ЦЕНТР ТВОРЧЕСКИХ ИНИЦИАТИВ «SNAIL»

IV Всероссийская Дистанционная Олимпиада по Математике

4025, Коронотова Надежда, 9 класс МОУ Худоеланская СОШ, с. Худоелань, Иркутская область Нижнеудинский район

№1.Пассажир проезжая в трамвае, заметил знакомого, который шел вдоль линии трамвая в противоположную сторону. Через 10 секунд пассажир вышел из трамвая и пошел догонять своего знакомого. Через сколько секунд он догонит знакомого, если он идет в два раза быстрее знакомого и в 5 раз медленнее трамвая?

Решение: 1 способ. Когда пассажир вышел из трамвая и пошел догонять своего знакомого, он прошел путь до места, где встретил знакомого за 50 секунд, т. к. его скорость в 5 раз медленнее трамвая, если трамвай за 10 секунд проехал, то пассажир за 50 секунд. А знакомый после того, как заметил его пассажир, прошел некоторый путь за 10 секунд, а пассажир пройдет этот путь за 5 секунд, т. к. его скорость в 2 раза больше. Значит, пассажир пройдет путь от начала выхода из трамвая до знакомого за 55 секунд. Дальше он еще будет двигаться 55 секунд и догонит своего знакомого в точке Е.

Знакомый за первые 55 секунд пройдет путь от С до Д, а последующие 55 секунд, он окажется в точке Е, где его догонит знакомый. Значит 55+55=110

Ответ: через 110 секунд он догонит знакомого.

2 способ. Пусть х – скорость знакомого

2х – скорость пассажира

10х – скорость трамвая

За 10 секунд трамвай проедет

10*10х = 100х

Знакомый пройдет за это время в противоположном направлении

10*х = 10х

Общий путь между ними 100х+10х = 110х

2х – х = х скорость сближения

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

110х : х = 110 сек.

Ответ: через 110 секунд он догонит знакомого.

№2.Что больше: или ?

Решение:

отсюда следует

Ответ:

№3.Два пешехода отправились навстречу друг другу: один из А в В, другой из В в А. Через 2 часа они встретились. Достигнув пункта назначения, они не задерживаясь, пошли обратно. На обратном пути они снова встретились. Через какое время после начала движения произошла вторая встреча?

Решение: 1 способ.

Пусть V1 - скорость 1 пешехода

V2 - скорость 2 пешехода

Весь путь 2 V1 + 2 V2

После 1-ой встречи 1 пешеход пройдет до пункта назначения В столько же, сколько 2-ой пешеход до первой встречи. Следовательно, 1-й пешеход пройдет - 2 V2 и аналогично 2-й пешеход пройдет после первой встречи до пункта А - 2 V1. Вместе они снова прошли 2 V1 + 2 V2 . Так как каждый шел с постоянной скоростью, их общая скорость сближения V1+ V2 . До 2-й встречи от пунктов А и В оба пешехода пройдут вместе 2 V1 + 2 V2 . Следовательно, весь общий путь от начала движения до 2-й встречи

3*(2 V1 + 2 V2)=6 ( V1 + V2) скорость сближения V1 + V2 время равно

= 6 часов

Ответ: Встретятся они через 6 часов

2 способ.

Предположим, что скорости у них одинаковые.

Ответ: Встретятся они через 6 часов

3 способ.

Предположим что скорости разные.

Ответ: Встретятся они через 6 часов.

№4.1кг пломбира на 40 рублей дороже 1 кг шоколадного мороженого. Андрей и Виктор заказали по 150 г мороженого, причем у Андрея пломбира в 2 раза больше, чем шоколадного мороженого, у Виктора – того и другого поровну. Чья порция дороже и на сколько?

Решение:

Цена пломбира х + 40

Цена шоколадного мороженого х

Заказали по 150 грамм, причем у Андрея пломбира в 2 раза больше, чем шоколадного мороженого, отсюда следует,

100г – пломбира

50г – шоколадного мороженого у Андрея.

100г = кг 50г = кг

Составляем стоимость заказа Андрея:

(х+40) + х = х +4+ х= х +4

Виктор пломбира и шоколадного мороженого заказал поровну, отсюда следует,

По 75г – и пломбира, и шоколадного мороженого.

75г=кг

Составляем стоимость заказа Виктора:

(х+40) + х = х +3 + х = х+3= х +3

Ответ: порция Андрея дороже порции Виктора на 1 рубль.

№5. Найдите расстояния от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его гипотенузы, равной 25, если один из катетов равен 20.

Решение:

А Дано:

АВС, ےС = 900

АВ = 25, АС = 20

М т. О – точка пересечения медиан

К Найти:

О L ОК – расстояние от точки О до гипотенузы

С В

Решение:

1)  ОК – искомое расстояние

2)  Проведем высоту CL ABC на сторону АВ, ОК ║CL отсюда следует,

ОМК подобен СML

3)  Найдем CL используя площадь треугольника

S ABC = АС*СВ = CL * AB

СВ =

* 20 * 15 = CL * 25

CL=150

CL=12

4)  МС – медиана, т. О – точка пересечения медиан МО: ОС=1:2, МС=АВ=12,5 МО=4

5)  Из подобия треугольников следует

12,5 ОК=50 ОК=4

Ответ: Расстояние от точки пересечения медиан до гипотенузы равно 4

№6. Если на круговом маршруте работают два автобуса, то интервал движения 25 мин. Сколько дополнительных автобусов нужно пустить на маршрут, чтобы интервал движения уменьшился на 60%?

