XXXI Всероссийская олимпиада школьников по математике
(V этап)
Нижний Новгород, 24-29 апреля 2005 г.
Задачи
Задания подготовлены Методическим Советом Всероссийской математической
олимпиады школьников. В скобках после каждой задачи указана фамилия ее
автора.
Тексты задач воспроизводятся по печатным материалам, выданным участникам
олимпиады.
В каждой параллели задачи с номерами 1, 2, 3 и 4 были предложены
участникам 25 апреля 2005 года, задачи с номерам 5, 6, 7 и апреля
2005 года. В каждый из дней на выполнение задания отводилось 5
астрономических часов.
*9.1.* Дан параллелограмм /ABCD/ (/AB/</BC/). Докажите, что окружности,
описанные около треугольников /APQ/, для всевозможных точек /P/ и /Q/,
выбранных на сторонах /BC/ и /CD/ соответственно так, что /CP/=/CQ/,
имеют общую точку, отличную от /A/.
(/Т. Емельянова/)
*9.2.* Лёша поставил в клетки таблицы 22*22 натуральные числа от 1 до
22^2 . Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по
стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?
(/О. Подлипский/)
*9.3.* Сумма чисел /a/_1 , /a/_2 , /a/_3 , каждое из которых больше
единицы, равна /S/, причём /a/_/i/ ^2 /(/a/_/i/ -1)>S для любого /i/=1,
2, 3. Докажите, что (/a/_1 +/a/_2 )^-1 +(/a/_2 +/a/_3 )^-1 +(/a/_3
+/a/_1 )^-1 >1
(/С. Берлов/)
*9.4.* На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны
различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и
попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках
располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000
рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так,
чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?
(/М. Гарбер/)
*9.5.* Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для любых
двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение - рациональное
число. Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
(/О. Подлипский/)
*9.6.* Сколькими способами числа 2^0 , 2^1 , 2^2 , ..., 2^2005 можно
разбить на два непустых множества /A/ и /B/ так, чтобы уравнение /x/^2
-/S/(/A/)/x/+/S/(/B/)=0, где /S/(/M/) - сумма чисел множества /M/, имело
целый корень.
(/Н. Агаханов, И. Богданов/)
*9.7.* В остроугольном треугольнике /ABC/ проведены высоты /AA'/ и
/BB'/. На дуге /ACB/ описанной окружности треугольника /ABC/ выбрана
точка /D/. Пусть прямые /AA'/ и /BD/ пересекаются в точке /P/, а прямые
/BB'/ и /AD/ пересекаются в точке /Q/. Докажите, что прямая /A'B'/
проходит через середину отрезка /PQ/.
(/А. Акопян/)
*9.8.* За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от
каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким
образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой
страны, и каждый человек находится в одной группе с не более чем одним
своим соседом.
(/С. Берлов/)
*10.1.* Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде
(2^/a/ -2^/b/ )/(2^/c/ -2^/d/ ), где /a/, /b/, /c/, /d/ - натуральные
числа.
(/В. Сендеров/)
*10.2.* В таблице 2*/n/ расставлены положительные числа так, что в
каждом из /n/ столбцов сумма двух чисел равна 1. Докажите, что можно
вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке
сумма оставшихся чисел не превосходила (/n/+1)/4.
(/Е. Куликов/)
*10.3.* На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на
каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три
карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое
наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой
карточке?
(/И. Богданов/)
*10.4.*Окружности w_/B/ , w_/C/ - вневписанные для треугольника /ABC/
(т. е. w_/B/ , w_/C/ касаются соответственно сторон /AC/ и /AB/ и
продолжений двух других сторон). Окружность w'_/B/ симметрична w_/B/
относительно середины стороны /AC/, окружность w'_/C/ симметрична w_/C/
относительно середины стороны /AB/. Докажите, что прямая, проходящая
через точки пересечения окружностей w'_/B/ и w'_/C/ , делит периметр
треугольника /ABC/ пополам.
