышленности.

В 1976 г. группой экспертов ООН под руководством экономиста В. Леонтьева была построена экономико-математическая модель будущего мировой экономики и создано восемь условных сценариев развития мира с 1990 по 2000 гг. Модель Леонтьева состояла из 2625 уравнений и отражала детали развития 15 регионов мира. Сама модель была построена на основе метода "затраты – выпуск", широко применяемого для составления межотраслевого баланса.

Одно из главных составляющих проекта – это развитие регионов Третьего мира. Группа Леонтьева подсчитала, что разрыв между уровнями развития государств развивающихся и стран–промышленных центров мира будет сохраняться и составит 1:12. В проекте анализируются запасы ресурсов, указывается, в частности, что добыча оставшихся минеральных ископаемых станет более дорогостоящей. Экологическую ситуацию, по мнению авторов проекта, можно сдвинуть в " плюс " при увеличении финансовых вложений в соответствующие проекты и технологии.

Главными факторами роста мировой экономики, по мнению группы Леонтьева, являются:

·  производство продовольствия и сельскохозяйственной продукции;

·  наличие достоверных и потенциальных минеральных ресурсов;

·  издержки, необходимые для ослабления загрязнения экосистем;

·  зарубежные инвестиции и индустриализация развивающихся стран, изменения в международной торговле и платежных балансах;

·  переход к новому международному экономическому порядку.

Основной вывод модели - "Главными пределами экономического роста являются условия развития - политического, социального и институционального характера, но не физического". Этот вывод имеет принципиальное значение, поскольку не ограничивается лишь количественным анализом и расчетом запасов и ресурсов.

В 1977 г. под руководством американского социолога Э. Ласло был разработан очередной доклад "Глобальные цели и всемирная солидарность. Проект для "Римского Клуба" о качествах человека". В нем утверждается примат "человеческого фактора": коренные проблемы века "надо искать не вне человека, а в нем самом". Ласло полагает, что развитие соответствующих психологических качеств людей может привести к коренной перестройке материальных условий существования цивилизации. "Это человеческая революция, названная в проекте революцией мировой солидарности, более настоятельна, чем что-либо иное... она ведет человечество к жизнеспособному будущему", – заявлял Ласло. Речь идет о некой межклассовой солидарности, полезной для создания движения при участии религиозных и политических течений за развитие новых психологических качеств человека.

Следующий доклад Э. Ласло вышел под названием "Цели человечества", в его создании впервые участвовали ученые из социалистических стран. Авторы обращаются к проблемам обеспечения безопасности, продовольственной программе, снабжения энергией и ресурсами, стимулирования развития, преодоления существующего в мире расхождения целей, препятствующих консолидации всех людей. Психологизм и субъективизм Ласло выразился в сценарии "лидерства науки и религии". Именно эти два вектора человеческой деятельности, по его мнению, смогут вывести мир на "путь истинный".

Модели климата и «ядерной зимы»

В начале 1970-х г. к таким исследованиям приступили в СССР. В ВЦ АН СССР под руководством решили создать модель климата, не затрагивая закономерности деятельности человека, вводя ее результат в виде автономного сценария, с тем, чтобы посмотреть, какие граничные значения параметров климата допустимы, а какие выводят на катастрофический уровень. В модели было 2 взаимосвязанных блока: биоты () и климата (). Модели были, естественно, минимальные, т. е. упрощенные, атмосфера 2-слойная (у американцев – 9 слойная), сетка деления Земли – 4-5 градусов, соотношения упрощенные. Но все взаимосвязано (у американцев – две отдельные модели). Учитывалась циркуляция биогенных элементов, дыхание растений, состояние почв, круговорот основных химических элементов, главное - углерода, теплообмен атмосферы с поверхностным слоем океана (более глубокие слои так инерционны, что их можно не учитывать), солнечная радиация, таяние ледников и п.

Модель проверили на нескольких типичных климатических ситуациях, она сработала. Тогда просчитали, что будет, если количество углекислого газа в атмосфере увеличится вдвое. Известно, что это приводит к парниковому эффекту: углекислый газ пропускает солнечные лучи, т. е. Земля нагревается по-прежнему, но экранирует длинноволновое тепловое излучение земной поверхности, т. е. уменьшает то тепло, которое Земля отдает в Космос. Оказалось, что температура на Земле будет возрастать, но потом темп ее возрастания замедлится, зато засушливые районы станут еще засушливей, а у полюсов – теплее. Общее количество биоты практически не изменится: в засушливых районах ее будет производиться меньше, зато в других – больше, так как из углерода растения строят свое тело.