Решение: Если интервал движения 25 минут и 2 автобуса на маршруте, следовательно, полный маршрут по времени 50 минут.

Находим 60% - 25:100*60=15 минут

25 – 15 = 10 минут – интервал

25 мин – 2 автобуса

10 минут – х автобусов,

=

10х = 50

х = 5 (автобусов)

5 – 2 = 3 (автобуса)

Ответ: 3 дополнительных автобуса нужно пустить на маршрут, чтобы интервал движения уменьшился на 60%?

№7.Три буквы – «Г», «Б», «Л» - входят в состав трех различных слов, состоящих из 4 букв. В первом слове первая буква - «Н», во втором – «С». Первое слово оканчивается на «А», второе на «О». третье слово начинается с «Н», а заканчивается на «О». Буквы «Б» и «Г» находятся в словах с первой буквой «Н», а буквы «Б» и «Л» - в словах с последней буквой «О». Определите, что это могут быть за слова.

Решение:

1 слово: Н..А

2 слово: С..О

3 слово: Н..О

 

Н..А

Н..О В этих словах стоит либо буква «Г», либо «Б».

 

С..О В этих словах стоит либо буква «Б», либо «Л».

Н..О

Отсюда мы видим, что:

Н..О

Н..О Есть и в первом, и во втором, и буква «Б», значит

3 слово: Н. БО

2 слово: С. ЛО

1 слово: Н. ГА

Составляем слова.

1)  Нога или нуга, нега

2)  Село или сало.

3)  Небо.

Ответ: нога, село, небо.

№8. Джон и Мэри живут в небоскребе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой квартире живет Джон?

Решение: 1 способ.

Предположим, что у Джона 21 этаж, а у Мери 21 квартира. Тогда:

239 – 21 = 218, но 21 этаж это будут квартиры с 201-210. Предположение не верно. Следовательно, у Джона 22 этаж, значит у Мери 22 квартира. Тогда

239 – 22 = 217, эта квартира находится на 22 этаже.

Ответ: Джон живет в 217 квартире.

2 способ.

х – номер квартиры Мери, номер этажа Джона

у – номер квартиры Джона

х+у = 239

1≤ х ≤ 24

А) если х=24

24+у = 329

У = 215, но эта квартира не на 22 этаже, что не удовлетворяет условию.

Б) х = 23

23+у = 239

У = 216, не на 22 этаже, не подходит.

В) х = 22

22 + у = 239

У = 217 , на 22 этаже условие выполняется.

Г) х = 21

21 + у = 239

У = 218, не на 22 этаже, не подходит.

Ответ: 217 квартира у Джона.

№9.Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29 – река, а на 13 – и то, и другое; на остальных картинах – не поймешь что. Сколько картин изображают не поймешь что?

Решение:

Лес – 17 картин

Река – 29

42 кар. Лес и река – 13

Не поймешь что - ?

17 – 13 = 4 (картины, только лес)

29 – 13 = 16 (картин, где только река)

4 + 16+ 13 = 33 (картины, где лес, река, лес и река)

42 – 33 = 9 (картин, где не поймешь что)

Ответ: 9 картин изображают не поймешь что.

№10.Одним ударом Шварценеггер может разбить любой кусок бетона на 3 части. Сколько ударов ему понадобиться сделать, чтобы разбить бетонную плиту на 2005 частей?

Решение:

1 способ:

а*2+1 = 2005

2а = 2004 а – число ударов

а = 2004:2 2+1 – число частей

а = 1002

Ответ: 1002 удара ему понадобиться сделать, чтобы разбить бетонную плиту на 2005 частей.

2 способ:

1; 3; 3+2; 3+4; 3+6;….

1; 3; 5; 7; 9 … - члены арифметической прогрессии

d = 3-1=2

а1 =1

аn = 2005

an = а1 + d (n – 1) формула n-го члена

2005 = 1+2 (n – 1)

2005 = 1+2n – 2

2005 = 2n – 1

2006 = 2n

n = 1003

отсюда следует что ударов было совершено 1002

Ответ: 1002 удара ему понадобиться сделать, чтобы разбить бетонную плиту на 2005 частей.

№11.Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую секунду он управился с половиной памяти, за вторую секунду – с одной третьей оставшейся части, за третью секунду с одной четвертью того, что еще сохранилось, за четвертую – с одной пятой остатка, тут его настиг могучий Антивирус. Какая часть память уцелела?

Решение:

Всю память обозначим за 1.

1 – 0,5 = 0,5 (памяти осталось)

0,5 : 3 = (вирус съел за 2 секунды)

0,5 – = - = = (памяти осталось)

: 4 = * = (вирус съел за 3 секунды)

– = = (памяти осталось)

: 5 = * = (памяти, вирус съел за 4 секунды)

- = = = 0,2 (памяти осталось)

Ответ: 0,2 часть памяти уцелела.

