Решения заданий заочного тура (Интернет-тура)
XI Республиканской олимпиады имени
МАТЕМАТИКА
1. Ответ-20 поворотов. Легко привести пример, когда поворотов 20. Докажем, что меньше 20 поворотов быть не может. Рассмотрим 10 улиц какого-то одного направления. Если маршрут проходит по каждой из них, то на каждой из них уже есть не менее двух поворотов маршрута, и все доказано. Если найдется такая улица, по которой маршрут не проходит совсем, то он должен проходить по всем 10 перпендикулярным улицам. К ним мы можем применить те же самые рассуждения.
2. На одну стирку. После каждой стирки, мыло уменьшается на одинаковый объем. После семи стирок осталась только 1/8 объема. Значит осталась только одна стирка.
3. 
. Так как 7 – простое число, то каждый из множителей может быть равен: 1 и 7 или -1 и -7 или 7 и 1 или -7 и-1. Составим системы уравнений: 
или 
или 
Решая их получаем ответ: x=-1,y=8 или x=-5,y=0 илих=2,у=2 или х=-2 или у=-6
4. Марфуша выпила 11 чашек, Поликсена-9, Редиска - 7.
5. Для того чтобы проехать наибольшее расстояние, необходимо в какой-то момент так поменять колеса местами, чтобы они израсходовали свой ресурс по возможности одновременно. Пусть это произойдет через х км, и мы сумеем проехать еще у км, тогда ресурс первого колеса составит 
, а второго 
. Следовательно, 
Тогда, умножая почленно каждое неравенство на 6000 и складывая их, получим 
. Проверкой убеждаемся, что при х =у=1200 оба ресурса достигают 1. Ответ: 2400 км
6. Стратегия продавца должна состоять в том, чтобы разрезать как можно меньше. Если кусок, требуемый покупателем длины уже есть, тот нужно продать его, если же его нет, нужно взять кусок наименьшей длины, превышающий длину требуемого, и разрезать его пополам. Если получившиеся куски снова длиннее требуемого, нужно взять один из них и разрезать его пополам и т. д. Действуя таким образом, продавец когда-нибудь получит кусок требуемой длины и сможет продать его. При такой стратегии после каждой продажи у продавца у продавца не окажется двух или более кусков одинаковой длины. Покажем, что при такой стратегии продавец сможет последовательно удовлетворить запросы всех покупателей. Предположим, что это не так. Пусть продавец не может продать кусок, требуемый очередным покупателем. Это значит, что все куски, которые есть у продавца, короче того, который нужен покупателю. Но мы знаем, что среди них нет кусков одинаковой длины. Значит, если бы у продавца оставались все куски, имеющие меньшие длины, то сумма этих длин была бы меньше требуемой, т к для все натуральных n 
. Следовательно, сумма всех запросов покупателей за этот день превысила бы 1024 метра, что противоречит условию.
7. Пусть в короля попало х яиц, у кочанов и 64 кошки. Тогда герцогу досталось 4х яиц и 6у кочанов. Так как предметов, угодивших в них, равное количество, то составляем уравнение: х+у+64=4х+6у, которое равносильно уравнению 3х+5у=64. Из условия задачи следует, что общее количество яиц делится на 3, а общее количество кочанов - на 2. Следовательно, 5х кратно трем, а 7у кратно двум. С учетом того, что числа 5 и 3, а также 7 и 2 образуют пары взаимно простых чисел, имеем, что х=3к, а у=2n, где к и n – натуральные числа. Подставляя в исходное уравнение, получаем : 9k+10n=64. Перебором находим, что его решением в натуральных числах является только n=1, K=6. Т. е. х=18, у=2. Значит, на представление было принесено 5х=90 (яиц), 7у=14(кочана) и 64 кошки. Следовательно, количество зрителей, пришедших на представление, равно: 90:3+14:2+64=101. Ответ: 101
8. 8 отрезков так расположить можно(см рис)., 
а 7- нельзя. Докажем это. Предположим, что такое расположение 7 отрезков возможно. Занумеруем отрезки и составим табличку 7х7; в клетке (i, j) на пересечении i-той строки и j-го столбца поставим +, если i-й отрезок пересекается с j-м, и -, если не пересекается. Если i=j, то тоже ставим -. Подсчитаем двумя способами, сколько плюсов в таблице. С одной стороны, в каждой строке их на 3, поэтому всего - 3*7=21. С другой стороны, таблица заполнена симметрично относительно диагонали: если в клетке стоит (I, j) стоит +, то в клетке (j, i) тоже +. Значит, общее количество плюсов должно быть четным. Получили противоречие.
9. 1. Приведем пример: n=6
- 2. Докажем, что никто не сможет сделать «счастливое» ожерелье, в котором более 6 красных бусинок:
- | Если бусинка под №1- синяя, то среди бусинок с номерами 4, 7, 10, 13 не более двух красных бусинок. -Всего таких звездочек – 3, => Красных бусинок не более 6. |
Вывод: Невозможно сделать «счастливое» ожерелье, в котором более 6 красных бусинок, => n= 6, ч. т. д.
10. Заметим, что 25% от стоимости 20 карандашей - это стоимость 5 карандашей, а 10% стоимости 5 карандашей - это половина стоимости карандаша. Ясно, что для получения максимальной скидки Вася должен действовать так: 1) Пока хватает денег, покупать набор из 20 карандашей и сразу обменивать чек на выходе; 2) Если не хватает денег на 20 карандашей, но хватает на 5, покупать набор из 5 карандашей и сразу обменивать чеки на выходе; 3) в крайнем случае покупать отдельные карандаши. Действуя таким образом, Вася купит сначала коробку из 20 кар, и получит на выходе стоимость 5 кар. После этого у него будет денег на 15 кар. Потом он купит три набора из 5 карандашей и получит на выходе стоимость 1,5 карандашей. На оставшиеся деньги он купит 1 карандаш. Итого: 36 карандашей.