И, наконец, главное: модели были использованы для прогноза последствий атомной войны. До этого считали, что ядерный взрыв, выбрасывая в атмосферу пыль, подобен действию вулкана. Самое большое извержение вулкана было в Индонезии в 1814 г. (вулкан Тамбор), в воздух выбросило более 100 кубических километров пыли и пепла. И ничего страшного: в 1915 г. в северном полушарии было зарегистрировано дождливое и холодное лето – и все. Так и думали, что ничего страшного! Но немцы, в конце 1970-х гг. на основе опыта пожаров 1943-45 гг. при бомбардировках городов Гамбурга и Дрездена, обратили внимание на то, что бомбить атомными бомбами будут города, а там, помимо пепла, от горения асфальта, дерева, металла, даже арматуры железобетона возникнет сажа, причем остовы высоких зданий создадут сильную тягу, возникнут огненные торнадо. А оптические свойства сажи и скорость ее выпадения совсем не те, что у пыли и пепла. Кроме того, бомбить будут не один город. В мире накоплено 40 тыс. мегатонн ядерных бомб, и считают, что в ядерной войне будет сразу использовано от 100 до 10 тыс. мегатонн, т. е. разбомблено 1 тыс. городов в северном полушарии. Что же будет тогда?

В Корнельском университете Карл Саган весной 1993 г. опубликовал расчет, из которого следовало, что северное полушарие накроет «ядерная ночь». Все ахнули, но это были статичные расчеты, и встал вопрос, а что будет с Австралией, с океаном, сколько времени все это продлится. И тогда в ВЦ АН СССР провели расчет на своей имитационной модели. Оказалось, что в первый месяц в северном полушарии температура уменьшится на 15-25 градусов, а вдали от океана – на 30-35 градусов. Если это случится зимой, растения и звери, находясь в спячке, могут выжить, если летом - все погибнут. Начнется ядерная ночь темнее безлунной. Так продлится 3-4 месяца. Южное полушарие тоже будет в ночи за счет переноса. Земля будет поглощать больше тепла (в верхних слоях), а в нижних будет холод, поэтому конвективный теплообмен прекратится. В конечном счете вся высшая жизнь и человек погибнут.

Интересно, что американцы на своей модели атмосферы (без океана) смогли рассчитать на 24 дня (пока океан не отреагировал) – результаты совпали.

Теория развития материи

Биография

Никита Николаевич Моисеев родился 23 августа 1917 г. в Москве в семье профессора Московского госуниверситета. До поступления в Московский госуниверситет увлекался математикой – посещал математический кружок в Математическом институте им. Стеклова; активно занимался спортом - в 1934 г. стал чемпионом СССР по лыжам среди юниоров (его коронная дистанция – 50 км); по окончании школы поступил в Педагогический институт и проучился в нем первый курс, после которого поступил в 1935 г. в МГУ. Увлекался альпинизмом. В 1940 г. был призван в армию - обучал лыжной технике бойцов для боевых действий в советско-финляндской войне. В 1941 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета по специальности «функциональный анализ».

Участник Великой Отечественной войны. В 1942 г. после окончания специальных курсов Военно-воздушной инженерной академии им. Жуковского был направлен в действующую армию. Служил вначале старшим техником авиа-эскадрильи, а затем инженером и начальником службы по вооружению авиаполка (из-за нехватки летного состава неоднократно выполнял обязанности воздушного стрелка на ИЛ-2, дважды был подбит) на Брянском, Волховском, Ленинградском и Втором Прибалтийском фронтах. В гг.- старший инженер НИИ-2 Минавиапрома, преподаватель ВВИА им. Жуковского. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата технических наук (1948 г.). Завершил службу в Советской Армии в должности начальника учебного отдела Харьковского высшего военного авиационного училища, в звании капитан запаса.

