Определители и системы (стр. 3 )

 

	4	1	2	3			4	1	2	3
. (3.2)
D =			3		+	=
						+

На следующем шаге, указанные преобразования происходят с определителем, который образуется из определивычеркиванием двух первых его строк и двух первых столбцов. После чего под наибольшим по модулю элементом ~, занимающим левый верхний угол, образуется нуль:

	4	1	2	3		4	1	2	3

В результате возникает верхний треугольный определитель, равный произведению диагональных элементов. Таким образом, данный определитель

D =

Предложенный алгоритм легко программируется, поэтому рассмотренный способ вычисления определителя и называется программным. При каждом последовательном применении процедур (1) и (2) порядок определителя, преобразуемого на очередном шаге, уменьшается на 1 и, если процедура (1) устанавливает, что наибольший элемент этого определителя равен нулю, то данный определитель в преобразованном виде будет содержать строку, состоящую из одних нулей и, следовательно, будет равен нулю.

§4. Системы линейных алгебраических уравнений

Системой называется совокупность условий, которые должны удовлетворяться одновременно. Эти условия могут быть выражены в форме уравнений и (или) неравенств.

Условия, входящие в систему, принято записывать в столбик и компоновать с левой стороны круглой скобкой.

Система, состоящая из уравнений, называется системой уравнений.

Система, состоящая из уравнений и неравенств, называется смешанной системой.

Решить систему, значит найти такую совокупность значений для неизвестных, которая удовлетворяет всем условиям системы.

Область определения системы – это общая часть области определения входящих в нее условий. Решение системы, если оно существует, всегда принадлежит области ее определения.

Система, имеющая решение, называется совместной.

Система, не имеющая решений, называется несовместной или противоречивой.

1. Определение систем линейных алгебраических уравнений

Целое алгебраическое уравнение называется линейным, если обе его части состоят из слагаемых, степень которых не выше первой относительно определяемых неизвестных.

Система, в которую входят только линейные алгебраические уравнения, называется линейной.

(Далее следует программируемая часть пособия, в которой при ответе на поставленные вопросы или задания следует закрывать правую часть страницы. На этой части страницы с помощью двух вариантов ответов к каждому вопросу или заданию проверяется правильность данного Вами ответа. Последовательность работы с программируемым пособием определяется приведенными примерами, вопросами или заданиями к ним и реакциями на получаемые ответы. Эта последовательность нарушаться не должна.)

Установите, являются ли системы, данные в примерах №1 и №2, линейными относительно х и у.

Пример №1 Пример №2 Пример №3 Выполните подстановку, приводящую данную систему к линейной.

Ответы: 1.  Система линейная. См. «А». 2.  Система не линейная. См. «Б». А) Правильно. Переходите к примеру №2. Б) Не правильно. Данная система является линейной, так как, состоит из линейных уравнений относительно х и у. Убедимся в том, что все слагаемые первого и второго уравнения имеют степень не выше 1-й относительно х и у. Действительно, левая часть первого уравнения содержит слагаемые Это слагаемые 1-й степени относительно х и у (сумма показателей при х и у в каждом из них равна единице). Слагаемые в правой части первого уравнения имеют относительно х и у нулевую степень. Так (сумма показателей при х и у в каждом из них равна нулю).Здесь мы воспользовались определением х0 ≡ 1 при х ≠0, y0 ≡ 1 при у ≠0. Второе уравнение системы, так же как и первое, можно представить в виде Теперь левая часть второго уравнения содержит слагаемые первой степени относительно х и у, а правая нулевой. Итак, данная система является линейной, т. к. состоит из линейных уравнений. Переходите к примеру № 2. Ответы: 1. Система нелинейная. См. “А”. 2. Система линейная. См. “Б”. А) Правильно. Но подстановкой данная система сводится к линейной относительно новых неизвестных u, v, t. Переходите к примеру №3. Б) Не правильно. Уравнения системы нельзя назвать линейными, так как левые части уравнения содержат сумму дробей, степени которых не определяются. (Определять можно только степень многочлена, то есть такого аналитического выражения, в котором над буквами и числами производится не более двух действий: алгебраическое сложение и умножение). Переходите к ответу 1 в примере №2. Ответ: Подстановкой решение данной системы сводится к последовательному решению двух линейных систем Переходите к пункту 2 данного параграфа.

2. Определение условий, при которых некоторая совокупность значений для неизвестных является решением системы

Решением системы уравнений называется такая совокупность значений для неизвестных, которая удовлетворяет каждому уравнению системы, то есть обращает каждое уравнение в очевидное равенство.

Линейная система, имеющая единственное решение, называется определенной.

Линейная система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Найдите хотя бы одно решение данной системы.

