Ростовский электротехнический колледж
Руководство к выполнению контрольных заданий
по математике
для студентов заочной формы обучения
(специальности: АТП, МЭП)
Общие методические указания
Основная задача предмета «Математика» - развивать мышление учащихся, дать им комплекс математических знаний и навыков, необходимых для изучения и усвоения других дисциплин.
Прежде чем приступить к изучению математики, необходимо повторить материал средней школы, уделив особое внимание правилам действия над дробями(обыкновенными и десятичными), пропорциями, процентам, преобразованию алгебраических выражений, разложению на множители, формулам сокращенного умножения и. т.д.
Для повторения рекомендуются учебники:
Рекомендуемая литература
1. Математика. Алгебра элементарной функции(под ред. Яковлева)
2. Математика. Книга 2-я(под ред. Яковлева)
3. Сборник задач по математике (, )
Теория пределов
Основные теоремы о пределах
lim(x+y)=lim x+lim y (1)
lim(xy)=lim x lim y (2)
lim(
)=( lim x
(3)
lim 
= 
(4)
lim 
, если lim y
0 (5)
lim(
) = 
(6)
Запомните, что
,
e
2?71828 – основание натуральных логарифомов
Пример 1. Найти 
Решение
=
Пример 2. Найти 
Решение. Применить теорему о предел дроби (частного) нельзя, так как при 
До перехода к пределу следует упростить данную дробь:
Предел знаменателя
-30.
Применяя теперь теорему о пределе дроби, получим:
Ответ. 
Производная функции и ее приложения
Повторите формулы дифференцирования, которые. были изучены в средней школе,
1. 
, где C=const.
2. (
)= 
, где 
- функции от x.
3. 
, где u и v – функции от х
4. 
, где C=const.
5. 
.
6. 
7. 
.
8. 
Примеры нахождения производных.
1. x=
Решение. 
.
2. y=
.
Решение. 
.
3. y=
.
Решение. y=
= 
.
Дифференцирование сложных функций
1. y=
Решение. 
2. y=
Решение. 
Решение задач
Задача 1. Найти уравнение касательной к кривой 
в точке, абцисса которой равна -1.
Решение. Найдем координаты точки касания: =4*
. Таким образом, координаты точки касания (-1;-3), следовательно, x0=-1, y0=-3. Далее найдем угловой коэффициент касательной k=
, х=-1. По формуле y-y0=k(x-x0) найдем y+3=-4(x+1), y+3+4x+4=0, т. е. y+4x+7=0.
Ответ. y+4x+7=0.
Построение графиков функций с помощью производной
Правило.
I. Исследовать функция y=f(x) на максимум и минимум.
II. Исследовать данную функцию y=f(x) на точку перегиба.
III. В осях координат отложить найденные точки и соединить их плавной кривой.
Пример. Построить график функции 
на отрезке (-2;6).
Решение.
I. Исследуем функцию на максимум и минимум.
1) 
2) 
=0, или 
, откуда х1=0 и х2=4;
3) 
, следовательно, при x=3 имеем максимум.
, а при х=5 
, т. е. при х=4 имеем минимум;
4) Найти ординаты точек, соответствующих максимуму и минимуму функции:
Координаты искомых точек (0; 
) и (4; -4).
II Исследуем данную функцию на точку перегиба:
1) 
2) х-2=0, откуда х=2;
3) пусть х=1, тогда 
1-2<0, а при х=3 3-2>0, следовательно при х=2 имеем точку перегиба кривой;
4) Найдем ординату перегиба:
Координаты точки перегиба (2;-2).
III В осях координат отложим найденные точки.
IV. По условию примера график функции нужно построить в отрезке (-2;6), поэтому найдем ординаты точек х=-2 и х=6.
Таким образом, получили координаты еще двух точек кривой (-2; 
) и (6; )
На осях координат построим все точки. Соединив плавной кривой точки, получим искомую кривую.
Дифференциал функции и его приложения
Теоретический материал изучите по учебнику.
Таким образом, если в точке M кривой y=f(x) провести касательную, то дифференциал функции y=f(x) в этой точке изобразится приращением ординаты касательной, соответствующим приращению ее абциссы на dx.
Вычисление дифференциала следует из его определения, т. е. dy=y’dx.
Вычисление приближенного значения приращения функции при помощи дифференциала.
Пример 2. Найти точное приближенное значение приращения функции 
при х=2 и 
. Результаты сравнить.
1. Найдем точное значение приращения функции:
Найдем начальное значение функции
, тогда 
y=(y+y)-y=38,=0,401903
2. Найдем приближенное значение функции, т. е. dy. Известно, что dy y, поэтому
Dy=
Ответю Точное значение приращения функции y=0, а приближенное значение dy=0,40.
Для практических и технических целей часто точность в 0,401903 не нужна. Вполне достаточна точность в 0,40. И так как вычисление приближенного значения приращения функции(дифференциала) выполняется значительно проще, поэтому всегда вычисляют значение дифференциала функции.
Неопределенный интеграл
Таблица простейших интегралов
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
Непосредственное интегрирование
Пример 1. Найти 
Решение. Числитель полено разделим на знаменатель и получим:
Пример 2. 
Решение. 
Метод замены переменной
(способы подстановки)
Иногда интеграл можно свести к табличном с помощью подстановки.
Пример 1. Вычислить 
Решение. 1-2x=t, (1-2x)’dx=t’dt, -2dx=dt откуда dx=
, тогда
Пример 2. Вычислить 
Решение. 
, откуда 
, тогда
Интегрирование по частям
Теоретический материал изучите по учебнику.
Пример1. Вычислить 
Решение. Пусть u=lnx; dv=dx, тогда du=
, т. е. v=x.
Таким образом, нашли все те величины, которые нужны для решения 
Определенный интеграл и его приложения
Определенный интеграл можно рассматривать как приращение первообразной при изменении x от a до b.
(эта формула Ньютона-Лейбница);
a и b – нижний и верхний пределы интегрирования, промежуток [a, b] называется промежутком интегрирования; x – переменная интегрирования.
С геометрической точки зрения при f(x)>=0 определенный интеграл есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b(см. рис.)
Свойства определенного интеграла изучите по учебнику.
Методы вычисления определенных интегралов
Непсоредственное интегрирование.
Пример 1. 
Пример 2. 
Геометрический смысл определенного интеграла
Теоретический материал этой темы изучите по учебнику.
Пример 1. Вычислить площадь, заключенную между осью Ox и кривой, заданной уравнением 
Решение. Из уравнения 
, x(x-4)=0 находим корни x1=-2, x2=0, x3=2.
Этим определяются точки пересечения кривой с осью Ox
S=S1+S2, S2=
(кв. ед.),
S1=
(кв. ед.),
а поэтому S=S1+S2=(4+4)=8(кв. ед.).