В 1949 г. преподавал на кафедре реактивной техники МВТУ им. Баумана (здесь же читал спецкурс ). Затем был вынужден переехать в поисках работы в Ростов, поскольку его отчим был арестован. Работал старшим преподавателем, доцентом, и. о. заведующего кафедрой теоретической механики Ростовского государственного университета. Вернувшись в Москву, был докторантом Математического института им. Стеклова. затем профессором кафедры математики, деканом факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института, сотрудником Вычислительного центра АН СССР. В 1966 г. был избран членом-корреспондентом АН СССР по отделению механики, стал заместителем директора по научной работе Вычислительного центра АН СССР.

Основные направления исследовательской деятельности:

·  теории системного анализа и оптимальных систем;

·  прикладная математика и ее использование для решения сложных задач физики и техники, в том числе методы траекторных расчетов в космических системах;

·  теория управления (общие вопросы теории и методы расчета конкретных систем управления космическими объектами) и методы оптимизации, в том числе природопользования;

·  математические модели динамики биосферы. В 1983 г. были получены количественные оценки возможных последствий ядерной войны, известные как «ядерная зима» и «ядерная ночь»;

·  методологические проблемы взаимоотношения биосферы и общества и математические модели стабильности биосферы в условиях антропогенных воздействий;

·  философские и политологические проблемы общества в условиях переходного периода России, процессов самоорганизации (или универсального эволюционизма, по терминологии Н. Моисеева) и необратимости эволюционных процессов;

·  педагогические и этические проблемы формирования нового мировоззрения для пересмотра взаимоотношения человека и природы, идей эпохи ноосферы и провозглашение коэволюции человека и биосферы как условия выживания человека на планете;

·  концептуальные вопросы системы «УЧИТЕЛЬ», становления и развития экологического образования и просвещения.

- основатель и руководитель целого ряда научных школ, один из основателей и учредителей, президент Международного независимого эколого-политологического университета (МНЭПУ) (1992 г.). Он вел активную общественную деятельность: председатель совета при Правительстве Российской Федерации по анализу критических ситуаций (1992 г.), член общественного Совета при Президенте Российской Федерации (1993 г.), президент Российского Зеленого креста (с 1995 г.), президент Российского национального комитета содействия Программе ООН по охране окружающей среды (ЮНЕП) (с 1995 г.), председатель координационного совета по экологическому образованию в г. Москве при Московском городском комитете по образованию (с 1994 г.) и др.

 Умер 29 февраля 2000 г.

Единый язык описания движения материи

Со времен Ф. Энгельса принято делить материю на три вида: неживую (косную, по ), живую и общество - и полагать, что каждый ее вид подчиняется своим качественно различным законам, для описания которых необходим свой язык науки. попытался найти общие закономерности развития всех видов материи и создать для их описания единый язык.

Прежде всего, он полагает, что правомочна гипотеза о происхождении живого из неживого (абиогенез) в результате сложных биологических, физических и химических процессов на Земле 3.5 – 3.8 млрд. лет назад. Сама Земля сформировалась примерно 4.5 млрд. лет тому назад (Большой взрыв произошел 20 млрд. лет назад). Единый генетический четыхехбуквенный код, определяющий живое, по не является единственно возможным, не исключено, что существовали и другие коды, однако они исчезли в процессе естественного отбора. Жизнь также вряд ли занесена на Землю из Космоса. В пользу этого говорит такое соображение. В XIX веке Луи Пастер и Пьер Кюри открыли, что любое живое вещество всегда оптически активно. Это означает, что его молекулы обладают общей асимметрией, определяющей его способность в поляризации света, который проходит через это вещество. В неживом веществе молекулы всегда имеют разные свойства симметрии. В результате их смешения такое вещество не обладает способностью к поляризации. Аминокислоты же, из которых состоит живое вещество, а также вещества, прошедшие через живой организм или образовавшиеся в результате его распада, состоят из левых оптических изомеров и поляризуют свет. В то же время вещество лунного грунта и метеоритов не содержит таких веществ, обладающих оптической активностью. Поэтому возможно принять как гипотезу, что вначале живое произошло из неживого, т. е. было много переходных, но нестабильных форм, которые затем отмерли, причем мы о них и не знаем, и появилась жизнь в современном понимании, удовлетворяющая принципу Пастера-Реди «живое – это только то, что происходит от живого». Но раз так, то можно надеяться, что неживым и живым управляют сходные законы, надо попытаться найти язык, на котором их можно описать.