№12.Кусок туалетного мыла имеет форму параллелепипеда. После семи дней использования все его размеры уменьшились вдвое. На сколько дней еще хватит этого мыла?

Решение:

а, в, с – измерения параллепипеда ( кусочка мыла)

V = авс

а, в, с

V = авс

Через 7 дней осталось одна из 8 частей, отсюда следует, что на один день хватит этого мыла.

Ответ: На один день хватит этого мыла.

№13.На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывает число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых – 600. Определить скорость трамвая.

Решение:

1 км – 12 мин

5 км/ч – скорость пешехода

Количество встречных и обгоняющих трамваев пропорционально их скоростям сближения.

v + 5 км/ч и v – 5 км/ч, где

v – скорость трамвая

3v +15 = 8v – 40

-5v = - 55

v = 11 км/ч

Ответ: 11 км/ч скорость трамвая.

№14. Двое рабочих могут напилить за день 5 поленниц дров, а наколоть 8 поленниц. Сколько поленниц дров они должны напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день?

Решение: 1 способ. Производительность двух рабочих при напилки 1 (5 поленниц разделить на 5 частей), а производительность этих же рабочих при расколке 1,6 (8 : 5 = 1,6 ). Когда разделили 5 поленнец на 5 частей ( то их рабочий день состоял из 5 частей). 3 части своего времени они будут пилить и напилят 3 поленницы, а 2 части они будут колоть и наколют 3,2<3.

Ответ: двое рабочих должны напилить 3 поленицы и в тот же день они успеют их наколоть.

2 способ.

1 поленница за дня распиливают

1 поленница за для раскалывают

+= дня чтоб расколоть и распилить 1 поленницу

- дня еще свободно

:= * поленниц

поленниц распилить и расколоть за 1 день.

Ответ: двое рабочих должны напилить 3 поленицы и в тот же день они успеют их наколоть, а целых 3 поленницы

№15.Найдите, где допущена ошибка

Ответ: Корни не извлекаются из единиц измерения, т. к. они не являются квадратными.

№16.Три друга Костя, Олег и Миша играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Костя сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Миша разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений лишнее, а другое нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Решение: Костя – «Это не я разбил стекло»

Олег – « Это Миша разбил стекло»

Одно утверждение лишнее, другое нет.

Если предположить, что Костя говорит правду, то Олег неправду, отсюда следует, что разбил Олег.

Если Костя говорит неправду, то Олег правду, приходим к противоречию, что тогда Костя разбил и Миша разбил, что не может быть. Следовательно, разбил Олег.

Ответ: Олег разбил стекло.

№17.На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера.

Решение:

Обозначим сегодняшние рыбки : большие рыбки – х , маленькие – у.

Обозначим вчерашние рыбки : большие рыбки – а , маленькие - в

Составим систему уравнений:

3х + у=5а Второе уравнение умножаем на ( -1),и слаживаем

2х+ у =3а +в

Получим: х=2а-в, подставляем во второе уравнение и находим у.

2(2а-в)+у=3а+в

4а-2в+у=3а+в

у = -4а+2в+3а+в

у = - а+3в, нужно доказать, что х+2у<или.>5в, подставляем вместо х и у и получаем:

х+2у= 2а-в+2(-а+3в)=2а-в-2а+6в=5в, значит х+2у=5в.

Ответ: стоимость одной большой рыбки и двух маленьких сегодня равна пяти маленьким рыбкам вчера.

№18.Три квадрата расположены, как показано на рисунке. Найдите угол между прямыми АС и BD.

Решение:

{ 3;1}

{2; -1}

=

* = 3*2+1*(-1) = 6-1=5

L = 450

Ответ: 450

№19.Машины часы опаздывают каждый час на 2 минуты. Если по радио передают сигнал 12 часов, то через сколько времени на часах Маши будет 12 часов, если её часы показывали точное время ровно 5 часов тому назад?

Решение:

12 – 5 = 7 (точное время у Маши)

1) Через 1 час на часах 8 часов по радио, а у Маши 7 часов 58 минут.

2) по радио 9 часов, у Маши 8 часов 56 минут

3) по радио 10 часов, у Маши 9 часов 54 минуты

4) по радио 11 часов, у Маши 10 часов 52 минуты

5) по радио 12 часов, у Маши 11 часов 50 минут

Машины часы за 10 минут еще опоздают.

1 час – 2 минуты

60 минут – 2 минуты

10 минут – х

60х = 20

х =

10 + минут

Ответ: через минут у Маши на часах будет 12 часов.

№20. 30 стульев стоят в ряд. Время от времени к ряду подходит человек и садится на один из свободных стульев, при этом один из его соседей, если таковые есть, встает и уходит. Какое максимальное число стульев может быть занято, если в начале они все были пустыми?

Решение: сначала садятся 15 человек через стул, 16 приходится садиться между двумя сидящими один из них уходит, остается 15 человек. И так далее один садится, другой уходит, остается 15.

Ответ: максимальное число стульев может быть занято 15.