Пример № 1 Пример № 2 Пример № 3 Пример №4   Пример № 5 Пример № 6

Ответы: так как при этих значениях х, у, z удовлетворяются все уравнения системы. Можно выбрать и другую форму записи ответа: (1;–2; 5). В этом случае в круглых скобках в алфавитном порядке перечисля - ются значения х, у, z. Переходите к примеру №2. Ответы: 1.  (0; 1; 4). См. «А». 2.  Система противоречива. См. «Б». А) Не правильно. Еще раз прочтите, как определяется решение системы, и убедитесь в том, что при х = 0, у = 1, z = 4 первое уравнение системы не удовлетворяется, так как х + 3у – z ≠ 4 Переходите к ответу 2 в примере №2. Б) Правильно. Переходите к примеру №3. Ответы: 1.  (1; 2; 1; –3) (Система определенная). См. «А». 2.  Не совпадает с ответом 1. См. «Б». А) Правильно. Переходите к примеру №4. Б) Не правильно. При подстановке заданных значений х, у и z в первое уравнение системы получим 2 + 12 – 5 + 3u = 0. Откуда, u = –3. Следовательно, решение системы : (1; 2; 1; – 3). Переходите к примеру №4. Ответы: 1.  (3,5; –1; 3). Система совместна. См. «А». 2.  Не совпадает с ответом 1. См. «Б». А) Правильно. Переходите к примеру №5. Б) Не правильно. Последова-тельной подстановкой находим: Переходите к примеру №5. Ответы: 1.Система имеет бесчисленное множество решений. См. «А». 2. Не совпадает ответом 1. См. «Б». А) Правильно. Так задавая z произвольные значения, например, z = 0, получим: Таким образом совокупность значений (2; 1,8; 0) является одним из бесчисленного множества решений данной системы. Переходите к примеру № 6. Ответы: 1. Система решений не имеет (противоречива). См. “А”. 2. Не совпадает с ответом l. См. ”Б”. А) Правильно. Переходите к пункту 3 данного параграфа. Б) Неправильно. Два последних уравнения системы не могут удовлетворятся одновременно ни при каких значениях у и z, так как представляют собой противоре - чивые утверждения. Переходите к пункту 3 данного параграфа.

3. Решение линейных алгебраических систем по формулам Крамера

Линейная алгебраическая система c n неизвестными в отдельных случаях может иметь единственное решение. Если такая система приведена к виду, в котором неизвестные х1 , х2, ... хn в данных уравнениях чередуются одинаково, а свободные члены записаны в левой части равенств, то есть система представлена в виде:

 

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,

...........………....................

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn,

то ее единственное решение можно найти по формулам:

х1 = /D,

х2 = /D,

……………. (4.1)

хn = /D,

где D, ,, ..., - определители n-го порядка. При этом определитель D, называемый главным определителем системы, образуется из построчно выписанных коэффициентов при определяемых неизвестных:

	a11 a12 ... a1n
	a21 a22 .... a2n
D =	. . . . . . . . .
	an1 an2 ... ann

А определители , , ..., образуются из главного определителя заменой столбца коэффициентов при определяемом неизвестном х1, х2, ..., хn на столбец свободных членов, взятых из правой части уравнений. Таким образом,

	b1 a12 ... a1n
	b2 a22 .... a2n
=	. . . . . . . . .	,
	bn an2 ... ann

	a11 b1 ... a1n
	a21 b2 .... a2n
=	. . . . . . . . .	, ...,
	an1 bn... ann

	a11 a12 ... b1
.	a21 a22 .... b2
=	. . . . . . . . .
	an1 an2 ... bn

Формулы (4.1) называются формулами Крамера, по имени ученого плодотворно работавшего в области линейной алгебры и ее приложений.

Мы знаем, что, если знаменатель дроби не равен нулю, то дробь определена при любом значении числителя. Следовательно, данная линейная система имеет единственное решение (х1, х2 , ..., хn), если знаменатель дроби в формулах Крамера, то есть D - главный определитель системы не равен нулю.

§ 5. Базис векторного пространства

Три вектора образуют базис трехмерного векторного пространства, если равенство

может выполняться только в случае нулевых значений a, b, c.

Если векторы образуют базис, то любой другой вектор трехмерного пространства можно представить в виде

, (5.1)

где числа λ1, λ2, λ3 называются координатами вектора в разложении по базису .

Часто требуется установить, могут ли три данных вектора образовывать базис трехмерного векторного пространства и если могут, то найти разложение четвертого вектора по трем данным векторам.

Пусть данные векторы разложены по какому-нибудь базису трех-мерного векторного пространства, например, по базису () и имеют в этом разложении координаты: 1, = {a1, a2, a3}; 2 = {b1, b2, b3}; 3 = {c1, c2, c3}. Будем считать, что и четвертый вектор имеет при разложении по базису () координаты {d1, d2, d3}.

Если векторы образуют базис трехмерного пространства, то имеются единственно возможные значения λ1, λ2, λ3, с которыми выполняется равенство (5.1). Подставляя в это равенство разложение векторов , по базису (), получим:

После раскрытия скобок в правой части равенства, группировки слагаемых, содержащих одноименные вектора, и вынесения общих векторных множителей за скобки, будем иметь

Два вектора, разложенные по одному и тому же базису равны тогда и только тогда, когда равны их одноименные координаты. Следовательно,

	a1 λ 1 +b1 λ 2 + c1 λ 3 = d1,
	a2 λ 1 + b2 λ 2 + c2 λ 3= d2, (5.2)
	a3 λ 1 + b3 λ 2 + c3 λ 3= d3.

Если главный определитель системы

	a1	b1	c1		a1	a2	a3
D =	a2	b2	c2	=	b1	b2	b3	¹ 0,
	a3	b3	c3		c1	c2	c3

то для любых координат вектора найдутся единственно возможные значения λ 1 , λ 2 , λ 3, которые являются решением системы (5.2) и удовлетворяют равенству (5.1). При этом

λ 1=	/D,
λ 2 =	/D,
λ 3 =	/D.

Итак, если определитель 3-го порядка, образованный из построчно выписанных координат векторов , не равен нулю, то совокупность этих векторов образует базис трехмерного векторного пространства.