(/П. Кожевников/)
*10.5.* В некоторые 16 клеток доски 8*8 поставили по ладье. Какое
наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?
(/Е. Куликов/)
*10.6.* В остроугольном треугольнике /ABC/ проведены высоты /AA'/ и
/BB'/. На дуге /ACB/ описанной окружности треугольника /ABC/ выбрана
точка /D/. Пусть прямые /AA'/ и /BD/ пересекаются в точке /P/, а прямые
/BB'/ и /AD/ пересекаются в точке /Q/. Докажите, что прямая /A'B'/
проходит через середину отрезка /PQ/.
(/А. Акопян/)
*10.7.* Натуральные числи /x/ и /y/ таковы, что 2/x/^2 -1=/y/^15 .
Докажите, что если /x/>1, то /x/ делится на 5.
(/В. Сендеров/)
*10.8.* На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число
клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное
число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите,
что каждую белую клетку можно покрасить в красный или зелёный цвет так,
чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток,
соседних с ней по стороне.
(/А. Глебов, Д. Фон-Дер-Флаасс/)
*11.1.* Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение
|/x/-/a/_1 |+...+|/x/-/a/_50 |=|/x/-/b/_1 |+...+|/x/-/b/_50 |,
где /a/_1 , /a/_2 , ..., /a/_50 , /b/_1 , /b/_2 , ..., /b/_50 -
различные числа?
(/И. Рубанов/)
*11.2.* На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на
каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три
карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое
наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой
карточке?
(/И. Богданов/)
*11.3.* Пусть /A'/, /B'/, /C'/ - точки касания вневписанных окружностей
с соответствующими сторонами треугольника /ABC/. Описанные окружности
треугольников /A'B'C/, /AB'C'/ и /A'BC'/ пересекают второй раз описанную
окружность треугольника /ABC/ в точках /C/_1 , /A/_1 , /B/_1
соответственно. Докажите, что треугольник /A/_1 /B/_1 /C/_1 подобен
треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности
треугольника /ABC/ с его сторонами.
(/Л. Емельянов/)
*11.4.* Натуральные числа /x/, /y/, /z/ (/x/>2, /y/>1) таковы, что
/x/^/y/ =/z/^2 . Обозначим через /p/ количество различных простых
делителей числа /x/, через /q/ - количество различных простых делителей
числа /y/. Докажите, что /p/_>_/q/+2.
(/В. Сендеров/)
*11.5.* Существует ли ограниченная функция /f/: *R*->*R* такая, что
/f/(1)>0 и /f/(/x/) удовлетворяет при всех /x/, /y/ C *R* неравенству
/f/^2 (/x/+/y/)_>_/f/^2 (/x/)+2/f/^2 (/xy/)+/f/^2 (/y/) ?
(/Н. Агаханов/)
*11.6.*
(/А. Акопян/) Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных
параллелепипедов /P/_1 , /P/_2 , ..., /P/_12 , рёбра которых параллельны
координатным осям /Ox/, /Oy/, /Oz/ так, чтобы /P/_2 пересекался (т. е.
имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме /P/_1 и
/P/_3 , /P/_3 пересекался с каждым из оставшихся, кроме /P/_2 и /P/_4 ,
и т. д., /P/_12 пересекался с каждым из оставшихся, кроме /P/_11 и /P/_1
, /P/_1 пересекался с каждым из оставшихся, кроме /P/_12 и /P/_2 ?
*11.7.* Четырёхугольник /ABCD/ с попарно непараллельными сторонами
описан около окружности с центром /O/. Докажите, что точка /O/ совпадает
с точкой пересечения средних линий четырёхугольника /ABCD/ тогда и
только тогда, когда /OA/*/OC/=/OB/*/OD/.
(/А. Заславский, М. Исаев, Д. Цветов/)
*11.8.* За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран. Докажите,
что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе
будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной
группы не сидят за столом рядом.
(/С. Берлов/)
