Курс «Управление качеством»
Лекция № 5
Математические основы статистических методов анализа качества изделий
Статистический ряд и его характеристики
Основой процесса управления качеством изделий является статистический ряд, который получают из соответствующего количества данных. Последние получают применением выборочного метода.
Выборкой называют совокупность случайно отобранных изделий. Генеральной совокупностью называют множество изделий, из которых производится выборка. Объемом называют число изделий совокупности.
Выборку классифицируют по ряду признаков. По способу отбора выборки делят на повторные и бесповторные. Повторная выборка – это такая, при которой изделие возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой изделие не возвращается в генеральную совокупность.
Далее выборки классифицируют в зависимости от того, требуется или нет расчленения генеральной совокупности на части.
К отбору, при котором не требуется расчленять генеральную совокупность на части относят:
1) простой случайный бесповторный отбор;
2) 2) простой случайный повторный отбор.
Простым случайным отбором называют такой, при котором изделия извлекают по одному на угад из всей генеральной совокупности.
К отбору, при котором требуется расчленять генеральную совокупность на части относят:
1) типический;
2) механический;
3) серийный.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее “типовой” части. Например, если изделия изготавливают на нескольких агрегатах, то отбор производят по каждому агрегату в отдельности.
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность делят на несколько групп, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если требуется отобрать 20% изделий, изготовленных на агрегате, то отбирают каждое пятое изделие.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а сериями, которые подвергают сплошному обследованию. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.
Заметим, что на практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.
Кроме того, выборки можно классифицировать по преднамеренности отбора на случайные и пристрастные. Пристрастной называют выборку, при которой отдается предпочтение изделиям с заранее заданным признаком.
Выборки также классифицируют по отношению ко времени отбора на единовременные и текущие. Единовременную выборку осуществляют из партии изделий после их изготовления. Текущая выборка состоит из изделий, последовательно изготовленных за определенный отрезок времени.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка. Значение х1 наблюдается при этом n1 раз, значение х2-n2 раза,…, хк- nк раз. Тогда 
- это объем выборки. Наблюдаемые значения xi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, вариационным рядом. Числа ni называют частотами, а их отношение к объему выборки – относительными частотами, т. е. ni/n=wi.
Статистическим распределением выборки (статистическим рядом) называют перечень вариант и соответствующим им частот (относительных частот).
Обозначим nx - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х.
Эмпирической функцией распределения называют F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события, что случайная величина Х<х, т. е. 
;
В отличие от F*(х) функцию распределения F(х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция распределения F(х) определяет вероятность события Х<х, а эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого события. Из т. Бернулли
, e<0.
Другими словами F*(x) стремится по вероятности к F(x) для приближенного представления F(x). Укажем, что F*(x) обладает всеми свойствами F(x):
1) F*(x)Î[0,1];
2) F*(x) – неубывающая функция;
3) Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x)=0, при х1<х если хк – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при х>xn.
Для наглядного изображения статистического ряда строят полигон и гистограмму.
Полигон относительных частот (рис. 1а) – это ломанная, отрезки которой соединяют точки (x1,n1), (x2,n2),…,(xк, nк).
Полигон используют для отображения дискретного статистического ряда. Для непрерывного статистического ряда применяют гистограмму (рис. 1б). Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны wх.
а) б) в)
Рис. 1.
Площадь гистограммы равна объему выборки. График накопленных частот (рис. 1в) представляет собой кумулятивную кривую:
Законы распределения случайной величины
Общие сведения
Наибольшее распространение в математической статистики получили следующие законы: равномерный, биномиальный, показательный (Пуассона), нормальный, Вейбулла, Хи – квадрат, Стьюдента и др.
Законы равномерного распределения, биномиальный, Пуассона и показательный мы уже рассмотрели ранее:
Нормальный закон распределения и его следствия
Нормальным называют распределение вероятностей н. с.в., которое описывается плотностью
Нормальное распределение описывается двумя параметрами: a и s. Параметр а - это математическое ожидание Х, а s - среднее квадратичное отклонение Х от М(Х), т. е. 
.
Замечания.
Нормальное распределение называют нормированным, если а=0, s=1.
F(x)=F0((x-a)/ s), где F(x) – общее нормальное распределение. Функция 
- табулированна.
Учитывая, что
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса),
,
площадь под кривыми равна 1.
Начальным моментом порядка к случайной величины Х называют
Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины (х-М(х)) к
При отклонении распределения от нормального его оценивают асимметрией и эксцессом. Но предварительно вспомним.
Асимметрией распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения.
Эксцессом распределения называют 
Для нормального распределения Ек=0.
