Задания для 9-го класса по математике ( учебный год)

Ваш регистрационный номер 9–_____ (указывайте его в левом верхнем углу конверта).

Письма высылать ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6, комн. 504, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе с решенным заданием не забудьте выслать конверт с заполненным на Ваше имя адресом. Сроки выполнения заданий: Задание 1- декабрь; Задание 2 - январь; Задание 3 - февраль; Задание 4 – март; Задание 5 – апрель.

Телефоны для справок: ; (с 1100 до 1500 ).

Задания и решения смотрите на сайте: http//mm. ***** (Математическая школа)

ЗАДАНИЯ ДЛЯ 9-го КЛАССА

( учебный год)

Задание 1

1) Найти сумму

2) Число 61 представить в виде разности кубов натуральных чисел.

3) Решить уравнение

.

4) При каких а для любого b найдется с такое, что система

имеет хотя бы одно решение?

5) Три окружности радиусов 15, 16 и 18 касаются внешне попарно друг друга. Найти радиус окружности, проходящей через точки касания.

Задание 2

1) Найти сумму

2) Доказать, что сумма при любом целом n делится на 3.

3) Решить систему

в целых положительных числах.

4) Найти все а, для которых неравенство

имеет хотя бы одно решение, большее двух.

5) Прямая, параллельная основаниям прямоугольной трапеции, рассекает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны 4 и 5. Найти её основания.

Задание 3

1) Сумма нескольких последовательных натуральных чисел равна 1000. Найти эти числа.

2) Вычислить .

3) Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения , если известно, что .

4) При каких а уравнение имеет ровно три корня? Найти эти корни.

5) Найти прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются целыми числами и удвоенная площадь которого равна его утроенному периметру.

Задание 4

1) Два двузначных числа, разность которых делится на 10, таковы, что при делении на 9 частное каждого из них равно остатку другого. Найти эти числа.

2) На полке помещается 30 томов собрания сочинений Диккенса. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

3) Решить систему уравнений

4) При каких а неравенство имеет не менее пяти целочисленных решений?

5) Доказать, что для любого прямоугольного треугольника , где r – радиус вписанной окружности, h – высота, опущенная на гипотенузу.

Задание 5

1) Каких чисел больше среди первого миллиона: тех, в записи которых встречается тройка, или тех, в записи которых её нет?

2) В бассейн может поступать вода через две трубы разной пропускной способности. Меньшая труба за 1 секунду пропускает 1 м3 воды. В бассейне также имеется кран, через который может вытекать в течение секунды 1 м3 воды. В каких пределах должна изменяться пропускная способность большей трубы, если известно, что для поступления 16 м3 воды в бассейн потребовалось больше 3, но меньше 4 секунд, причем 10 м3 поступило при одновременном действии обоих труб и при закрытом кране, а 6 м3 – при действии только большой трубы и открытом кране.

3) Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Найти целую часть числа , где .

4) Найти все а, при которых функция является четной.

5) Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами внутренних углов параллелограмма со сторонами 37 и 23 и углом 135°.