Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Тюменский областной государственный институт

развития регионального образования

Зональная олимпиада по математике

учебный год.

10 класс.

1.  На острове, имеющем форму квадрата, расположено несколько стран. Можно ли разбить эти страны на меньшие так, чтобы не появилось новых точек пересечения границ и чтобы можно было раскрасить карту этого острова в два цвета?

(2 балла)

2.  Доказать, что число делится на 19 при любом натуральном n.

(3 балла)

3.  Преобразуйте сумму в произведение .

(5 баллов)

4.  В треугольник вписан круг. Отрезки, соединяющие центр круга с вершинами, делят площадь треугольника на части с площадями 4, 13 и 15 см2. Найти стороны треугольника.

(5 баллов)

5.  Решить систему уравнений

(5 баллов)

Решение зональной олимпиады, 1-й лист

(2005 –2006 учебный год).

10 класс.

1. На острове, имеющем форму квадрата, расположено несколько стран. Можно ли разбить эти страны на меньшие так, чтобы не появилось новых точек пересечения границ и чтобы можно было раскрасить карту этого острова в два цвета?

Ответ: можно.

Решение:

Достаточно «раздвоить» границы всех стран, как показано на рисунке (рис. 1).

Рис. 1

2. Доказать, что число делится на 19 при любом натуральном n.

Доказательство:

Если n = 1, то 72 + 81 = 57, а 57 делится на 19. Предположим, что для некоторого натурального k число 7k+1 + 82k-1 делится на 19. Докажем, что в таком случае и

7k+2 + 82k+1 делится на 19.

В самом деле, 7k+2 + 82k+1 = 7 × 7k+1 + 64 × 82k-1 = 7(7k+1 + 82k-1) + 57 × 82k-1. Так как каждое слагаемое полученной суммы делится на 19, то и 7k+2 + 82k+1 также делится на 19. Утверждение доказано.

3. Преобразуйте сумму в произведение .

Ответ: .

Решение:

= =

= =

= =

= = .

Решение зональной олимпиады, 2-й лист (10-й класс)

(2005 –2006 учебный год).

4. В треугольник вписан круг. Отрезки, соединяющие центр круга с вершинами, делят площадь треугольника на части с площадями 4, 13 и 15 см2. Найти стороны треугольника.

Ответ: .

Решение:

Обозначим стороны треугольника через а, в, с. Тогда площади частей треугольника равны , , , т. е. = 8, = 26, = 30, откуда , , . По формуле Герона находим .

Но S = 4+13+15 = 32 см2; следовательно, = 32, r = см. Итак, .

5. Решить систему уравнений

Ответ:

Решение:

Сложите все уравнения, получив утроенную сумму всех неизвестных. Далее сложите первое, четвертое и седьмое уравнения и получите Остальные неизвестные находятся аналогично.