Определители и системы (стр. 1 )

ТЕМА II. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ

§ 1. Определение и вычисление определителя

Определителем называется числовая таблица с равным количеством строк и столбцов, записанная между двумя вертикальными чертами. Числа, образующие определитель, располагаются на пересечении всех данных строк и столбцов. Эти числа, называемые элементами определителя, обозначаются в общем виде одной буквой с двумя нижними индексами, первый из которых определяет номер сроки, в которой находится элемент, а второй - номер столбца. Количество строк (столбцов) данного определителя называется его порядком. Так определитель n-го порядка имеет вид:

	a11	a12...	a1n
	a21	a22...	a2n
	. . .	. . .	. . .
	an1	an2...	ann

Любому определителю ставится в соответствие его численное значение. При этом определитель n-го порядка можно выразить суммой, образованной из n определителей (n-1)-го порядка. Чтобы привести эту формулу введем в расcмотрение два понятия:

1. Минором любого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, который образуется из данного определителя вычеркиванием его i-й строки и j-го столбца.

Минор элемента aij обозначается через Mij .

2. Алгебраическим дополнением элемента aij называется произведение минора Mij на (-1) в степени, равной сумме координат данного элемента (номера его строки и номера его столбца). Если Аij - алгебраическое дополнение к элементу aij , то

Аij = (-1)i+j Мij.

Определитель n-го порядка можно представить в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на алгебраические дополнения к этим элементам. Так, если данный определитель n-го порядка преобразуется в соответствии с равенством:

A11	a12...	a1n
A21	a22...	a2n
. . .	. . .	. . .	= a11А11 + a12А12 + ... + a1nА1n,
An1	an2...	ann

то говорят, что данный определитель разложен по элементам первой строки. А если

a11	a12...	a1n
a21	a22...	a2n
. . .	. . .	. . .	= a12А12 + a22А22 + .. + an2Аn2,
an1	an2...	ann

то говорят, что данный определитель разложен по элементам второго столбца и т. п.

Значение определителя остается неизменным при разложении по элементам любой его строки или столбца.

Найдем значение определителя 2-го порядка, раскладывая его, например, по элементам первой строки:

a11	a12
		= a11А11 + a12А12 = a11(-1)1+1 М11+ a12(-1)1+2 М12 = a11 a22 - a12 a21.
a21	a22

Убедитесь в том, что полученный результат сохраняется при разложении данного определителя второго порядка по любой другой его строке или столбцу. Полученный результат необходимо запомнить. Это легко сделать, если заметить, что перемножаемые числа находятся на диагоналях определителя. При этом диагональ, показанная сплошной линией, называется главной диагональю, а диагональ, показанная пунктирной линией, - побочной.

	a11	a12
	a21	a22
Побочная диагональ	Главная диагональ

При вычислении определителя второго порядка к произведению элементов, стоящих на главной диагонали, прибавляется, умноженное на (-1), произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Оказывается, можно найти похожее правило и при вычислении определителя 3-го порядка.

Отметим на окружности номера столбцов этого определителя, двигаясь против часовой стрелки.

1

2 3

Дополним данный определитель 3-го порядка еще двумя столбцами, записанными справа от данного определителя. Номера этих дополнительно записанных столбцов будем определять по рисунку. При этом после
3-го столбца запишем дополнительно, справа от черты, столбец под номером 1, а вслед за ним, столбец под номером 2. В результате получим:

	A11	a12.	a13	a11	a12
	A21	a22	a23	a21	a22
	A31	a32	а33	a31	a32
Побочная диагональ		Главная диагональ

В этой расширенной записи сплошной линией выделена главная диагональ определителя и диагонали, параллельные главной. Побочная диагональ и диагонали, параллельные побочной, показаны линиями пунктирными.

Оказывается, что данный определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и на диагоналях, параллельных главной. К этой сумме прибавляются, умноженные на (-1), произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и на диагоналях, параллельных побочной. Таким образом, данный определитель 3-го порядка имеет значение:

a11	a12	a13
a21	a22	a23	= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 +
a31	a32	a33	- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33.

Покажем, что к такому же результату можно придти, раскрывая данный определитель 3-го порядка, например, по элементам первой строки:

a11

a12

a13

a21

a22

a23

= a11 А11+ a12 А12+ a13 А13 =

a31

a32

a33

a22

a23

a21

a23

a21

a22

= a11 (-1)1+1

+ a12 (-1)1+2

+ a13 (-1)1+3

=

a32

a33

a31

a33

a31

a32

= a11(a22 a33- a23 a32 ) - a12(a21 a33 - a23 a31) + a13(a21 a32 - a22 a31) =

= a11a22 a33- a11 a23 a32 - a12a21 a33 + a12a23 a31 + a13a21 a32 - a13 a22 a31 =

= a11a22 a33 + a12a23 a31 + a13a21 a32 +

- a13 a22 a31 - a11 a23 a32- a12a21 a33 .

Аналогично, определитель 4-го порядка можно выразить через определители 3-го порядка и т. п. Однако на практике для вычисления определителей выше 3-го порядка применяются предварительные преобразования, основанные на свойствах определителя (см.§2).

§ 2. Свойства определителя

1.  Значение определителя не меняется при замене каждой его строки столбцом с тем же номером (такое преобразование определителя называется его транспонированием).

2. Значение определителя изменяется на противоположное, если поменять местами две его строки или два его столбца.

Доказательство двух первых свойств определителя основывается на таком его вычислении, когда определитель непосредственно представляется в виде суммы определенных произведений своих элементов. Такой вариант вычисления определителя не приводится, так как он применяется, главным образом, при решении теоретических вопросов.

Следствие свойства 2. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

Для доказательства поменяем местами одинаковые строки (или столбцы) данного определителя. При этом очевидно, что определитель не изменит своего вида и следовательно своего значения. С другой стороны, в силу свойства 2, значение определителя должно измениться на противоположное. Таким образом, если Δ - значение данного определителя, то после перестановки одинаковых строк или столбцов получим: -Δ = Δ или 2Δ = 0 Þ Δ = 0, что требовалось доказать.

3. Если все элементы строки или столбца определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Доказательство

Пусть первая строка определителя n-го порядка имеет общий множитель l. Тогда раскрывая определитель по элементам первой строки, получим:

lа11	la12...	la1n
= lа11 А11 + la12 А12 +…+ la1n А1n=   a21	a22...	a2n
. . .	. . .	. . .
an1	an2...	ann

	a11	a12...	a1n
, ч. т. д.	a21	a22...	a2n
= l(a11А11 + a12А12 +... + a1nА1n ) = l	. . .	. . .	. . .
	an1	an2...	ann

Следствие свойств 2 и 3. Определители с двумя пропорциональными строками или столбцами равны нулю.

Доказательство

В силу свойства 3 «множитель пропорциональности» можно вывести за знак определителя. При этом в нем образуются две одинаковых строки или два одинаковых столбца и по следствию свойства 2 такой определитель равен нулю.

3. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен суммой двух слагаемых, то данный определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, в первом из которых рассматриваемая строка (столбец) содержит лишь первые слагаемые, во втором - вторые. Оставшиеся строки (столбцы) сохраняются в первоначальном виде.