В качестве ключевых понятий единого языка описания неживого и живого предлагает взять дарвиновскую триаду как описывающую более сложную из этих двух форм существования материи – живое. Это

·  изменчивость;

·  наследственность;

·  отбор.

Их нужно интерпретировать так, чтобы они смогли включить в себя понятия, описывающие законы поведения неживой материи, которые хорошо изучены.

Изменчивость – это любые проявления случайности и неопределенности. Они проявляются в неживой природе (турбулентность, броуновское движение), в биологии (мутагенез), в социальной сфере (конфликты). Именно они создают то поле возможностей, из которого потом остаются наиболее стабильные образования.

Наследственность – это термин, отражающий влияние прошлого на будущее. В неживой природе, например, это обыкновенные дифференциальные уравнения при решении задачи Коши. (Наследственность – это лишь часть причинности, и только вся триада достаточно полно раскрывает смысл причинности). Часто, не зная в точности причин, мы считаем их случайными, хотя, теоретически, можно было бы их проследить; тем самым видно, что наследственность и изменчивость плавно связаны между собой.

Отбор. В традиционном «биологическом» понимании отбор – это правило «выживает сильнейший». Но с высоты современной математики и исследований странных аттракторов можно взглянуть более общо. Странный аттрактор характерен тем, что, будучи полностью детерминированным, ведет себя как стохастический и крайне неустойчив, т. е. малые отклонения приводят к совсем иному поведению. Так, может быть, никакой случайности в природе нет, но порождаются все время разные объекты, а наблюдать мы можем лишь те, которые не имеют странных аттракторов, т. е. стабильны. Тогда законы природы – это законы порождения объектов без аттракторов. Иным языком, законы природы – это то, что выделяет из возможных траекторий реализовавшиеся!

Принципы отбора (законы природы) в экстремальной формулировке

Переходя к описанию законов природы в форме, которая позволила бы охватить все три традиционные формы материи, опирается на фундаментальный и чрезвычайно красивый подход, известный в механике как вариационные принципы механики. В механике, а именно механика твердого тела наиболее хорошо изучена, можно сформулировать законы движения (принципы отбора) в форме минимизации некоторых критериев (функционалов). Эту мысль впервые высказал в 1744 г. французский математик и физик Мопертюи: «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Количество действия есть произведение массы тел на их скорость и расстояние, которое они пробегают». Ход рассуждений здесь, в простейшем изложении, таков: от законов Ньютона через принцип Даламбера к принципу наименьшего принуждения Гаусса.

Пусть R – вектор перемещений, F – вектор силы, m – масса тела, - вектор ускорения.

Даламбер (1717 – 1783) предложил записать 2-й закон Ньютона в форме

или

, (3)

где вектор можно рассматривать как силу, создаваемую движением, силу инерции. Затем Даламбер рассмотрел систему движущихся масс, находящихся под действием сил , сумму которых он назвал эффективной силой:

. (4)

Пусть - любые небольшие возможные (виртуальные) перемещения -й массы, допускаемые наложенными на нее геометрическими и кинематическими связями. Тогда из (3) и (4) следует, что

, (5)

т. е. полная виртуальная работа эффективных сил равна нулю для всех обратимых виртуальных перемещений, совместимых с заданными кинематическими условиями (принцип Даламбера).

Гаусс (1777 – 1855) предложил замечательную интерпретацию принципа Даламбера, вводящую в этот принцип понятие минимальности. Суть идеи Гаусса в следующем.

Допустим, мы Природа. В некоторый момент заданы положения и скорости всех частей механической системы, а вот ускорениями, которые определят положения и скорости этих частей через промежуток , Природа может распоряжаться как угодно. По какому закону она ими распорядится?

Положение частицы в момент определится рядом Тейлора

Вариация ускорения приведет к вариации пути частицы. Поскольку при этом начальные значения положения и скорости частицы не поменяются, то

(6)

По принципу Даламбера (5) с учетом (4)

(7)

где в качестве можно взять любое виртуальное перемещение, совместимое со связями, в том числе и (6). Подставив тогда (6) в (7) и сократив на , получим

. (8)

Поскольку приложенные силы Fi заданы и варьироваться не могут, а массы постоянны, (6) можно записать в виде

, (9)

откуда

. (10)

Гаусс ввел величину

(11)

и назвал ее мерой принуждения движения. Условие (10) он рассматривает как необходимое условие минимума (11) на множестве допустимых перемещений и формулирует его в виде принципа наименьшего принуждения: движение, осуществляющееся в действительности, таково, что принуждение принимает наименьшее возможное значение среди всех значений, совместимых с данными кинематическими связями.

