Определители и системы (стр. 2 )

Доказательство

Пусть, например, элементы первой строки определителя представлены суммой двух слагаемых. Тогда

a11+b11	a12+b12…	a1n+b1n
a21	a22...	a2n
. . .	. . .	. . .	= (a11+b11)А11 + (a12 + b12)А12 +…+ (a1n+b1n)A1n =
an1	an2...	ann
= (а11 А11+ а12А12+…+ а1n А1n ) + (b11 А11+ b12А12+…+ b1nA1n ) =
a11	a12…	a1n		b11	b12…	b1n
, ч. т.д.   a21	a22...	a2n		a21	a22...	A2n
+   =   . . .	. . .	. . .		. . .	. . .	. .
an1	an2...	ann		an1	an2...	ann

Следствие свойства 4. Значение определителя не изменится, если ко всем элементам его строки или столбца прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, предварительно умножив их на одно и то же число.

Доказательство

Покажем, например, что определитель

a11+ la21	a12+ la22…	a1n+ l a2n
a21	a22...	a2n
. . .	. . .	. . .	,
an1	an2...	ann

образованный из данного

a11	a12...	a1n
a21	a22...	a2n
. . .	. . .	. . .
an1	an2...	ann

прибавлением к элементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на l, сохраняет первоначальное значение. Действительно,

0   a11+la21	a12+la22...	a1n+ l а2n		a11	a12...	a1n		la21	la22.	l a2n
a21	a22...	a2n		a21	a22...	a2n		a21	a22...	a2n
. . .	. . .	. . .	=	. . .	. . .	. . .	+	. . .	. . .	. . .	=
an1	an2...	ann		an1	an2...	ann		an1	an2...	ann
		a11	a12...	a1n
	.	a21	a22...	a2n
	=	. . .	. . .	. . .
		an1	an2...	ann

Вычеркиваемый определитель обращается в нуль в силу пропорциональности двух первых строк.

§ 3. Программный способ вычисления определителя

Пусть определитель n-го порядка содержит под главной диагональю только нулевые элементы:

а11	a12	a13	...	a1, n–1	a1n
0	a22	a23	...	a2, n–1	a2n
0	0	a33	...	a3, n–1	a3n
. . .	. . .	. .				= Δ
0	0	0	...	a n–1, n-1	a n–1, n
0	0	0	...	0	a nn

Раскрывая его по элементам последней строки, найдем

D = ann Ann = ann an–1, n–1An–1, n–1 = ...= ann an–1, n–1×...× a22A22 = ann an–1, n–1×...×a22 a11.

Таким образом, указанный определитель (он называется верхним треугольным определителем) имеет значение, равное произведению диагональных элементов. К такому виду можно привести любой определитель, применяя его свойства.

Преобразование данного определителя к виду верхнего треугольного достигается двумя последовательными процедурами:

1. В рассматриваемом определителе отыскивается наибольший по модулю элемент, который помещается в левый верхний угол. Очевидно, что этого можно достичь, меняя местами строки и столбцы определителя. (При каждой такой перестановке знак определителя меняется на противоположный). Например, при вычислении определителя

	1	2	3	4
	2	3	4	1
	3	4	1	2	= D
	4	1	2	3

наибольший по модулю элемент, равный 4, можно поместить в левый верхний угол, производя циклическую перестановку строк: (4, 1, 2, 3).

 

3 2

 

4 1

Циклическая перестановка строк или столбцов сохраняет значение определителя нечетного порядка, а значение определителя четного порядка изменяет на противоположное.

		4	1	2	3
		1	2	3	4
D = -		2	3	4	1	.
		3	4	1	2

2. В определителе, преобразованном процедурой (1), ко всем элементам 2-й строки прибавляются соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на число противоположное отношению первого элемента второй строки к первому элементу первой строки. В результате, в рассматриваемом определителе, первый элемент второй строки обращается в нуль. Подобным образом обращаются в нуль первые элементы 3-й и 4-й строки. При этом к элементам 3-й строки прибавляются соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на число, противоположное отношению первого элемента третьей строки к первому элементу первой строки, а к элементам 4-й строки прибавляются соответствующие элементы первой строки, предварительно умноженные на число, противоположное отношению первого элемента четвертой строки к первому элементу первой строки.

(3.1)

На следующем шаге процедуры (1) и (2) применяются к определителю, который образуется из определивычеркиванием первой его строки и первого столбца. При этом 13/4 - наибольший по модулю элемент этого определителя помещается, с помощью процедуры (1), в левый верхний угол, а под ним, с помощью процедуры (2) образуются нули.