В частности, если частицы свободны, то принуждение достигает абсолютно минимального значения, равного нулю, и

,

откуда следует закон Ньютона.

Экстремальные принципы поведения физических объектов известны давно. Принцип Ферма, сформулированный в 1660 г., устанавливал, что действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения которого свету требуется минимальное (или максимальное) время по сравнению с любым другим геометрически возможным путем между теми же точками. Принцип наименьшего действия Мопертюи (сформулированный в 1744 г.) устанавливал, что для определенного класса сравниваемых друг с другом движений механической системы осуществляется то, для которого действие минимально.

До достаточно общий характер экстремальных принципов в физике был уже осознан и сформулирован в виде принципа «минимизации общей энергии открытой системы».

Вот как наука подходила к пониманию реализации этого принципа на примере математической физики.

1. «Принцип наименьшего действия» (или принцип Мопертюи) – один из вариационных принципов классической механики. В 1744г. П. Мопертюи дал первую словесную формулировку данного принципа, а затем вывел из него законы отражения и преломления света. По его словам, «…природа при осуществлении своих действий идет всегда наиболее простыми путями».

В 1746г. П Мопертюи объявил его «Принципом наименьшего действия», универсальным законом движения и равновесия:

«Общий принцип: когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным…»

Под количеством действия Мопертюи понимал произведение массы тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают. Кроме законов распространения света, П. Мопертюи вывел из открытого им «Принципа наименьшего действия» известные законы удара тел и равновесия рычага.

Первая математически обоснованная идея «Принципа наименьшего действия» для частного случая изолированных тел была сформулирована Л. Эйлером (1744г), а для общего случая движения любой системы тел установлена Ж. Лагранжем (1760). Он писал:

«Этот принцип, будучи соединен с принципом живых сил и развит по правилам вариационного исчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для разрешения каждой проблемы; отсюда возникает столь же простой, как и общий, метод разрешения проблем, касающихся движения тел».

2. «Принцип стационарного действия» (интерпретация «Принципа наименьшего действия»). Это один из вариационных принципов классической механики, согласно которому

«…для данного класса сравниваемых друг с другом движений механической системы действительным является то, для которого физическая величина, называемая действием, имеет наименьшее (точнее, стационарное) значение».

Обычно этот принцип применяется в одной из двух форм: в форме Гамильтона-Остроградского или форме Мопертюи-Лагранжа, суть которых сводится к следующему:

«…среди всех кинематически возможных перемещений системы из одной конфигурации в другую (близкую к первой), совершаемых за один и тот же промежуток времени, действительным является то, для которого действие будет наименьшим».

Данный принцип используется для составления уравнений движения механических систем (и для исследования общих свойств этих движений) и находит приложения в механике непрерывной среды, в электродинамике, квантовой механике и т. д.

3. «Теорема Лагранжа-Дирихле» устанавливает достаточное условие устойчивости равновесия консервативной механической системы. Согласно этой теореме,

«консервативная механическая система находится в положении устойчивого равновесия, если потенциальная энергия системы в этом положении имеет строгий минимум».

В частности, из теоремы Лагранжа-Дирихле следует, что

«положение равновесия механической системы в однородном поле тяжести будет устойчивым, когда центр тяжести системы занимает наинизшее положение».

4. «Принцип наименьшего принуждения» (или принцип Гаусса) – один из основных принципов классической механики:

«движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее «совершенном», какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы они стали свободными, то есть движение происходит с наименьшим возможным принуждением…»

Этот принцип был предложен К. Гауссом в 1829г. Следствием «Принципа наименьшего принуждения» стал другой принцип Гаусса – так называемый «Принцип наименьших реакций».

5. «Первый принцип термодинамического равновесия». Свободная энергия – функция состояния термодинамической системы, при условии, что в качестве независимых термодинамических параметров выбраны объем V и температура T. Принцип формулируется следующим образом:

«свободная энергия минимальна в состоянии термодинамического равновесия, при постоянных (v) и (t) ».